高一数学人教A版2019试题第1章集合与常用逻辑用语（单元测试卷）

第1章集合与常用逻辑用语（单元测试卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋•普宁市校级月考）若1∈{0，a}，则实数a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【分析】根据集合元素的得特点，进行判断即可．【解答】解：∵1∈{0，a}，则1在集合{0，a}内，故a＝1．故选：C．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．2．（2021•舒城县校级模拟）已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A⊆∁RB，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1}【分析】求出∁RB，然后根据A⊆∁RB建立条件关系，求出a的值．【解答】解：∵B＝{x|1＜x＜4}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥4}，∵A＝{x|x＜a}，A⊆∁RB，∴a≤1．故实数a的取值范围为{a|a≤1}．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（2021春•赣州期末）命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x≤1， B．∀x＞1， C．∃x≤1， D．∃x＞1，【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∀x＞1，”的否定是“∃x＞1，”．故选：D．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4．（2021•甲卷）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝（）A．{x|0＜x≤} B．{x|≤x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}【分析】直接利用交集运算求解．【解答】解：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝{x|≤x＜4}，故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．5．（2020•河南一模）集合的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．31 D．32【分析】根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．【解答】解：令x＝0，则y＝2；令x＝±1，则y＝；令x＝±2，则y＝0；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．【点评】本题考查真子集，集合元素，属于基础题．6．（2022•河南一模）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（∁RA）∩B＝（）A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3}【分析】先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求（∁RA）∩B．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，∴∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥4}，∵B＝{2，3，4，5}，∴（∁RA）∩B＝{4，5}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7．（2022秋•天山区校级期中）“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①由x2+x﹣2＝0，得x＝1或x＝﹣2，∴充分性不成立，②当x＝1时，x2+x﹣2＝0，∴必要性成立，∴x2+x﹣2＝0是x＝1的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8．（2023·湖北·校联考模拟预测）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（

）A． B． C． D．【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解答】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.①假设集合中含有个元素，可设，则，，这与矛盾；②假设集合中含有个元素，可设，，，，，满足题意.综上所述，集合中元素个数最少为.故选：A.【点评】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.（多选）9．（2021•浦江县校级开学）集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】由集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}中有且仅有一个元素，得a＝0或，由此能求出实数a．【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}中有且仅有一个元素，∴a＝0或，解得a＝0或a＝1，故选：AC．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．（多选）10．（2022秋•庐江县校级期中）已知集合P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，若P∪Q＝P，则实数a的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0【分析】若P∪Q＝P，则Q⊆P，从而可得Q＝∅或{2}或{1}，集合与元素关系可求．【解答】解：因为P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，若P∪Q＝P，则Q⊆P，故Q＝∅或1或2，当Q＝∅时，a＝0，当Q＝{1}时，a＝﹣2，当Q＝{2}时，a＝﹣1．故选：ABD．【点评】本题主要考查了元素与集合关系，集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．（多选）11．（2022•杭州模拟）已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅【分析】利用A⫋B的关系即可判断．【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，故选：BD．【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．（多选）12．（2021秋•镇海区校级月考）下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R，x≤0 B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．∃x0∈Z，1＜5x0＜3【分析】根据题意，分别判断选项中的命题是否为真命题即可．【解答】解：对于A，∃x∈R，x≤0，如x＝﹣3，﹣3≤0，所以是真命题；对于B，至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数，如1是整数，它既不是合数，也不是素数，所以是真命题；对于C，∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，如x＝π，π2是无理数，所以是真命题；对于D，因为1＜5x0＜3，所以＜x0＜，所以x0不是整数，是假命题．故选：ABC．【点评】本题考查了存在量词命题的真假性判定问题，是基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022秋•南岸区校级期中）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝5．【分析】直接根据集合相等求出m，n，进而求解结论．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，A＝B，∴m＝3，n＝2，∴m+n＝5，故答案为：5．【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的性质，是基础题．14．（2021秋•赣榆区校级月考）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为18．【分析】根据题意，利用列举法求出集合A⊙B，即可求解．【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝12，∴A⊙B＝{0，6，12}，∴集合A⊙B所有元素之和为18．故答案为：18．【点评】本题考查新定义，集合的互异性，考查运算求解能力，属于基础题．15．（2021秋•微山县校级月考）若“∃x∈R，有k≤﹣x2+1成立”是真命题，则实数k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】根据特称命题的性质得到k≤（﹣x2+1）max，再求出函数的最大值即可．【解答】解：若∃x∈R，有k≤﹣x2+1成立是真命题，则k≤（﹣x2+1）max，∵﹣x2+1≤1，∴k≤1，∴实数k的取值范围是：（﹣∞，1]，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查特称命题的性质，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键，属基础题．16．设全集U＝{2，3，2a﹣3}，A＝{2，b}，∁UA＝{5}，则a＝4，b＝3．【分析】由已知结合补集运算得答案．【解答】解：∵U＝{2，3，2a﹣3}，A＝{2，b}，且∁UA＝{5}，∴2a﹣3＝5，即a＝4，则U＝{2，3，5}，∁UA＝{5}，∴A＝{2，3}，则b＝3．故答案为：4；3．【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋•简阳市校级月考）已知A＝{a，b，c}，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系；（2）请写出集合A的所有非空真子集．【分析】（1）由含有n个元素的集合的子集个数公式求得集合A的子集的个数，再由空集与真子集的概念判断∅与集合A的关系；（2）直接写出集合A的所有非空真子集．【解答】解：（1）∵A＝{a，b，c}，∴集合A的子集的个数为23＝8个，∅⫋A；（2）集合A的所有非空真子集有：{a}，{b}，{c}，{ab}，{ac}，{bc}．【点评】本题考查集合间的关系，考查子集与真子集的概念，是基础题．18．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0有实根；（2）每个正方形都是平行四边形；（3）∃m∈N，∈N；（4）存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°．【分析】（1）全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；（2）全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；（3）特称命题的否定为全称命题，由m＝0，计算即可判断真假；（4）特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假．【解答】解：（1）∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0有实根，其否定为：∃a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0无实根，由Δ＝a2+4＞0，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；（2）每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题；（3）∃m∈N，∈N，其否定为：∀m∈N，∉N，由m＝0时，＝1∈N，则原命题为真命题，其否定为假命题；（4）存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°，其否定为任意四边形ABCD，其内角和等于360°，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360°，可得原命题为假命题，其否定为真命题．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定，考查转化思想和判断能力、推理能力，属于基础题．19．（2021秋•雨花区期末）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}．（1）求A∩B及A∪B；（2）求（∁UA）∩B．【分析】（1）利用交集定义和并集定义直接求解．（2）先求出∁UA，由此能求出（∁UA）∩B．【解答】解：（1）因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}，所以A∩B＝{1，3，4}∩{1，4，5，6}＝{1，4}，A∪B＝{1，3，4}∪{1，4，5，6}＝{1，3，4，5，6}．（2）因为U＝{1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{2，5，6}，所以（∁UA）∩B＝{5，6}．【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20．（2021春•辽宁期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据B⊆A可讨论B是否为空集：B＝∅时，可得出m＞2；m≠∅时，，然后解出m的范围即可；（2）根据题意得出B为非空集合且A∩B≠∅，从而得出B为非空集合时m≤2，然后可得出A∩B＝∅时，m＜﹣4，从而可得出m的取值范围．【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立，②当B不是空集时，∵B⊆A，，解得﹣1≤m≤2，综上①②，m的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅，∴m+1≥2m﹣1，m≤2，∵A∩B＝∅时，2m﹣1≥4或m+1＜﹣3，解得，∴m＜﹣4，∴A∩B≠∅，﹣4≤m≤2，∴m的取值范围为：[﹣4，2]．【点评】本题考查了子集的定义，空集的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．21．（2020春•杭州期末）设集合M＝{x|（x+a）（x﹣1）≤0}（a＞0），N＝{x|4x2﹣4x﹣3＜0}．（Ⅰ）若M∪N＝{x|﹣2≤x＜}，求实数a的值；（Ⅱ）若（∁RM）∪N＝R．求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简集合M、N，根据并集的定义求出a的值；（Ⅱ）根据补集与并集的定义，结合实数集的概念，即可