【数学课件】空间中点、直线和平面的向量表示第一课时 2023-2024学年高二人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4空间向量的应用

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题.1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第一课时(空间中点、直线和平面的向量表示)一、探究新知

我们知道，

点、直线和平面是空间的基本图形，

点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.二、空间点的向量表示

如何用向量表示空间中的一个点?

你能证明这个结论吗?三、空间直线的向量表示

我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?

用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.

如右图，

是直线l的方向向量,在直线l上取

，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得

，即

.

这两个式子都称为空间直线的向量表示式.

由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

进一步地，如右图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

，即有四、空间中平面的向量表示

一个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定，如何用向量表示这个平面?

我们知道，平面α可以由其内两条相交直线确定.如下图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为

和

，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得

这样，点O与向量

、

不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.

这种表示在解决几何问题时有重要作用.

你能证明这个结论吗?四、空间中平面的向量表示

这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.

由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

进一步地，如下图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x、y，使

五、平面的法向量

我们知道,给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一-确定的.由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.

如下图，直线

l⊥α

.

取直线l的方向向量

,

我们称向量

为平面α的法向量.

如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量

，

与

有什么关系?

给定一个点A和一个向量

,那么过点A且以向量

为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|=0}.六、典型例题例1已知点A(1，-2，3)、B(2，1，-3).

求直线AB与坐标平面yOz的交点坐标.六、典型例题例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,

CC1=2，M是AB的

中点，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面BCC1B1的法向量;

(2)求平面MCA1的法向量.六、课堂小结1.空间直线的向量表示式2.空