河北省保定市李果庄中学2022年高三数学文期末试题含解析

河北省保定市李果庄中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图象如图所示，则f（0）＝A、1B、C、2D、参考答案：Af(x)的最小正周期，故．由得，由图可知A＝2．故函数f(x)的解析式为．所以．故选A．2.已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(

) A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．解答： 解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，若p是q的充分不必要条件，则a≥1，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则=（）A． B． C．3 D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可知，且向量，的夹角为，然后求得，则答案可求．【解答】解：∵，且向量，的夹角为，∴==．∴=．故选：D．4.下列命题错误的是（

）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.若：，.则：，.C.若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题D.“”是“”的充分不必要条件参考答案：C【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，故选项A是正确的；对于选项B,若：，.则：，.是真命题，故选项B是正确的；对于选项C,若复合命题：“”为假命题，则，至少有一个为假命题，所以该选项是错误的，故选项C是错误的；对于选项D,因为，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查逆否命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假和充分不必要条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1．∴几何体的体积V=+=1+=．故选B．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，体积计算，属于基础题．6.已知双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近

线的距离为，则m=

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：7.设是虚数单位，则复数(1－i)2－等于

A．0

B．2

C．

D．参考答案：D(1－i)2－=－2i－=－2i－=－2i－2i=－4i.故选D.8.函数,若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有

K]

A．6个

B．4个

C．7个

D．8个参考答案：B10.设函数则不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）＝lnx－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.12.已知平面向量与的夹角为，，，则

；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为

．参考答案：1，.13.给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z．以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）参考答案：①②考点：正弦函数的对称性；三角函数的化简求值；正切函数的奇偶性与对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：把x=代入函数得

y=1，为最大值，故①正确．由正切函数的图象特征可得（，0）是函数y=tanx的图象的对称中心，故②正确．通过举反例可得③是不正确的．若，则有2x1﹣=2kπ+2x2﹣，或2x1﹣=2kπ+π﹣（2x2﹣），k∈z，即x1﹣x2=kπ，或x1+x2=kπ+，故④不正确．解答：解：把x=代入函数得

y=1，为最大值，故①正确．结合函数y=tanx的图象可得点（，0）是函数y=tanx的图象的一个对称中心，故②正确．③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如390°＞60°，都是第一象限角，但sin390°＜sin60°．若，则有

2x1﹣=2kπ+2x2﹣，或2x1﹣=2kπ+π﹣（2x2﹣），k∈z，∴x1﹣x2=kπ，或x1+x2=kπ+，k∈z，故④不正确．故答案为①②．点评：本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．14.在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B，则点B的坐标为．参考答案：（﹣，）【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，由点A的坐标得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根据旋转的性质得到∠BOC=∠AOC+，OA=OB，利用两角和的正弦函数，余弦函数公式即可得到B点坐标．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴OA==，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，∵OA绕原点按逆时针方向旋转得OB，∴∠AOB=，OA=OB=，∴∠BOC=∠AOC+，∴sin∠BOC=sin（∠AOC+）=sin∠AOCcos+cos∠AOCsin=×（﹣）+×=，cos∠BOC=cos（∠AOC+）=cos∠AOCcos﹣sin∠AOCsin=×（﹣）﹣×=﹣，∴DB=OBsin∠BOC=×=，OD=OBcos∠BOC=×（﹣）=﹣，∴B点坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．15.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为

的学生。参考答案：37根据系统抽样规则，所抽得号码构成，公差为5的等差数列，所以在第八组中抽得号码为。16.由曲线与曲线围成的平面区域的面积为·参考答案：17.若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为

▲

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.参考答案：(1)不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.

………5分（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得

取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).

…………7分由D1E＝λEO，则E，=.又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得

取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．

…………10分略19.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，且，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵，∴，∴；又，∴，解得（舍）或，∴.（2）由（1）知.则相减得∴.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法，属于中档题.20.已知函数g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．（1）求g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．参考答案：【分析】（1）先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；（2）求出a=+x1+x2，问题转化为证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*），令=t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；（2）由x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，得f（x1）=lnx1+﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+﹣ax2=0，两式相减得a=+x1+x2，∵f′（x）=+2x﹣a，∴f′（）=﹣，故要证明f′（）＜0，只需证明﹣＜0，（0＜x1＜x2），即证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*），令=t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，则h′（t）=lnt+﹣1，h″（x）=﹣＜0，故h′（t）在（0，1）递减，h′（t）＞h′（1）=0，故h（t）在（0，1）递增，h（t）＜h（1）=0，故（*）成立，即f′（）＜0．21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ），令得，易知函数在上单调递增，而，所以函数在上的最小值为；（Ⅱ）由题意知，分离参数得，构造函数，不等式成立问题转化为求函数h（x）的最大值，易证函数先减后增，通过计算可知，所以，当时，的最大值为，故．试题解析：（Ⅰ）由，可得，

当时，单调递减；当时，单调递增．所以函数在上单调递增．

又，所以函数在上的最小值为．

（Ⅱ）由题意知，则．若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值．设，则．当时，单调递减；当时，单调递增．由，，，可得．所以，当时，的最大值为．故．考点：1.导数与单调性；2.导数与最值；3.不等式恒成立问题22.已知，函数。（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值；（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的