专题28椭圆的标准方程及几何性质（原卷版）

专题28专题28椭圆的标准方程及几何性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题28椭圆的标准方程及几何性质命题解读命题预测复习建议椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题。椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题。在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现。预计2024年的高考椭圆一如既往的还是考察重点，其中解答题的压轴题可能性还是比较大，对于这部分考察多以中高档题为主。集合复习策略：1.理解椭圆的定义以及椭圆的标准方程的形式；2.掌握椭圆的简单几何性质。→➊考点精析←一、椭圆的标准方程椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆标准方程：焦点位置在x轴上在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)二、椭圆的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2焦点坐标(±c,0)(0，±c)→➋真题精讲←1.（2023全国Ⅱ卷5）已知椭圆左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（）．A. B. C. D.2.（2023全国理科甲卷12）设O为坐标原点，为椭圆两个焦点，点P在C上，，则（）A. B. C. D.3.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A.1 B.2 C.4 D.54.（2023全国理科乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．5.（2023北京卷19）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．6.（2023天津卷18）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．→➌模拟精练←1．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）海面上有相距4公里的，两个小岛，在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（

）A．公里 B．5公里 C．公里 D．公里4．（2023·浙江温州·统考三模）如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3 B．6C． D．6．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（

）A． B．C． D．7．（多选）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（

）A． B．时，C．S的最大值为 D．当时，8．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（

）A．1 B． C．a D．3a9．（多选）（2023·吉林长春·统考三模）已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（

）A．当时，，使得B．当时，，使C．当时，，使得D．当时，，10．（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（

）A． B．C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率的绝对值为11．（多选）（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（

）A．B．当时，四边形为正方形C．四边形面积的最大值为D．若四边形为菱形，则12．（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．13．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.14．（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．→➍专题训练←1、（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·山东淄博·统考三模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（

）A．恒过点B．若恒过的焦点，则C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（

）A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为5．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．6．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.7．（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．(1)求椭圆的方程；(2)设的面积为，的面积为，求的值．8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．9．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，