数学人教A版必修4问题导学2.3.4平面向量共线的坐标表示

2.3.4平面向量共线的坐标表示问题导学一、向量共线的坐标运算活动与探究1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？迁移与应用1．已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝()A．(－1,7)B．(－1,2)C．(1,2)D．(1，－2)2．已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，判断与是否共线．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0．二、三点共线问题活动与探究2向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？迁移与应用1．若点A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共线，则x＝__________．2．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(2)若＝2，求点C的坐标．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．三、向量共线坐标表示的应用活动与探究3在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，AD与BC交于点M，求点M的坐标．迁移与应用1．已知a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，若a∥b，则tanθ＝__________．2．已知向量a，b，满足a＋b平行于x轴，a＝(2，y)，b＝(2，－2)，则a与b的夹角为__________．关于解决点共线或向量共线问题，主要是求出相关向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程(方程组)来解决．当堂检测1．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝()A．－5B．5C．－1D．12．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是()A．a－c与b共线B．b＋c与a共线C．a与b－c共线D．a＋b与c共线3．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2)D．－24．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b与c共线，则k＝______．5．已知向量a＝(2x,7)，b＝(6，x＋4)，当x＝__________时，a＝b；当x＝__________时，a∥b且a≠b．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】x1y2－x2y1＝0eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)预习交流：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．解：因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴－4(k－3)＝10(2k＋2)，∴k＝－eq\f(1,3)．这时ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，且a－3b与－eq\f(1,3)a＋b的对应坐标异号，∴当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．迁移与应用1．D解析：a∥by＝－4，∴3a＋2b＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)2．解：＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴∥，即与共线．(或＝－2，∥，∴与共线)活动与探究2思路分析：根据向量共线的充要条件，若A，B，C三点共线，只要满足＝λ(或＝λ)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要条件求出k的值．解：方法一：∵＝－＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)，∵A，B，C三点共线，∴＝λ，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴解得k＝11，或k＝－2．方法二：同方法一，∵A，B，C三点共线，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11，或k＝－2．迁移与应用1.9解析：∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，＝(x－1，4)，∥，∴7×4－eq\f(7,2)×(x－1)＝0，∴x＝9．2．解：(1)由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则∥，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2．(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，∴∴即C(5，－3)．活动与探究3思路分析：充分利用向量共线的坐标表示，列出方程组求解．解：∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴＝(0,5)，＝(4,3)．∵＝(xC，yC)＝eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))．同理可得点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，从而＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))．设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)．∵A，M，D三点共线，∴与共线．∴－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．①易知＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))．∵C，M，B三点共线，∴与共线．∴eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20．②由①②得x＝eq\f(12,7)，y＝2．∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2))．迁移与应用1．eq\f(1,4)解析：∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ，∴4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,4)．2．90°解析：由已知得a＋b＝(4，y－2)，∵a＋b与x轴平行，∴y－2＝0，y＝2．在坐标系中以原点为起点，画出向量a，b，则由图知，a与b夹角为90°．【当堂检测】1．A解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A．2．C解析：由已知得b－c＝(3,3)，∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．∴a与(b－c)共线．3．C解析：λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)，由共线条件可得，λ－μ＝3λ即eq\f(λ,μ)＝－eq\f(1,2)，故选C．4．1解析：a－2b＝(eq\r(