自编高数ppt课件（修改版）上册第四章D4习题课

习题课一、与积分概念有关的问题的解法二、求不定积分的基本方法积分计算

第四章三、有关定积分计算和证明的方法四、几种特殊类型的积分习题课一、与积分概念有关的问题的解法二、求不定积分的基本方法一、与积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求解:

因为时,所以利用夹逼准则得一、与积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:2)

此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.

如,故没理由认为1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则思考:提示:由上题故思考:提示:由上题故练习:

1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右例3.估计下列积分值解:

因为∴即例3.估计下列积分值解:因为∴即例4.

证明证:

令则令得故例4.证明证:令则令得故例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时例6.且由方程确定y

是x

的函数,求解：方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得故例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对例7.求可微函数f(x)使满足解:

等式两边对

x

求导,得不妨设f(x)≠0,则例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求注意f(0)=0,得注意f(0)=0,得例8.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①再求导:例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方二、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法

第一类换元法

第二类换元法

注意常见的换元积分类型,如掌握

P190公式(14)~(22)的推导方法(代换:)二、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利3.分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为计算格式:列表计算3.分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求多次分部积分的规律快速计算表格:特别:当

u为n次多项式时,计算大为简便.多次分部积分的规律快速计算表格:特别:当u为n例9.

求解:原式例9.求解:原式例10.

求解:原式分析:例10.求解:原式分析:例11.

求解:原式分部积分例11.求解:原式分部积分例12.

设解:令求积分即而例12.设解:令求积分即而例13.

求解:例13.求解:例14.

求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例14.求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例15.

证明递推公式证:注:或例15.证明递推公式证:注:或例16.

求解:设则因连续,得记作得利用例16.求解:设则因连续,得记作得利用例17.设解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又例17.设解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又三、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:

下列作法是否正确?三、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用例18.

求解:

令则原式例18.求解:令则原式例19.

选择一个常数c,使解:

令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例19.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇例20.

设解:

例20.设解:例21.

如图,曲线C的方程为解:

是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2

分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2005考研)＝043211234xO例21.如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,例22.若解:

令试证:则例22.若解:令试证:则因为对右端第二个积分令综上所述因为对右端第二个积分令综上所述例23.

证明恒等式证:

令则因此又故所证等式成立.例23.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例24.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即例24.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即证明:

令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不思考:

本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助例25.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内

f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点

,使

(3)在(a,b)内存在与

相异的点

,

使(2003考研)例25.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,证:

(1)

由f(x)在[a,b]上连续,知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)

设满足柯西中值定理条件,于是存在证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2例26.设证:

设且试证:则故

F(x)单调不减,即②成立.②例26.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,四、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换四、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,例27.

求解:令则原式例27.求解:令则原式例28.

求解:令比较同类项系数