2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的性质

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的性质

一、选择题（共10小题）

1.（2021•深圳）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所

在面相对的面上的字是（）

A.跟B.百C.走D.年

2.（2020•广州）AABC中，点。，£分别是A4BC的边/W,AC的中点，连接。E.若

ZC=68°,则ZAED=（）

A.22°B.68°C.96°D.112°

3.（2020•广东）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2019•深圳）已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为4,BE=AF,ZBAD=UO°,

则下列结论正确的有几个（）

①ABECMA4尸C；②AEC尸为等边三角形；③NAGE=NA尸C；④若AF=1,则旦=1.

EG3

5.（2019•深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）

C.D.

6.（2019•深圳）如图，已知《//AB,AC为角平分线，下列说法错误的是（）

7.（2019•广州）如图，口458中，AB=2,AD=4,对角线AC,相交于点O,且E,

F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点，则下列说法正确的是（）

A.EH=HG

B.四边形瓦G”是平行四边形

C.AC1.BD

D.AA8O的面积是的面积的2倍

8.（2018•广州）如图，直线AD,3E被直线所和AC所截，则N1的同位角和N5的内错

A.Z4,Z2B.N2,Z6C.N5,N4D.N2,Z4

9.（2017•深圳）下列选项中，哪个不可以得到4/〃2?（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z3=Z5D.Z3+Z4=180°

10.（2017•广东）已知N4=70。，则的补角为（）

A.110°B.70°C.30°D.20°

二、填空题（共10小题）

11.（2021•深圳）如图，已知NBAC=60。，AD是角平分线且AZ）=10,作4）的垂直平分

12.（2021•广州）如图，正方形488的边长为4,点E是边8C上一点，且8£=3,以点

A为圆心，3为半径的圆分别交至、4）于点P、G,DF与AE交于点H.并与0A交

于点K,连结"G、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有—（填写所有正确结

论的序号）.

（1）〃是FK的中点

（2）AHGD=AHEC

（3）S^HG=9:16

7

(4)DK=-

13.（2021•广州）如图，在RtAABC中，ZC=90°,Z4=30°,线段A8的垂直平分线分别

交AC、4?于点。、E,连接若8=1,则AD的长为

14.（2021•广东）如图，在Q/IBCD中，AD=5,AB^\2,sin4=g.过点。作£>E_L/W,

垂足为E,则sinN8CE=.

15.（2020•深圳）如图，在四边形438中，AC与皮>相交于点O,NABC=N/MC=90。,

tanZACB=---=则—=_.

2OD3SXCBD

16.（2020•广州）已知NA=100。，则NA的补角等于°.

17.（2019•广州）如图，点A,B,C在直线/上，PBll,PA=6cm,PB=5cm,PC=1cm,

则点P到直线I的距离是—cm.

18.（2018•广州）如图，若菱形的顶点A,8的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,点。在

y轴上，则点。的坐标是—.

19.（2017•广州）如图，四边形43CO中，AD//BC,ZA=11O°,则ZB=

D

BC

20.（2017•广东）一个〃边形的内角和是720。，则〃=.

三、解答题（共10小题）

21.（2021•深圳）如图，A5为OO的弦，D,C为ACB的三等分点，ACIIBE.

（1）求证：N4=NE；

（2）若BC=3,BE=5,求CE的长.

D

22.（2021•广州）如图，在菱形中，ND4B=60。，AB=2,点E为边他上一个动

点，延长84到点尸，使AF=AE,且CF、£灯相交于点G.

AE

备用图

（1）当点E运动到A3中点时，证明：四边形DEEC是平行四边形；

（2）当CG=2时，求AE的长；

（3）当点£从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.

23.（2020•深圳）如图，他为OO的直径，点C在。。上，与过点C的切线互相垂直,

垂足为。.连接8c并延长，交AO的延长线于点E.

（1）求证：AE=AB；

(2)若AB=10,BC=6,求8的长.

E

24.（2020•广州）如图，AB=AD,ABAC=ADAC^25°,ZD=80°.求NBC4的度数.

25.（2020•广东）如图1,在四边形ABCD中，AD//BC,NZMB=90。，45是OO的直

径，CO平分N88.

（I）求证：直线C£＞与OO相切；

（2）如图2,记（1）中的切点为E,P为优弧AE上一点，AD=1,BC=2.求tanNAPE

26.（2019•广州）如图，等边AABC中，AB=6,点。在BC上，BD=4,点E为边AC上

一动点（不与点C重合），ACDE关于。E的轴对称图形为AFDE.

（1）当点尸在AC上时，求证：DF//AB；

（2）设AA8的面积为5,A钻尸的面积为$2，记S=y-S2，S是否存在最大值？若存

在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当3,F,E三点共线时.求隹的长.

BDC

27.（2018•深圳）如图，AA8C内接于OO，BC=2,A8=AC,点D为4c上的动点，

且cosZABC=.

10

（1）求回的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD•/场的值是否变化?

若不变，请求出AOSE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点Z）的运动过程中，过A点作AH_L3£>,求证：BH=CD+DH.

28.（2018•广州）如图，在四边形A8CD中，N8=NC=90。，AB>CD,AD^AB+CD.

（1）利用尺规作Z4DC的平分线上，交BC于点、E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，

①证明：AE1DE；

②若CD=2,A5=4,点"，N分别是AE,相上的动点，求8M+MN的最小值.

29.（2017•广州）如图，点E,尸在45上，AD=BC,ZA=ZB,AE=BF.求证:

△ADF三ABCE.

DC

AEFB

30.(2017•广东)如图所示，已知四边形ABC。,45EF都是菱形，ZBAD=ZFAD,ABAD

为锐角.

(1)求证：AO_LBF；

(2)若BF=BC,求NAZJC的度数.

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的性质

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1.（2021•深圳）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所

在面相对的面上的字是（）

【答案】B

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字

【专题】推理填空题；空间观念

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“建”字所在面

相对的面上的字是“百”.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入

手，分析及解答问题.

2.（2020•广州）AABC中，点。，E分别是AABC的边43,AC的中点，连接。E.若

ZC=68°,则NA£O=（）

A.22°B.68°C.96°D.112°

【考点】KX：三角形中位线定理

【专题】552：三角形；551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力

【分析】根据三角形的中位线定理得到DE/ABC,根据平行线的性质即可求得

NAED=NC=68。.

【解答】解：•.•点力、E分别是A48C的边A3、AC的中点，

:.DE//BC,

.-.ZAED^ZC,

•.•NC=68。，

/.ZAED=ZC=68°.

故选：B.

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理是解此题

的关键.

3.（2020•广东）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【考点】多边形内角与外角

【专题】计算题

【分析】根据多边形的内角和公式（〃-2>180。列式进行计算即可求解.

【解答】解：设多边形的边数是“，则

（〃-2）•180°=540°,

解得"=5.

故选：B.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

4.（2019•深圳）已知菱形ABCD,E、F是动点，边长为4,BE=AF,ZBAD=\20°,

则下列结论正确的有几个（）

©ABEC^AAFC;②AEC广为等边三角形；@ZAGE=ZAFC;④若AF=1,则空■二！.

EG3

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质

【专题】矩形菱形正方形

【分析】①ABEC=AAFC(SAS),正确；②由=AART,得CE=CF,ZBCE=ZACf.

由NBCE+Z£C4=NBC4=60。，得NACF+ZEC4=60,所以ACEF是等边三角形，正确;

③因为/4GE=NC4F+ZAFG=60。+ZAFG,ZAFC=ZCFG+ZAFG=60°+ZAFG,所

以ZAGE=ZAFC,故③正确；④过点E作EM//3C交AC下点"点，易证AMM是等边

ripApi

三角形，则£20=4£=3,由AF//EW,则？一=—=一.故④正确，

EGEM3

【解答】解：①・••四边形A3CO是菱形，

.\AB=BC=CD=AD,AB//CD,

.\ZB+ZBCE>=180°,

・.NBCD=12()o,

/.ZJ?=60°,

/.AABC,AACD是等边三角形，

.-.ZB=ZC4F=60o,

<BE=AF,BC=AC,

:.ABEC=AAFC(SAS),正确；

®\^BEC=AAFC,

:.CE=CF,ZBCE=ZACF,

・.・ZBCE+ZECA=/BCA=60°,

/.ZACF+ZECA=60,

「.△CEF是等边三角形，

故②正确；

③・.・ZAGE=NC4F+ZAFG=60。+ZAFG；

ZAFC=Z.CFG+ZAFG=60。+ZAR；,

:.ZAGE=ZAFC,

故③正确；

④过点石作EM//6c交AC于点M,

易证是等边二角形，贝！J=AE=3,

-AFHEM,

，则空="=1.

EGEM3

故④正确，

故①②③④都正确.

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

5.（2019•深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）

【考点】/6：几何体的展开图

【专题】2B：探究型；55：几何图形

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.

【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、C、。不是正方体展开图；选项5是正

方体展开图..

故选：B.

【点评】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：

第一种:“1—4—1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种:“2—2—2”

结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一

行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：结构，即第一行放1个正方形，第

二行放3个正方形，第三行放2个正方形.

6.（2019•深圳）如图，已知/J/A8,AC为角平分线，下列说法错误的是（）

C.Z2=Z3D.Z1=N3

【考点】JA-.平行线的性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线

【分析】利用平行线的性质得到N2=N4,Z3=Z2,N5=N1+N2,再根据角平分线的定

义得至ljNl=N2=N4=N3,Z5=2Z1,从而可对各选项进行判断.

【解答］解：・1//AB,

.-.Z2=Z4,Z3=Z2,Z5=Z1+Z2,

•.•AC为角平分线，

.-.Z1=Z2=Z4=Z3,Z5=2Z1.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补;

两直线平行，内错角相等.

7.（2019•广州）如图，Q/IBCZ）中，AB=2,AD=4,对角线AC,如相交于点O,且£,

F,G,H分别是AO,BO,CO,少。的中点，则下列说法正确的是（）

A.EH=HG

B.四边形EFG”是平行四边形

C.ACYBD

D.AABO的面积是AEFO的面积的2倍

【答案】B

【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质

【专题】多边形与平行四边形；图形的相似

【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决.

【解答】解：•,•E,F,G,”分别是AO,BO,CO,OO的中点，在wWCD中，AB=2,

AD=4,

.-.EH=-AD=2,HG=-CD=-AB=\,

222

:.EH手HG,故选项力错误；

：E,F,G,〃分别是AO,BO,CO,DO的中点，

:.EH=-AD=-BC=FG,

22

.•.四边形瓦G”是平行四边形，故选项B正确；

由题目中的条件，无法判断AC和是否垂直，故选项C错误；

•.•点E、尸分别为。4和OB的中点，

:.EF=-AB,EF//AB,

2

:.△OEFS^OAB，

.SAOEF_（EF、2_1

.•-----（）——,

SMMBAB4

即AABO的面积是AEFO的面积的4倍，故选项。错误，

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想解答.

8.（2018•广州）如图，直线4）,8E被直线3尸和AC所截，则N1的同位角和N5的内错

【答案】B

【考点】同位角、内错角、同旁内角

【专题】几何图形

【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧,

并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可.

根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在

第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可.

【解答】解：N1的同位角是N2,N5的内错角是N6,

故选：B.

【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“尸”形，内错角的边构

成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

9.（2017•深圳）下列选项中，哪个不可以得到4/〃2?（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z3=Z5D.Z3+Z4=180°

【考点】J9：平行线的判定

【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

【解答】解：A、•.•/1=N2,.M/4，故本选项错误；

8、•.•Z2=Z3,r./J4，故本选项错误；

C、N3=N5不能判定4/%，故本选项正确；

D.•.•N3+N4=180。，,•./,///,,故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.

10.（2017•广东）已知NA=70。，则NA的补角为（）

A.110°B.70°C.30°D.20°

【答案】A

【考点】余角和补角

【专题】计算题；实数

【分析】由的度数求出其补角即可.

【解答】解：vZA=70°,

r.NA的补角为110。，

故选：A.

【点评】此题考查了余角与补角，熟练掌握补角的性质是解本题的关键.

二、填空题（共10小题）

11.（2021•深圳）如图，已知44c=60。，4）是角平分线且AD=10,作AO的垂直平分

线交AC于点作£>E_LAC,则拉犯尸周长为_5+5石_.

【答案】5+56

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质

【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到=根据直角三角形的性质求出根据

勾股定理求出AE,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：•.•加»的垂直平分线交AC于点尸，

:.FA=FD,

•.•AD平分/R4C,ZB4C=60°,

.-.ZDAE=30°,

.-.DE=~AD=5,

2

AE=4AD1-DE2=7102-52=5G,

.♦.△0£/周长=。£+。尸+£尸=£）£•+曰+£7;'=。£+4后=5+55/5,

故答案为：5+5x/3.

【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长

分别是a,b,斜边长为c,那么/+从=02.

12.(2021•广州)如图，正方形A8CD的边长为4,点E是边8c上一点，且8£=3,以点

A为圆心，3为半径的圆分别交45、4)于点/、G,DF与AE交于点H.并与交

于点K,连结"G、C”.给出下列四个结论.其中正确的结论有(1)(3)(4)(填

写所有正确结论的序号).

(1)〃是FK的中点

(2)AHGD=AHEC

(3)S^HG：SgHc=9：16

7

(4)DKJ

5

【答案】(1)(3)(4).

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理；解直角三角形

【专题】压轴题；图形的全等；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识

【分析】(1)先证明AABEnAZMF,ZAFD+ZBAE=ZAEB+ZBAE=90°,AHA.FK,

由垂径定理，得：FH=HK,即H是FK的中点；

(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；

(3)分别过H分别作〃肘上A£)于M,HNLBC于N,由余弦三角函数和勾股定理算出

了HM,再算面积，即得心HG：SMHC=9：16;

(4)余弦三角函数和勾股定理算出了相，即可得0K.

【解答】解：(1)在AA3E与AZMF中，

AD=AB

<ZDAF=ZABE,

AF=BE

.•.△ABE=ADA尸(SAS),

:.ZAFD=ZAEB,

ZAFD+ZBAE=ZAEB+ZBAE=90°，

s.AHLFK,

由垂径定理，

得：FH=HK,

即“是bK的中点，故(1)正确；

(2)如图，过H分别作于M,HN1BC于N,

・・・AB=4,BE=3,

,AE=y/AB2+BE2=5,

­/ZBAE=ZHAF=ZAHM，

cosZBAE=cosZHAF=cosZAHM,

AMAHAB

AH-AF-A£-5

/.AH=—,HM=—

525

.\HN=4--=—

2525

即w"V,

♦：MN/ICD,

:.MD=CN,

YHDZHM?+MD?,

HC=yjHN2+CN2,

:.HC^HD,

.♦.AWGDMAHEC是错误的，故（2）不正确:

（3）由（2）知，AM=\IAH2-HM2=—,

25

DM=4-----=—,

•••MV//CO,

.•.MD=HT=—,

25

<-AGHM0

-,2^io.=2------------=2,故（3）正确;

S^HCD1CD-HT16

2

（4）由（2）知，HF=^AF2-AH2=|,

...FK=2HF=—，

5

7

:.DK=DF-FK=-,故（4）正确.

5

【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三

角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键.

13.（2021•广州）如图，在RlAABC中，ZC=90°,44=30。，线段他的垂直平分线分别

交AC、A3于点。、E,连接8£）.若CD=1,则的长为2・

【答案】2.

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力

【分析】由线段垂直平分线的性质可得45=8。，利用含30。角的直角三角形的性质可求解

的长，进而求解.

【解答】解：•.•£的垂直平分AB，

；.AD=BD,

.\ZA=ZABD,

・・・NA=30。，

:.ZABD=30°,

ZBDC=ZA+ZABD=30。+30。=60。，

•/ZC=90°,

ZCBD=30°,

•・・CD=1，

;.BD=2CD=2,

・・.AD=2.

故答案为2.

【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，含30。角的直角三角形的性质，求得4）=瓦>是

解题的关键.

4

14.（2021•广东）如图，在口ABCD中，AD=5,AB=\2,sinA=-.过点。作

5

9西

垂足为E,则sinNBC£；=50.

【答案】*

【考点】平行四边形的性质；解直角三角形

【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力

np4

【分析】过点3作BFJ_EC于点F,根据DE_L45,AD=5,sinA=——=一，可得止=4,

AD5

根据勾股定理可得AE=3,再根据平行四边形的性质可得A£>=8C=5,AB=CD=12,

BE=AB-AE=]2-3=9,根据tanNCE8=tanNOCE,可得瓦'=38尸，再根据勾股定理

可得班'的长，进而可得结果.

【解答】解：如图，过点3作3F_LEC于点尸，

D

EB

DF4

A£)=5,sinA=—=-,

AD5

:.DE=4,

:.AE=>]AD2-DE2=3,

在D/WCD中，AD=BC=5,AB=CD=\2,

:.BE=AB-AE=\2-3=9，

.CD/IAB,

/.Z£>E4=ZEDC=90°,NCEB=ZDCE,

tanZ.CEB=tanADCE,

BFDE4T

---==—=—，

EFCD123

:.EF=3BF,

在RtABEF中，根据勾股定理，得

EF2+BF'=BE2,

(3BF)2+BF2=92,

解得,哈噜

9M

厢

/.sinZBC£=—=

BC550

故答案为：亚.

50

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出

EF=33F是解决本题的关键.

15.（2020•深圳）如图，在四边形ABCZ）中，AC与比）相交于点O,ZABC=ZO4C=90°,

…4黑斗则蹩=，-

D

【答案】—.

32

【考点】角平分线的性质；解直角三角形

【专题】应用意识；模型思想；推理能力；图形的相似；三角形

【分析】通过作辅助线，得到AABCsA4MW,AOBC^AODM,MBC^ADAN,进而得

出对应边成比例，再根据tanZACB」，—得出对应边之间关系，设3C=W,表

2OD3

示45、DN、NA,BN,进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可.

【解答】解：如图，过点。作DM//3C,交C4的延长线于点延长H4交D0于点N,

,•DMIIBC,

:0BCs/WNM,NOBC^NODM,

ABBCOB4：

—=tanZACB=-

~BCNM2而一而一3

又•・・ZABC=ZDAC=90°,

:,ZBAC+ZNAD=90°,

•.•Z^4C+ZBC4=90°,

/.ZNAD=ZBCA,

AABC^/^DAN，

.ABDN1

^BC~~NA~2'

设BC=4a,

由空=丝=3得

DM=3a,

DMOD3

QA

:.AB=2a,DN=—a,AN=-a,

55

A1A

:.NB=AB+AN=2a+-a=—a,

55

13

s—ABDN-a2

..AAYO_2_5

132;

S48coBCNBa

25

故答案为：—.

32

【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积

是得出正确答案的关键.

16.（2020•广州）己知NA=100。，则NA的补角等于80。.

【考点】IL-.余角和补角

【专题】66：运算能力；551：线段、角、相交线与平行线

【分析】根据补角的概念求解可得.

【解答】解：•.•NA=100。，

的补角=180。-100。=80。.

故答案为：80.

【点评】本题主要考查补角，解题的关键是掌握如果两个角的和等于180。（平角），就说这

两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.

17.（2019•广州）如图，点A,B,C在直线/上，PB±l,PA=6cm,PB=5cm,PC=lcm,

则点P到直线/的距离是5cm.

【考点】点到直线的距离

【专题】线段、角、相交线与平行线

【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案.

【解答】解：,PB=5cm,

P到/的距离是垂线段PB的长度5cm,

故答案为：5.

【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的

长度.

18.(2018•广州)如图，若菱形ABCQ的顶点A,3的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在

【考点】坐标与图形性质；菱形的性质

【专题】矩形菱形正方形

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出。O的长，进而求出C点坐标.

【解答】解：•.•菱形他CD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在y轴上,

:.AB=5,

.\AD=5，

由勾股定理知：OD=>lAD--OA2=J52-32=4，

.•.点C的坐标是：(-5,4).

故答案为：(-5,4).

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出〃。的长是解题关键.

19.(2017•广州)如图，四边形A8CD中，AD//BC,24=110。，则Nfi=_70。

【考点】JA：平行线的性质

【分析】根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：•.•/1£>//8C,

/.ZA+ZB=180°,

又•.♦NA=110。，

/.ZB=10°,

故答案为：70。.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论.

20.（2017•广东）一个〃边形的内角和是720。，则〃=6.

【考点】多边形内角与外角

【分析】多边形的内角和可以表示成（〃-2）480。，依此列方程可求解.

【解答】解：依题意有：

（n-2）-180°=720°,

解得〃=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行

正确运算、变形和数据处理.

三、解答题（共10小题）

21.（2021•深圳）如图，AB为OO的弦，D,C为ACB的三等分点，ACHBE.

（1）求证：Z4=ZE；

【答案】（1）见解析；

（2）—.

3

【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质

【专题】三角形；圆的有关概念及性质；推理能力；几何直观

【分析】（1）根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系即可；

（2）根据圆周角定理推出各个角之间的关系、各边之间的关系，再结合图形利用相似三角

形的性质得出对应线段成比例，列出方程求解即可.

【解答】（1）证明：

-,-AC//BE,

:.ZE=ZACD,

-D,C为ACB的三等分点，

/.BC=CD=AD,

:.ZACD=ZA,

.・.ZE=ZA,

（2）解：由（1）知BC=C0=AO,

/.Z£>=ZCBD=ZA=NE,

:.BE=BD=59BC=CD=3,ACBD〜NBDE,

CBBDnn35

BDDE5DE

解得DE=仪,

3

:.CE=DE-CD^—-3=—.

【点评】本题考查圆周角定理及相似三角形的性质，解此类型题目应从图形入手，将圆和三

角形的知识结合起来进行求解.

22.（2021•广州）如图，在菱形A3C£）中，ZDAB=60°,AB=2,点E为边A5上一个动

点，延长区4到点F,使AF=AE,且CF、上相交于点G.

AE

（1）当点£运动到回中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

（2）当CG=2时，求他的长；

（3）当点E从点A开始向右运动到点5时，求点G运动路径的长度.

【答案】（1）见解答过程,

（3）班

3

【考点】四边形综合题

【专题】多边形与平行四边形；几何直观

【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形,

（2）利用三角形相似，求出此时尸G的长，再借助直角三角形勾股定理求解，

（3）利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解.

【解答】解：（1）连接CE,如图所示:

:.AE=AF=-AB,

2

:.EF=AB,

•.•四边形ABC。是菱形，

:.EF//AB,

.•・四边形是平行四边形.

(2)作CH上BH,设AE=E4=〃?，如图所示,

•.•四边形ABC。是菱形,

:.CDHEF,

:.\CDG^\FEG,

.CDEF

一~CG~~FG

FG=2m，

在RlACBH中，ZCfi//=60°.BC=2,

CHi—

sin60°=—,CH=6,

BC

RH

cos60°=—,BC=1,

BC

在RtACFH中，CF=2+2m,CH=6FH=3+m,

CF2=CH2+FH2,

即(2+2m)2=(73)2+(3+m)2,

整理得：3/T?2+2m—8=0,

解得：叫=:,恤=-2(舍去),

(3)G点轨迹为线段AG,

证明：如图，

用),

延长线段AG交CD于〃，作于作DNJLM于N,

•・•四边形A8CO是菱形，

:.BF//CD,

「^DHGs^EGA,AWGC^AAGF,

•_AGAFAG

~DH~~HG'HC~HG'

AE_AF

一~DH~~CH"

\AE=AF,

:.DH=CH=1,

在RtAADF中，AD=2,Z£MB=60°.

.•.sin60°=—,DN=6cos60°=—,A7V=1,

ADAD

在RtAAHM中，HM=DN=y/3,AM=AN+FM=AN+DH=2,

tanZHAM=—,

2

G点轨迹为线段AG.

G点轨迹是线段AG.

如图所示，作GH_LAB,

B(E)

・・•四边形ABCD为菱形，NDW=60。，AB=2,

:.CD!IBF,BD=2,

/.ACDG^AFBG,

...£2=生，即8G=2DG,

BFBG

•••BG+DG=BD=2,

BG=-

3f

4

在RtAGHB中，BG=—,ZD胡=60。,

3

•AHO_GH__2后

sin60=-----,GH=------,

BG3

DLJO

cos60°=——,BH=—,

BG3

242x/3

在RtAAHG中，AH=2一一=-,GH=：-----，

333

AG2=E)2+(¥)24，

；.AGW

3

.•・G点路径长度为班.

3

【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股

定理求解.

23.（2020•深圳）如图，为OO的直径，点C在上，AD与过点C的切线互相垂直,

垂足为O.连接并延长，交4）的延长线于点E.

（1）求证：AE=AB；

（2）若AB=10,BC=6,求CD的长.

【考点】三角形中位线定理；切线的性质

【专题】与圆有关的位置关系；几何直观

【分析】（1）证明：连接AC.OC,如图，根据切线的性质得到OCA.CD,则可判断OC//AD,

所以=然后证明N8=NE,从而得到结论；

（2）利用圆周角定理得到NAC8=90。，则利用勾股定理可计算出AC=8,再根据等腰三

角形的性质得到CE=BC=6,然后利用面积法求出CD的长.

【解答】（1）证明：连接4C、OC,如图，

•••CD为切线，

:.OC±CD,

.CD^AD,

:.OC//AD,

；.NOCB=NE,

•：OB=OC,

.\ZOCB=ZB,

：.ZB=ZE,

AE=AB；

(2)解：•.•AS为直径,

.-.ZACB=90°,

,4c=Jl()2-62=8,

•：AB=AE=W,AC-LBE,

.-.CE=BC=6,

-CDAE=-ACCE,

22

=竺

105

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆周角定理.

24.(2020•广州)如图，AB=AD,ZBAC=ZDAC=25°,ZD=80°.求N8C4的度数.

【考点】KD-.全等三角形的判定与性质

【专题】64：几何直观；553：图形的全等

【分析】运用SAS公理，证明A4BCWAADC,得至ijN£>=ZB=80。，再根据三角形内角和

为180。即可解决问题.

【解答】解：在AABC与A4£>C中，

AB=AD

<ABAC=ADAC,

AC=AC

MfiCaMDC(&45),

.■.ZD=ZB=80°,

/.ZBCA=180°—25°-80°=75°.

【点评】主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定

及其性质，这是灵活运用的基础和关键.

25.(2020•广东)如图1,在四边形中，AD//BC,ZDAB=90°,45是OO的直

径，CO平分N8CD.

(1)求证：直线8与相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧AE上一点，AD=\,BC=2.求tanNAPE

的值.

【考点】T7：解直角三角形；ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；LI-.直角梯

形

【专题】557：梯形；553：图形的全等；55A：与圆有关的位置关系；559：圆的有关概念

及性质；6：能力层次

【分析】(D证明：作于E,证AOCE三AOCB(A4S),得出OE=OB,即可得出

结论；

(2)作。尸_L8C于尸，连接3E,则四边形4?打)是矩形，得AB=OF,BF=AD=1,

则C/=l,证A。、8c是OO的切线，由切线长定理得£D=AD=1,EC=BC=2,则

CD=ED+EC=3,由勾股定理得£>F=20,则OB=&,证ZABE=ZBCH,由圆周角

定理得=则Z4PE=NBCH,由三角函数定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：作。E_LCD于E,如图1所示：

则ZOEC=90°,

•：AD!/BC,ZDAB=90°,

/.ZOBC=180o-ZZMB=90°,

NOEC=/OBC,

・・・CO平分NBC。，

・•.ZOCE=ZOCB,

4OEC=40BC

在&OCE和AOCB中，｛ZOCE=ZOCB,

OC=OC

kOCE三bOCB(AAS)，

OE=OB，

又"OE上CD,

：.直线8与OO相切；

(2)解：作_L3C于尸，连接BE,如图2所示:

则四边形ABFD是矩形，

，AB=DF,BF=AD=\,

，CF=BC—BF=2—l=T,

•:ADIIBC,ZDAB=9O09

..ADA,AB,BCLAB,

:.AD,8c是。。的切线，

由(1)得：CO是G)o的切线，

;.ED=AD=\,EC=BC=2,

CD=ED+EC=3，

DF=y/cD2-CF2=^32-12=272,

/.AB=DF=2A/2,

OB=5/2,

・・・co平分"8,

s.COLBE,

:.ZBCH+/CBH=NCBH+ZABE=9Q。,

:.ZABE=ZBCH,

・.・ZAPE=ZABE,

:.ZAPE=ZBCH,

tanTAPE=tanZBCH=—=—

BC2

图2

AD

图1

【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股

定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键.

26.（2019•广州）如图，等边AABC中，钻=6,点。在BC上，5D=4,点E为边AC上

一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为

（1）当点F在AC上时，求证：DFHAB-.

（2）设AACE＞的面积为5，A4B尸的面积为S2，记S=W-$2，S是否存在最大值？若存

在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当3,F,E三点共线时.求隹的长.

BDC

【考点】KY：三角形综合题

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；558：平移、旋转与对称；55D：图形的相似

【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得N"C=Z4,可证。/〃A8：

（2）过点。作交43于点历，由题意可得点尸在以。为圆心，£）尸为半径的圆

上，由AACD的面积为S的值是定值，则当点尸在ZW上时，Svw最小时，s最大；

(3)过点D作DG工EF于点G,过点E作E/7_LC£＞于点H,由勾股定理可求3G的长,

通过证明可求EC的长，即可求的长.

【解答】解：(1)•.•AA8C是等边三角形

.-.ZA=Zfi=ZC=60°

由折叠可知：DF=DC,且点尸在AC上

.•.ZDFC=ZC=60°

:.ZDFC=ZA

:.DF//AB；

(2)存在，

过点。作DM,43交