全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题13-二次函数(常用版)

全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编（第1期）专题13二次函数（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）

二次函数全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编（第1期）专题13二次函数（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）一.选择题1.（2021•山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：先根据二次函数的图象与系数的关系，又开口方向得a＞0，由对称轴x=＜0可得b＞0，所以一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D 考点：二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质 2．（2021·湖南省益阳市，第8题5分）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（） A． m＞1 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． ﹣1＜m＜0 考点： 二次函数的性质．分析： 利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．解答： 解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．点评： 本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大3．(2021•江苏苏州,第8题3分)若二次函数y=x2＋bx的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx=5的解为 A． B． C． D． 【难度】★★ 【考点分析】二次函数与一元二次方程综合，考察二次函数的图像性质及解一元二次方程。 是中考常考题型，难度不大。 【解析】由题意得：二次函数的对称轴为直线：x2，所以由对称轴公式得：， 即：b=-4；代入一元二次方程易得：。故选D。 4．（2021•广东梅州,第10题4分）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 二次函数的性质． 分析： 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案． 解答： 解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确； ②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，错误； ③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2， 故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确； ④∵a=﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x＜2时，y＞0，正确． 故选：C． 点评： 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键． 5.（2021•四川乐山,第6题3分）二次函数的最大值为（） A．3B．4C．5D．6 【答案】C． 【解析】 试题分析：，∵＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选C． 考点：二次函数的最值． 6.（2021湖北荆州第4题3分）将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（） A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式． 解答： 解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2． 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4， 故选：B． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减． 7.（2021•福建泉州第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A． B． C． D． 解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴y=﹣位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 8.（2021•四川乐山,第9题3分）已知二次函数的图象如图所示，记，．则下列选项正确的是（） A．B．C．D．m、n的大小关系不能确定 【答案】A． 考点：二次函数图象与系数的关系． 9.（2021•浙江嘉兴，第10题4分）如图，抛物线y=－x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=－1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（▲） （A）① （B）② （C）③ （D）④考点：二次函数综合题．. 分析：①根据二次函数所过象限，判断出y的符号； ②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2； ④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答． 解答：解：①当x＞0时，函数图象过二四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误； ②二次函数对称轴为x=﹣=1，当a=﹣1时有=1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x1+x2＞2， ∴＞1， 又∵x1＜1＜x2， ∴Q点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确； ④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）； 则DE==；D′E′==； ∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误． 故选C． 点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注． 0 10.（2021•浙江宁波，第11题4分）二次函数的图象在2<<3这一段位于轴的下方，在6<<7这一段位于轴的上方，则的值为【】 A.1B.－1C.2D【答案】A. 【考点】二次函数的性质；解一元一次不等式组；特殊元素法的应用. 【分析】∵二次函数的图象在2<<3这一段位于轴的下方，在6<<7这一段位于轴的上方， ∴当时，二次函数的图象位于轴的下方；当时，二次函数的图象位于轴的上方. ∴. ∴的值为1. 故选A. 11.（2021•四川凉山州,第12题4分）二次函数（）的图象如图所示，下列说法： ①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（） A．①②④B．①④C．①②③D．③④ 【答案】B． ③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（，）、（，）在函数图象上，当时，；当时，；故③错误； ④∵二次函数的图象过点（3，0），∴x=3时，y=0，即，故④正确． 故选B． 考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．二次函数图象上点的坐标特征． 12．(2021·贵州六盘水，第10题3分)如图5，假设篱笆（虚线部分）的长度 16m，则所围成矩形ABCDA．60m2B．C．64m2D． 考点：二次函数的应用．. 专题：应用题． 分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可． 解答：解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2， 根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64， 当x=8m时，ymax=64则所围成矩形ABCD的最大面积是64m故选C． 点评：此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 13.（2021•山东临沂,第13题3分）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（） (A)向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B)向左平移1个单位，再向下平移2个单位. (C)向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D)向右平移1个单位，再向下平移2个单位. 【答案】D 考点：二次函数的平移 14．（2021•山东日照，第12题4分）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1其中正确的是（） A． ①②③ B． ①③④ C． ①③⑤ D． ②④⑤考点： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.专题： 数形结合．分析： 根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．解答： 解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选C．点评： 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac15．（2021·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（） A． x=4 B． x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2考点： 二次函数的性质．.分析： 直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．解答： 解：二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．故选：D．点评： 此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键． 16．（2021•四川广安，第10题3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（） A． ﹣3＜P＜﹣1 B． ﹣6＜P＜0 C． ﹣3＜P＜0 D． ﹣6＜P＜﹣3考点： 二次函数图象与系数的关系．.分析： 利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a即﹣6＜P＜0．故选：B．点评： 此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键．17．（2021·山东潍坊第12题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 二次函数图象与系数的关系．.分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4ac③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=0，确定出a④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4ac∴结论②正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a∵b2﹣4ac∴4a2﹣4∴a=c，∵c＞0，∴a＞0，∴结论③不正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c∴4a﹣2b+c∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：②④．故选：B．点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．18．（2021·山东潍坊第11题3分）如图，有一块边长为6cm A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2考点： 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.分析： 如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选C．点评： 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键． 19．（2021•安徽省,第10题，4分）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（） PQOPQOOOOOyyyyyxxxxxA．B．C．D．第10题图考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．. 分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断． 解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点， ∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根， ∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点， ∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2=﹣＞0， ∴﹣＞0， ∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0， ∵a＞0，开口向上， ∴A符合条件， 故选A． 点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（2021•山东日照，第12题4分）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1其中正确的是（） A． ①②③ B． ①③④ C． ①③⑤ D． ②④⑤考点： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.专题： 数形结合．分析： 根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．解答： 解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选C．点评： 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac21．（2021·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（） A． x=4 B． x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2考点： 二次函数的性质．.分析： 直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．解答： 解：二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．故选：D．点评： 此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．22．（2021•四川广安，第10题3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（） A． ﹣3＜P＜﹣1 B． ﹣6＜P＜0 C． ﹣3＜P＜0 D． ﹣6＜P＜﹣3考点： 二次函数图象与系数的关系．.分析： 利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a即﹣6＜P＜0．故选：B．点评： 此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键．23．（2021·山东潍坊第12题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 二次函数图象与系数的关系．.分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4ac③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=0，确定出a④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4ac∴结论②正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a∵b2﹣4ac∴4a2﹣4∴a=c，∵c＞0，∴a＞0，∴结论③不正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c∴4a﹣2b+c∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：②④．故选：B．点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．24．（2021·山东潍坊第11题3分）如图，有一块边长为6cm A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2考点： 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.分析： 如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选C．点评： 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．二填空题 1.（2021•山东临沂,第19题3分）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2）， 当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有______________（填上所有正确答案的序号）. ①y=2x；②y=x＋1；③y=x2(x＞0)；④. 【答案】①③ 考点：函数的图像与性质 2.（2021上海,第12题4分）如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】 【解析】抛物线方程配方，得：y＝（x＋1）2－2，向上平移，得：y＝（x＋1）2＋c， 经过点A（0,3），则：3＝1＋c，c=2， 所以，新抛物线的表达式是：y＝（x＋1）2＋2＝x2＋2x＋3。 3.（2021•浙江衢州,第16题4分）如图，已知直线分别交轴、轴于点、，是抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点且平行于轴的直线交直线于点，则当时，的值是▲. 【答案】4或或或. 【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用． 【分析】根据题意，设点的坐标为，则. 在令得．∴. ∵ ∴，即. 由解得或. 由解得或. 综上所述，的值是4或或或. 4.（2021•浙江湖州，第15题4分）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________ 【答案】,(答案不唯一，只要符合条件即可). 【解析】 试题分析：因点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，所以把抛物线C2看成抛物线C1以点O为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a1，a2互为相反数，抛物线C1和C2的对称轴直线关于y轴对称，由此可得出b1=b2.抛物线C1和C2都经过原点，可得c1=c2，设点A(m，n)，由题意可知B（－m，－n），由勾股定理可得.由图象可知MN=︱4m︱，又因四边形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，设抛物线的表达式为，任意确定m的一个值，根据确定n的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可.l例如，当m=1时，n=，抛物线的表达式为，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一条抛物线的表达式为. 考点：旋转、矩形、二次函数综合题. 5．（2021•四川资阳,第16题3分）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________． 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．. 专题： 新定义．分析： 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4， 然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式． 解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A点坐标为（﹣1，0）， 解方程组得或， ∴点C′的坐标为（1，4）， ∵点C和点C′关于x轴对称， ∴C（1，﹣4）， 设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， 把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3． 故答案为y=x2﹣2x﹣3． 点评：本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣46.（2021湖南岳阳第16题4分） 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号） ①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b2=4A． 考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．.分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评： （1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．7.（2021湖南邵阳第18题3分）抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）． 考点： 二次函数的性质．.分析： 已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答： 解：∵y=x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．点评： 此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．8.（2021山东菏泽，14，3分）二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为． 【答案】． 考点：1．菱形的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征． 9.（2021•四川眉山，第17题3分）将二次函数y=x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y=x2+4x+4． 考点： 二次函数图象与几何变换．.专题： 计算题．分析： 利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可．解答： 解：平移后二次函数解析式为：y=（x+2）2=x2+4x+4，故答案为：y=x2+4x+4点评： 此题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键． 10.（2021•四川乐山,第16题3分）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）． （1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为； （2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）0≤a≤． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义． 三.解答题 1.．（2021山东菏泽，21，8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数． （1）求k的值； （2）当次方程有一根为零时，直线与关于x的二次函数的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标； （3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】（1）1，2；（2），M（，）；（3）b=1或=． 考点：二次函数综合题． 2.（2021呼和浩特，25，12分）(12分)已知：抛物线y=x2+(2m－1)x+m2－1经过坐标原点，且当x<0时，y随x(1)求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围; (2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C. ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长; ②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由. 考点分析：二次函数→图像及性质动点问题分类讨论思想存在问题矩形周长配方法求极值压轴题 解析： 没有配图，用不用画图呢？当然用，但不是现在，因为除了开口方向，你没有顶点坐标。出卷人说过，多多少少会让同学们拿点分，最容易的就是第一问，无非就是求个解析式或者算个交点坐标。 先看第（1）问，什么是通过原点，就是x=y=0，直接代入即可，这样相当于解了一个以m为未知数的一元二次方程。求出两个不同的解后，就有了两个解析式，要用哪一个，再看限制条件。两个解析式分别为y=x2+x或y=x2－3x，下面就把这个两个图画出来，其实想也可以，但建议你画图，而且不在一个坐标系中同时画这两个图。 再看限制条件：当x<0时，y随x的增大而减小。先看左图，当x<0时，函数增减性分两段，右面一小段是随着x增大而增大，不符合题意；再看右面的图，完全符合要求。 另外，你可以看下画的草图，对就是草图，因为这个图只是给自己看的，所以没有必要标坐标系要素，关键是把开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点弄的准确一些就可以了。画二次函数曲线的方法，先别画坐标轴，先画二次函数，这样你可以在没有拘束（坐标交点）的情况下更好地画这个对称的曲线，之后把坐标轴与曲线的交点标出来，比较一线各交点到坐标轴的距离是否与实际点到原点的距离成比例。 第一问还有后半问，觉得这问因该这样问：请直接写出y<0时，对应x的取值范围。因为标准答案只给1分，按照题问要求，是写出，怎么写出？标准答案，略微有些可笑，“由图像知”，如果你写出答案的依据是图像，那么就应该画图像，并在图像上标出关键的交点，再辅以文字说明，但这样做就不值这一分。给出图并给出两种解法。 解法一：结合图像法。（至少值3分） 解： 如右图所示，图中的二次函数曲线为y=x2－3x。 其中，该二次函数与坐标轴两个交点分别为O(0，0)和H(3，0),因为该二次函数的二次项系数为正数，所以函数图像开口向上，如图所示，y<0时，对应的是0<x<3。 解法二：把它算出来，这也是代数的思维，因为题问其实也是按照代数方式提出，希望你能略微学习一下，很EASY！ 其核心就是分类讨论的不等式组，你应该碰到过。 解： ∵y=x2－3x，y<0 ∴x2－3x<0，即x(x－3)<0 情况1： 解该不等式组得0<x<3 情况2： 该不等式组无解， 综上，当y<0时，0<x<3. 该分析第（2）问了。 第①问不错，直接写出即可。也专门画了图，就在右面。 BC=1，那么AD=1，算出AB或CD即可。显然通过二次函数的左右对性，可知道B点和C点关于二次函数对称轴对称，则OB=CH=(OH－BC)÷2=1，∴B(1，0)，又因为A点横坐标与B点横坐标相同，所以将x=1代入到y=x2－3x可得y=－2，∴AB=2，∴CD=2，∴矩形周长为6。 从图上看，如果A点和D点互换位置，不影响我们得出结论。 该第②问了。动点问题。暂时先用这个图，题问还不少，好在都围绕一个二次的式子做文章。 通过前小一问，以及的画的图，A点和D点是对称的，换句话说，就是A点和D点是可以互换的，这就是二次函数的对称性，在求交点坐标时也用的是二次方程，能同时解出两个解，一个是A点，一个是D点，他们相同之处就是他们的纵坐标。 A(a，b)，是一个具体的坐标，那么与之对应的D点的坐标如何表示？我们知道这个两个点的纵坐标相同，所以可以把y=b代入到y=x2－3x可得：b=x2－3x，当然你可以用求根公式解这个方程，得出一个带根号的表达式，再往下算比较麻烦，那么换个角度看，不去解这个方程。 看看能否韦达定理？将b=x2－3x变形为0=x2－3x－b，则x1+x2=3，x1·x2=－b，我们来算AD2的长度，没错，是有个平方，否则干不掉绝对值： AD2=(x1－x2)2=x12－2x1·x2+x22=x12+2x1·x2+x22－4x1·x2=(x1+x2)2－4x1·x2=9+4b 所以L=2|3－2a|－2(a2－3a)，显然要讨论a的位置，即a与EQ\F(3,2)的大小来决定如何去绝对者。这样可以得到两个函数，一个A点在对称轴左边，另一个在对称轴右边，所以需要分别讨论。这个“分别讨论”是我们按照这个思路做出来的。其实一开始就可以用分类讨论方法，整个过程更为简单，分类方法一致，参考答案就是直接分类讨论，这里给出的韦达达定理方法，是刚刚尝试的，给同学们一个启发。 其实，刚拿到题目，看了两眼就知道两个点对称，均满足题目要求，而且如果要具体求出坐标的话，必须分开讨论才能正确求解。当然，如果的确有解该题的能力，那么你在求D点坐标时，马上会发现必须讨论A点的位置后才能写出D点的表达式。 解： （1）∵y=x2+(2m－1)x+m2∴0=0+0+m2－1，即m2－1=0 解该方程得m=±1 ∴该二次函数解析式为y=x2+x或y=x2－3x 又∵当x<0时，y随x的增大而减小 ∴二次函数解析式为y=x2－3x. 如右图所示为函数y=x2－3x图像 ∵该图像开口向上，且与横轴交点坐标从左至右为（0,0）和（3,0） ∴y<0时，0<x<3. （2） ①当BC=1时，矩形的周长为6. ②解法1——韦达定理 ∵AD∥x轴 ∴当y=b时，直线AD与抛物线的交点为A点和D点 ∴A点和D点的横坐标为以x为未知数的方程b=x2－3x的解 ∴两个解存在如下关系：x1+x2=3，x1·x2=－b ∴AD2=(x1－x2)2 =x12－2x1·x2+x22 =x12+2x1·x2+x22－4x1·x2 =(x1+x2)2－4x1·x2 =9+4b 又∵A(a，b)在y=x2－3x上，即b=a2－3a∴L=2|3－2a|－2(a2－3∵当A(a，b)运动到顶点，不存在矩形 ∴a的取值范围为0＜a＜EQ\F(3,2)和EQ\F(3,2)＜a＜3. 下面过程为求L的最大值： 当0＜a＜EQ\F(3,2)，A点位于对称轴的左侧 ∴L=2(3－2a)－2(a2－3a)=－2a2+2a+6=－2(a－EQ\F(1,2))2+EQ\F(13,2) ∴当a=EQ\F(1,2)时，L最大=EQ\F(13,2)，A点坐标为(EQ\F(1,2),－EQ\F(5,4)). 当EQ\F(3,2)＜a＜3时，A点位于对称轴的右侧 ∴L=2(2a－3)－2(a2－3a)=－2a2+10a－6=－2(a－EQ\F(5,2))2+EQ\F(13,2) ∴当a=EQ\F(5,2)时，L最大=EQ\F(13,2)，A点坐标为(EQ\F(5,2),－EQ\F(5,4)). ②解法2——直接讨论 ∵点A的坐标为（a，b） ∴当点A在对称轴左侧时，矩形ABCD的一边BC=3－2a，另一边AB=3a－a∴周长L=－2a2+2a+6,其中0＜a＜EQ\F(3,2) 当点A在对称轴右侧时，矩形ABCD的一边BC=3－(6－2a)=2a－3,另一边AB=3a－∴周长L=－2a2+10a－6，其中EQ\F(3,2)＜a＜3 ∴当0＜a＜EQ\F(3,2)时，L=－2(a－EQ\F(1,2))2+EQ\F(13,2)∴当a=EQ\F(1,2)时，L最大=EQ\F(13,2)，A点坐标为(EQ\F(1,2),－EQ\F(5,4)) 当EQ\F(3,2)＜a＜3时，L=－2(a－EQ\F(5,2))2+EQ\F(13,2)∴当a=EQ\F(5,2)时，L最大=EQ\F(13,2)，A点坐标为(EQ\F(5,2),－EQ\F(5,4)) 小结：两种方法各有所持。韦达定理，反映的是方程思想，有因为有绝对值的存在，必须去绝对值才可以继续运算，所以这里的分类讨论思想是被逼出来的，当然到了这一步，谁都能第一时间想到分类讨论。有同学会问，只写了一个带绝对者的表达式，正确吗？放心，只要是一个自变量仅对应一个因变量，他就是函数。后面的直接讨论法，也是一开始想用的，这个是因为要用含a式子表示BC的长度，所以只有讨论了才能继续算，所以后续都是兵分两路！ 3.（2021山东省德州市，24，12分）已知抛物线y=－mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由. (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标. 【答案】（1）y=－x2+4x+2.；（2）四边形DNME的周长的最小值为10+2.（3）（2－，4），（2+，4），（2+，－4），（2－，－4）. 4.（2021山东济宁，22，11分）(本题满分11分) 如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y＝x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B. (1)求抛物线的解析式； (2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由； (3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离. 【答案】（1）y＝－x2＋x－4（2）直线l与⊙E相切于点A（3）当抛物线上的动点P的坐标为(2，－)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为. （2）根据直线的解析式y＝x＋4可求D坐标，可验证A在直线上，且在Rt△AOE和Rt△DOA中，==，可证得△AOE∽△DOA，最终证得∠DAO＋∠EAO＝90°，得到直线l与⊙E相切于点A； （3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M.然后设出点M(m，m＋4)，P(m，－m2＋m－4).求得PM的长，PM=(m－2)2＋，当m=2时，PM的最小值为，这时P点的坐标为P(2，－).对于△PQM，在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，因此当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，即=·sin∠QMP=·sin∠AEO，代入相应的知可求得结果. 试题解析：(1)解：连接AE. 由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3， 在Rt△AOE中，由勾股定理得， OA＝＝＝4. ∵OC⊥AB， ∴由垂径定理得，OB＝OA＝4. OC＝OE＋CE＝3＋5＝8. ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0). ∵抛物线的顶点为点C， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－8)2. 将点B的坐标代入上解析式，得 64a＝－4.故a＝－. ∴y＝－(x－8)2. ∴y＝－x2＋x－4为所求抛物线的解析式. (2)在直线l的解析式y＝x＋4中，令y＝0， 得x＋4＝0，解得x＝－， ∴点D的坐标为(－，0)； 当x＝0时，y＝4，所以点A在直线l上. 在Rt△AOE和Rt△DOA中， ∵＝，＝， ∴＝. ∵∠AOE＝∠DOA＝90°， ∴△AOE∽△DOA. ∴∠AEO＝∠DAO. ∵∠AEO＋∠EAO＝90°， ∴∠DAO＋∠EAO＝90°. 即∠DAE＝90°. 因此，直线l与⊙E相切于点A. (3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q； 过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M. 设M(m，m＋4)，P(m，－m2＋m－4). 则PM＝m＋4－(－m2＋m－4)＝m2－m＋8＝(m－2)2＋. 当m＝2时，PM取得最小值. 此时，P(2，－). 对于△PQM，∵PM⊥x轴， ∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°， ∴△PQM的三个内角固定不变. ∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变. ∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值. PQ最小＝PM最小·sin∠QMP＝PM最小·sin∠AEO＝×＝. 所以，当抛物线上的动点P的坐标为(2，－)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为. 考点：二次函数与一次函数的综合题 5．（2021•广东梅州,第21题，9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 120 130 …月销量（件） 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． （1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 考点：二次函数的应用．. 分析：（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量； （2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润． 解答：解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元； ②设月销量W与x的关系式为w=kx+b， 由题意得，， 解得，， ∴W=﹣2x+400； （2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400） =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2（x﹣130）2+9800， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元． 点评：本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键． 6．（2021•安徽省,第22题，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 区域①区域②区域①区域②区域③岸堤ABCDEFGH第22题图考点：二次函数的应用．. 专题：应用题 分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可． 解答： 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE=2BE， 设BE=a，则AE=2a∴8a+2x∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20， ∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x， ∵a=﹣x+10＞0， ∴x＜40， 则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0， ∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米． 点评：此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 7.（2021•四川成都,第28题12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4)，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． xyOxyOABDlC备用图xyOABDlCE 【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； （2）a＝－EQ\F(2,5)； （3）P的坐标为（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4） 【解析】： （1）A（－1，0） xyOABDlCEF∵直线l经过点AxyOABDlCEF∴y＝kx＋k 令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a∵CD＝4AC，∴点D∴－3－EQ\F(k,a)＝－1×4，∴k＝a ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a （2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F 设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋aEF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4S△ACE＝S△AFE－S△CFE ＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)(x＋1)－EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)x ＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)＝EQ\F(1,2)a(x－EQ\F(3,2))2－EQ\F(25,8)a ∴△ACE的面积的最大值为－EQ\F(25,8)a ∵△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4) ∴－EQ\F(25,8)a＝EQ\F(5,4)，解得a＝－EQ\F(2,5) （3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4xyABDlCQxyABDlCQPO∴D（4，5a∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x设P（1，m） ①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21am＝21a＋5a＝26a，则P∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90° ∴AD2＋PD2＝AP2 ∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a即a2＝EQ\F(1,7)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(eq\r(,7),7) ∴P1（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)） xyOAxyOABDlCPQ则线段AD的中点坐标为（EQ\F(3,2)，EQ\F(5a,2)），Q（2，－3a） m＝5a－(－3a)＝8a，则P∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90° ∴AP2＋PD2＝AD2 ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a即a2＝EQ\F(1,4)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(1,2) ∴P2（1，－4） 综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形 点P的坐标为（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4） 8.（2021•四川乐山,第26题13分）如图1，二次函数的图象与轴分别交于A、B