圆周角练习题

圆周角练习题1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．122．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠53．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝75°，则∠DAO+∠DCO的大小是．4．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．5．已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．（1）求证：AC＝AB；（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．6．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．7．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．

圆周角练习题参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积＝△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴＝，∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，∵OB＝OE，∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，故选：A．【点评】本题主要考查了圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解决问题的关键．2．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，故A，B，D都正确，∵和不一定相等，∴BC与DC不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误，故选：C．【点评】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．二．填空题（共2小题）3．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝75°，则∠DAO+∠DCO的大小是135°．【分析】首先由OA＝OB＝OC，得出O是三角形ABC的外心，∠AOC＝2∠ABC＝150°，进而利用四边形内角和可得出答案．【解答】解：由AO＝BO＝CO可知：O是三角形ABC的外心，∴∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，∴∠AOC＝2∠ABC＝150°，又∠D＝75°，所以∠DAO+∠DCO＝360°﹣150°﹣75°＝135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理以及圆周角定理，解决问题的关键是得出∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，进而求出∠AOC＝2∠ABC＝150°是解决问题的关键．4．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【分析】讨论：点P点在优弧AB上，直接利用圆周角定理得到∠APB的度数；点P点在劣弧AB上，利用圆内接四边形的性质得到∠AP′B的度数．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三．解答题（共3小题）5．已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．（1）求证：AC＝AB；（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．【分析】（1）连接AE，如图，利用圆周角定理得到AE⊥BC，则（2）证明△CDE∽△CBA，利用相似比得到CD：4＝2：（CD+6），则可求出CD＝4，则AC＝AB＝10，从而得到圆的半径的长．【解答】（1）证明：连接AE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵BE＝CE，∴AE垂直平分BC，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA，∴CD：BC＝CE：CA，即CD：4＝2：（CD+6），∴CD＝4，∴AC＝AD+AC＝6+4＝10，∴AB＝10，∴⊙O半径为5．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．6．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】求出∠A＝∠BCE＝∠E，即可得出AD＝DE，从而判定等腰三角形．【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定的知识，属于基础题，相对比较简单．7．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．【分析】（1）利用垂直的定义得到∠BAD+∠ADC＝90°，则利用互余得到∠BAD＝70°，然后根据圆周角定理得到∠BOD的度数；（2）利用互余得到∠BAD＝90°﹣α，再根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝180°﹣2α，∠AOC＝2∠ADC＝2α，从而得到∠AOC+∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵AB⊥CD，∴∠BAD+∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°；（2）∵∠BAD+∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BOD＝2∠BAD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α；∵∠AOC＝2∠ADC＝2α，∴∠