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事件域1.5概率空间

概率的公理化定义概率公理化定义刻画了概率的本质，概率是一个函数，这个函数的作用是能度量随机事件再一次试验中出现机会的大小。它有点像我们熟悉的面积、体积，即所谓的测度。

概率的公理化定义规定了概率的基本性质，由这些基本性质可以推导出下面一些概率的常用性质。有效的利用概率的这些性质可以简化复杂事件的概率计算。

概率的性质

1.

证明：因为，且任意两项互斥，由公理3便有由于概率是数，显然有

该性质告诉人们：不可能事件的概率为零。但可不能推出是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上随意砍，现考察刀片恰好砍到直尺的中点这一事件，显然这事件是可能发生的，但由几何概型容易看出其概率为0。2.有限可加性

设两两互斥，则有这个性质称为概率的有限可加性，证明类似于性质1。

3.单调性若，则有。证明：如图1.7所示有又互斥，从而所以有图1.74.加法定理

对任意两个随机事件，有证明：如图1.8所示有又互斥且所以有如果事件互斥，则有。加法定理可以推广到任意有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况图1.85.逆事件的概率

设为事件的对立事件，则有。证明：如图1.9所示有所以有即有

该公式为求事件的概率提供了一个途径。A图1.9

概率性质在求解复杂事件概率中的应用

在求解复杂事件概率时，一般先利用事件之间的关系和运算把复杂事件用相对容易求概率的简单的事件表达出来，然后再用概率的性质计算。下面以例说明：例1.16袋中有20个球，其中15个白球，5个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率．解：设表示至少取到一个白球，表示恰好取到个白球，，则

两两互斥

由古典概型和概率加法公式易得

(另解)又由于，从而由古典概型与逆概率公式有

例1.17把6个小球随机地投入6个盒内（球,盒可识别），求前三个盒当中有空盒的概率。解：设表示前三个盒当中有空盒，表示恰好第个盒是空的，，则，于是由古典概型与概率加法公式有例1.18设事件的概率分别为，试在下列情况下求的值：（1）与互斥；（2）。解:（1）因为与互斥，故有，于是有。所以（2）因为而互斥，于是有又知

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