2021-2022学年北师大版九年级数学上册 《第1章特殊平行四边形》单元提升训练含答案

2021北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》单元训练

1.如图，菱形4BCZ）的对角线AC、8。相交于点O,AC=10,BD=4,EF为过点。的一

条直线，则图中阴影部分的面积为（）

D.12

2.如图，正方形A8C。中，ZDAF=35°,AF交于点E,则NBEC的度数为（）

A.65°C.75°D.80°

3.如图，分别以直角△ABC的斜边A8,直角边AC为边向△ABC外作等边和等边

△4CE,尸为AB的中点，DE与AB交于点G,E尸与AC交于点从ZACB=90°,Z

BAC=30°,给出如下结论：

©EF1AC；②四边形AZJFE为菱形；

③AO=4AG；®4FH=BD；其中正确结论的是（）

D______________£

B

A.①②③B.①②④C.①®@D.②③④

4.如图，在四边形488中，对角线AC、BO互相平分，若添加一个条件使得四边形ABC。

是菱形，则这个条件可以是（）

A.ZABC=90°B.AB=BDC.AC±BDD.AC=BD

5.如图，点E,F在菱形ABC。的对角线AC上，ZADC=120°,NBEC=NCBF=50°,

1

EO与B尸的延长线交于点M.则对于以下结论：①NBME=30°；②△4OE丝△4BE；

③EM=BC;@AE+BM=y/3EM.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，已知正方形的边长为4,尸是对角线上一点，PELBC于点E,PF±

CD于点F,连接AP,EF.给出下列结论：①PD=MEC；②四边形PECF的周长为8；

③AP=EF；④E尸的最小值为2近.其中正确结论有几个（）

A.1B.2C.3D.4

7.在四边形48C。中，点。是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形

的条件是（）

A.AC=BD,AB//CD,AB=CDB.AD=BC,ZBAD=ZBCD

C.AO=CO,BO=DO,AB=BCD.AO=BO=CO=DO,AC±BD

8.下列命题为假命题的是（）

A.四个内角相等的四边形是矩形

B.对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形

C.一组邻边相等的矩形是正方形

D.两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

9.如图，矩形ABC3中，AB=4,AD=2,E为A8的中点，尸为EC上一动点，P为DF

中点，连接P8,则PB的最小值是.

2

10.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知8（2“，2）,点4在x轴上,

点C在y轴上，P是对角线08上一动点（不与原点重合），连接尸C,过点P作POLPC,

交x轴于点D则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①。4=BC=2、/§；②当点。运动到0A的中点处时，Pd+P0=1；

③当0。=尸。时，点。的坐标为（返，0）；④在运动过程中，NCQP是一个定值.

11.如图，在平行四边形A8CZ）中，AO=2AB,C及LAB于点E,点尸、G分别是A。、BC

的中点，连接CF、EF、FG,下列四种说法：①②四边形ABGF是菱形；③

BC=2EG；@ZDFC=ZEFG.正确的有.（填序号）

12.如图，AC是菱形ABC。的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作A8和BC的

垂线，垂足分别是点F和E,若菱形的周长是12cm,面积是6s/，则PE+PF的值是

13.如图，在菱形ABC。中，边A8=5,E,尸分别在8c和4。上，若。尸=1,BE=3,且

止匕时BF=DE,则BF的长为

3

B

E

14.如图，点E为正方形ABC。的边D4的延长线上一点，以8E为边在BE的另一—侧作正

方形BEFG,连接CG,已知AB=15,BE=\1.

(1)线段AE的长为；

(2)ABCG的面积为.

15.若一个菱形的周长为200cm,一条对角线长为60a〃，则它的面积为.

16.如图，在矩形A8CQ中，E是直线BC上一点，且CE=CA,连接AE.若/BAC=60°,

则/CAE的度数为.

17.如图，在RtZXABC中，ZACB=90Q,D,E分别是边A8,8c的中点，连接力E并延

长到点F,使EF=DE,连接CF,BF.

(1)求证：四边形CFBD是菱形；

(2)连接AE,若DF=2,求AE的长.

18.如图，在nABC。中，过点。作OELA8于点E,点尸在边CO上，CF=AE,连接A凡

BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形;

4

(2)已知/D4B=60°,A尸是ND4B的平分线，若43=4,求。A8CO的面积.

19.如图，在△A8C中，AB=AC,点。是8C中点，点E是A£＞中点，延长BE至F,使

EF=BE,连接AF,CF,BF与AC交于点G,连接。G.

(1)求证：四边形AOCF是矩形.

(2)若A8=5,BC=6,求线段OG的长.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,ADA.BC,垂足为D,过点A作AE〃BC,SLAE=BD,

连接BE,交AD于点F,连接CE.

(1)求证：四边形AOCE为矩形；

(2)若CE=4,求AF的长.

21.如图，四边形ABCZ)是平行四边形对角线AC,8。交于点。，BD=2AB,AE//BD,OE

//AB.

(1)求证：四边形ABOE是菱形；

(2)若AO=2,S四边形ABOE=4A/"^,求3。的长.

5

E

22.如图，在平行四边形ABC。中，E尸垂直平分对角线AC,分别与边AO,8c交于点片

E.

(1)求证：四边形HECF为菱形；

(2)若A£>=3,CD=y,且/。=45°,求菱形AEC尸的周长.

23.如图，在QABCD中，点E、尸在对角线2。上，BE=DF.

(1)求证：四边形AEC尸是平行四边形；

(2)若8。平分NA8C,求证：四边形AEC尸是菱形.

24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点5关于直线AP的对称点为E连接BE,DE,其中

OE交直线4尸于点F.连接AE,若/以3=20°,求NAOF的度数.

25.如图，在DABCO中，点0是边BC的中点，连接DO并延长，交4B延长线于点E,连

6

接肛EC.

(1)求证：四边形BECD是平行四边形;

(2)若NA=40°,则当°时，四边形BECZ)是矩形.

26.如图，在△ABC中，AB=AC,。为边BC的中点，四边形A8OE是平行四边形，AC,

£»£相交于点C.

(1)求证：四边形ADCE是矩形；

(2)若/AOE=90°,AE=2,求矩形AOCE对角线的长.

27.如图，已知点E是。A8C。中8c边的中点，连接AE并延长交。C的延长线于点F,连

接AC,BF,AF=BC.

(1)求证：四边形ABFC为矩形；

(2)若是等边三角形，且边长为4,求四边形ABFC的面积.

28.如图，在RtZ\ABC中，两锐角的平分线A。，BE相交于。，OF_LAC于/，OG±BC

于G.

(1)求证：四边形OGCF是正方形.

(2)若/B4C=60°,AC=4,求正方形OGCF的边长.

7

29.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点、O,过点B作8E〃AC,且BE,AC，连

接EC、ED.

(1)求证：四边形BECO是矩形;

(2)若AC=2,ZABC=60°,求。E的长.

30.如图，在正方形A8CD中，48=6,连接AC、BD,P是图中线段上的一点，若PD=

2AP,求AP的长.

31.如图，已知正方形ABCD中，E为C8延长线上一点，且BE=AB,M、N分别为4E、

BC的中点，连DE交AB于0,MN交,ED于H点、.

(1)求证：AO=BO；

(2)求证：NHEB=NHNB；

(3)过A作API.ED于P点、,连BP,则FE-PA的值.

PB

8

参考答案

I.解：...四边形ABC。是菱形，

J.ACVBD,AO=CO,AD//BC,

：.ZDAO^ZBCO,

在△AEO和△CFO中，

"ZDA0=ZBC0

，AO=CO，

ZAOE=ZCOF

.♦.△4EO丝△CFO(ASA),

,•S^AEO-S&CFO,

...图中阴影部分的面积=SMOC=A豹gABCD=2X型11=5,

442

故选：A.

2.解：:四边形A3CO为正方形，

：.DA=DC,ZADE=ZCDE=45°,

又・；DE=DE,

：.AADE^ACDF(SAS).

：.ZDCE=ZDAF=35°,

AZBEC=ZCDE+ZDCE=450+35°=80°.

故选：D.

3.解：:△ACE是等边三角形，

：.ZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30°,

：.ZEAF=ZACB=90°,AB=2BC,

・・・b为A8的中点，

：.AB=2AFf

9

：.BC=AF,

在△ABC和△EE4中，

，AC=AE

<ZACB=ZEAF-

BC=FA

(SAS),

：.FE=AB,ZAEF=ZBAC=30°,

.•./A//E=180°-ZEAC-ZA£F=180°-60°-30°=90°,

：.EFLAC,故①正确，

"."EFA.AC,NACB=90°,

J.FH//BC,

:尸是A8的中点，

是△ABC的中位线，

：.FH=^BC,

2

'：BC=1AB,AB=BD,

2

：.BD=4FH,故④正确；

"：AD=BD,BF=AF,

：.ZDFB=90°,ZBDF=30Q,

VZM£=90°,

NDFB=ZEAF,

"：EFLAC,

：.ZAEF=30°,

；.NBDF=NFEA,

在aDBf和△£：孙中，

rZBDF=ZFEA

-NDFB=EAF，

BF=FA

:.△DBF咨MEFk(AAS),

：.AE=DF,

"：FE=AB=AD,

...四边形ADFE为平行四边形,

10

"：AB>AC,

：.AD>AE,

...四边形AOFE不是菱形，故②错误；

•：AG=^1AF,

2

：.AG=X\B,

4

\'AD=AB,

则AO=4AG,故③正确，

故选：C.

4.解：添加一个条件为ACJ_8O,理由如下：

•.,四边形ABC。中，对角线AC、B。互相平分，

...四边形A8CD是平行四边形，

"JACYBD,

...平行四边形A8co是菱形.

故选：C.

5.解：..•四边形A8D是菱形，NADC=120°,

：.AD=AB=BC=CD,/8A£>=/BC£>=60°,NDAE=NBAE,NDCE=NBCE=L/

2

BCD=30°,

■:NBFE=NBCE+NCBF=30°+50°=80°,

/.ZEBF=180°-NBEC-NBFE=18。°-50°-80°=50°,

在△COE和ACBE中，

'CD=CB

-ZDCE=ZBCE>

CE=CE

.♦.△CDE丝△CBE(SAS),

：.ZDEC=ZBEC=50°,

NBEM=ZDEC+ZBEC=100°,

：.ZBME=180°-NBEM-NEBF=180°-100°-50°=30°,故①正确；

在△?!£>£：和△ABE中，

11

"AD=AB

<NDAE=NBAE，

AE=AE

A/\ADE^^ABE(SAS),故②正确；

NEBC=NEBF+NCBF=100°,

：.NBEM=NEBC,

在△BEM和△EBC中，

'NBEM=/EBC

<ZBME=ZECB=30°-

BE=EB

:.△BEM//XEBC(A4S),

：.BM=EC,EM=BC,故③正确；

连接BO交AC于O,如图所示：

•.•四边形ABC。是菱形，

：.OA=OC,AC.LBD,

\'ZDCO=30°,

:.OD=1.CD=1BC,OC=\F^OD,

22

：.OC=®BC,

2

：.AC=2OC=4^C,

•；BM=EC,EM=BC,

：.AE+BM=AE+EC=AC=43BC^-j3EM,故④正确,

正确结论的个数是4个，

故选：D.

12

①是正方形的对角线，则NPZ)F=45°,

而PFLCD,则△2£>/为等腰直角三角形，

：.PD=42PF<

"JPELBC,

：.ZPEC^ZPFC=90°,

:四边形4BCZ)为正方形，

AZBCD=90°,

四边形PECF是矩形，

：.CE=PF,

：.PD=y/2CE；

故①正确；

②：四边形PECF为矩形，

四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+28E=28C=8；

故②正确；

③；四边形PECF为矩形，

:.PC=EF,

；四边形A8CZ)为正方形，

：.AD^CD,ZADC^ZCDP,

在和△COP中，

'AD=CD

-NADP=NCDP，

DP=DP

/./\ADP^^CDP(.SAS),

：.AP=PC,

：.AP=EFi

故③正确；

13

④由EF=PC=AP,

.•.当AP最小时，EF最小，

则当时，即4P=2BD=20时，EF的最小值等于2圾；

2

故④正确；

综上，①②③④正确.故选：D.

7.解：A.,：AB//CD,AB=CD,

...四边形ABC。是平行四边形，

'：AC^BD,

，四边形48co是矩形；

B.AD=BC,ZBAD=ZBCD,四边形A8C£＞不一定是平行四边形，

.•.不能判定四边形ABC。是正方形；

C.\'AO=CO,B0=D0,

二四边形ABCD是平行四边形，

"：AB=BC,

四边形ABCC是菱形；

D.,:AO=BO=CO=DO,

...四边形ABC。是矩形，

".'AC1.BD,

二四边形A8CQ是正方形；

故选：D.

8.解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；

8、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意;

C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；

。、两组邻边分别相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意，

故选：D.

9.解：如图：

14

当点尸与点C重合时，点P在Pl处，CP\=DP\,

当点尸与点£重合时，点P在P2处，EP2=DP2,

...PlP2〃CE且PI尸2=—CE.

2

当点尸在EC上除点C、E的位置处时，有。尸=FP.

由中位线定理可知：/^2〃(:后且尸^二工。7.

2

...点P的运动轨迹是线段P1P2,

...当8PLP1P2时，PB取得最小值.

•矩形ABCC中，AB=4,AD=2,E为A8的中点，

:ACBE、△AOE、ZXBCPi为等腰直角三角形，CP\=1.

：.ZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,ZDEC=90°.

二/OP2Pl=90°.

AZDPIP2=45°.

；./P2PIB=90°,即8PI_LPIP2,

••.BP的最小值为8Pl的长.

在等腰直角BCPi中，CP\=BC=2,

:.BPi=2&

；.PB的最小值是2&.

故答案是：2&.

10.解：①：四边形O48C是矩形，B(273，2),

•*-OA=BC=2,\[^；故①正确；

②•.•点力为。4的中点，

OD=—OA=^3)

2

■:PD工PC,

：.ZCPD=9Q°,

P^+PD2=CD2=OC^+OD1=22+（V3）2=7,故②正确;

15

③(2«,2),四边形OABC是矩形,

•*"OA2,\y3>AB=2,

AZAOB=30°,

当OO=PO时，

:.NDOP=NDPO=30°,

：.ZODP=\20°,

AZODC=60°,

00=返oc=3;③

33

：.D（2四0）；

3_

即点。的坐标为（2返，0）.故③错误，

3

④如图，过点尸作P凡LOA于尸，FP的延长线交BC于E,

J.PELBC,四边形OFEC是矩形，

：.EF=OC=2,

设PE=a,则PF=EF-PE=2-a,

BE=E=yf^ci,

:.CE=BC-BE=?M-小=M(2-67),

•：PD上PC,

：.ZCPE+ZFPD=90°,

•；NCPE+/PCE=90°,

：.ZFPD=ZECP,

9：ZCEP=ZPFD=90°,

AZCDP=60o,故④正确；

故答案为：①②④.

11.解：.••四边形ABC。是平行四边形,

16

J.AD//BC,AD=BC,

♦:点F、G分别是AO、5c的中点,

:.AF=1AD9BG=LBC,

22

；.AF=BG,

■:AF/IBG,

・・・四边形A8G尸是平行四边形，

J.AB//FG,

9：CELAB,

：.CELFG；故①正确；

*：AD=2ABfAD=2AF9

：.AB=AFf

，四边形ABGF是菱形，故②正确；

VCE1AB,

AZBEC=90°,

・・,点G是BC的中点，

:.BC=2EG,故③正确；

延长ER交C。延长线于M,

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

：.NA=NMDF,

•・•尸为AD中点,

:.AF=FD,

<ZA=ZFDM

在△AE/7和中一AF=DF

ZAFE=ZDFM

AAAEF^ADMF(ASA),

:・FE=MF,NAEF=NM,

<CE±AB,

・・・NA£C=90°,

AZAEC=ZECD=90<3,

17

•:FM=EF,

：.FC=EF=FM,

CF=LEM,

2

：.ZECM=90°,

:.ZFCD=NM=NFCE=ZF^C=45°,

・・•四边形A8C。是平行四边形，

:・AB=CD,AD//BC,

9：AF=DF,AD=2AB,

:・DF=DC,

：.ZDCF=ZDFC9

*：DF=AF=^ADfCD=AB=^AD,

22

・・.四边形CDFG是菱形，

：.FG//CD,

：.NDCF=/CFG,

■:FG工CE,

:・/EFC=/CFG,

：.ZEFG=ZDFC,故④正确，

故答案为：①②③④.

12.解：连接8P,

,△ABC=S/iABP+S2kBPC蒋$菱形轴Q=3（cm），

.\AB=BC=—x12=3（。〃），

4

112

S^p+S^BpcH^PF卷OPE=3（皿），

18

AyX3XPE+yX3XPF=3'

o

，PE+PF=3X/=2(cm),

故答案为：2.

13.解：,在菱形ABCO中，边AB=5,DF=\,BE=3,

；.CE=2,AF=4,

如图，在A尸上截取AG=CE=2,过点B作BH_LFG于点H,

则FG=AF-AG=2,

•.,菱形ABC。中，NA=/C,AB^DC,

在△BAG和△OCE中，

，BA=DC

<ZA=ZC

AG=CE

.二△BAG丝△QCE(SAS).

：.BG=DE,

"：BF=DE,

：.BG=BF.

过点B作BHVFG于点H,Ml]FH=HG=1FG=1,

2

：.AH=AG+GH^2+\=3,

"：AB=5,

...在中，由勾股定理得：BH=4,

...在Rtz^BH尸中，由勾股定理得：BF={BH2+皿2=山2+12=五.

故答案为：V17.

14.解：(1)在RtZVIBE中，AE2=BE2-AS2,

19

."£=8,

故答案为8；

(2)延长GB交C。于点H,

VGB1EB,

:.NEBH=90°,

'：ZEBA+ZABH=90°,/ABH+NCBH=90°,

:./EBA=NCBH,

"：BC=AB,NEAB=NBCH,

.'.△ABE彩△CB”(ASA),

：.EB=BH,

是GH的中点，

」.△BCG的面积=Z\BCH的面积=Z\BAE的面积=J^XAEXAB=2X8X15=60,

22

15.解：已知AC=60cm,菱形对角线互相垂直平分,

又V菱形ABCD周长为200cm,

.\AB=50cm,

•••AB2-AO2=V502-302=40c/n>

：.AC=2BO=SOcm,

...菱形的面积为上x60X80=2400(cm2).

2

故答案为：2400cm2.

20

16.解：VZBAC=60°,NA8C=90°,

AZACB=30°,

如图，当点E在点8左侧时,

.../CAE=/AEC=75°,

若点E在点C右侧时，

"：AC=CE,

：.ZCAE=ZCE：A,

,/ZACB^ZCAE+ZCEA=30°,

/.ZCA£,=15°,

综上所述：NCAE的度数为75°或15°,

故答案为75°或15°.

17.证明：（1）•.•点E为BC的中点，

:.CE=BE,

又；EF=DE,

二四边形CFBD是平行四边形，

是边AB的中点，ZACB=90°,

:.CD=1AB=BD,

2

四边形CFB。是菱形；

（2）VD,E分别是边A8,BC的中点，

：.AC=2DE,

;DF=2DE=2EF,DF=2,

；.AC=2,EF=\,

VCF-ViO-四边形CFOB是菱形，

AZC£F=90°,

；•C£=VCF2-EF2=V（VIO）2-I2=3,

21

VZACE=90°，

•••AE=7AC2RE2=62+32=万，

即AE的长是丘.

18.(1)证明：：四边形ABC£)是平行四边形，

：.DC//AB,DC=AB,

"：CF=AE,

：.CD-CF=AB-AE,

：.DF=BE3.DC//AB,

二四边形BFOE是平行四边形，

5L'：DEVAB,

:.NDEB=90°,

平行四边形是矩形；

(2)解：VZDAB=60°,AD=4,DEIAB,

：.ZADE=3Q°,

.•.AE=LD=2,OE=^4E=2«,

2

由(1)得：四边形。FBE是矩形，

：.BF=DE=2y/3>ZABF=90°,

平分/D43,

AZFAB=^ZDAB=30°,

2

:.AB=4^BF=Mx2M=6,

：.°ABCD的面积=ABXOE=6X2加=12夷.

19.(1)证明：：点E是AO中点，

：.AE=DE,

22

在△4£厂和△OE8中,

'AE=DE

<ZAEF=ZDEB>

EF=EB

:.AAEF经ADEB(SAS),

：.AF=DB,NAFE=NDBE,

.'.AF//DB,

•；AB=AC,点。是3c中点，

：.DB=DC,AD1BC,

：.AF=DC,乙4£>C=90°,

四边形ADCF是平行四边形,

VZADC=90°,

二平行四边形AOC尸是矩形；

(2)解：过G作G”J_CD于，，如图所示：

则GH//AD,

•.•AB=AC=5,点。是3c中点，

：.AD±BC,BD=CD=LBC=3,

2

AAD=VAC2-CD2=V52-32=4,

由(1)得：AF=DC=BD=3=1BC,AF//BC,

2

：.AG=1.CG,

2

:.AG=XAC=^-,

33

：.CG=AC-CG=^-,

3

'：GH//AD,

:.GH=2LAD=^-,CH=2CD=2,

333

：.DH=CD-CH=\,

F+e)2=年.

23

20.(1)证明：'：AB=AC,AD±BC,

：.BD=CD,ZADC=90°,

'：AE=BD,

：.AE=CD,

'JAE//BC,

四边形ADCE是平行四边形，

又；/AQC=90°,

二四边形AOCE为矩形；

(2)解：由(1)得：四边形ADCE为矩形,

.\AD=CE=4,

'：AE//BC,

：.NAEF=/DBF,

在尸和△OB尸中，

'/AEF=/DBF

,ZAFE=ZDFB-

AE=DB

二.△AEF注ADBF(AAS),

：.AF=DF=1AD^2.

2

21.(1)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

:.OB=OD=1BD,

2

,:BD=2AB,

：.AB=OB,

'.,AE//BD,OE//AB,

24

...四边形ABOE是平行四边形，

"：AB=OB,

...四边形ABOE是菱形；

(2)解：连接BE,交。4于尸，如图所示：

；四边形A80E是菱形，

：.OA±BE,AF=OF=l.OA=l,BF=EF=、BE,

22

'''S四边形ABOE=4«，

SnuiKABOE=—OA•B£=AX2XBE=BE,

22

:.BE=AM，

:.BF=2M，

；•6*B=VBF2-K)F2=7(2V3)2+12=^

.•.80=208=271^.

22.(1)证明：：对角线AC的垂直平分线E尸分别与AC、BC、A。交于点。、E、F,

：.AF=CF,AE=CE,OA=OC,

：.ZEAC=ZECA,ZFAC=ZFCA,

'：四边形ABCD是平行四边形，

C.AD//BC,

：.ZEAC=ZFCA,

：.ZFAO=ZECO,

在△AOF和△COE中，

，ZFAO=ZECO

<OA=OC，

ZAOF=ZCOE

:.△AOF色XCOE(ASA),

：.AF=CE,

25

"：AF=CF,AE=CE,

：.AE=EC=CF=AF,

...四边形AECF为菱形；

(2)解：过C作C，_LAO于H,

则NC，£)=NCH尸=90°,

VZD=45°,

是等腰直角三角形，

:・CH=DH=®CD,

2

•:CD=近,

：.CH=DH=\f

VAD=3,

：.AH=2.

•・,四边形AEC尸是菱形，

：.AF=CF,

设AF=CF=x,

则FH=2-x,

在Rt^C”尸中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH1,

(2-x)2+12,

4

：.AF=CF^^-,

4

二菱形AECF的周长=$X4=5.

•••四边形ABCD是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=FD,

26

：.0B-BE=OD-DF,即OE=OF.

・・.四边形AECF是平行四边形；

(2)I•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BCf

：./ADB=/DBC,

二双)平分乙48C,

・・・/ABD=NDBC,

：.NABD=NADB,

：.AB=ADf

・・・平行四边形ABC。是菱形，

C.ACLBD,

即AC1EF；

由(1)得：四边形4ECT是平行四边形,

・・.四边形AECF是菱形.

24.解：,・,点5关于直线AP的对称点为£

：.AP是对称轴，

：.ZPAB=ZPAE=20°,

：.ZEAB=2ZBAP=40°,AE=AB9

'：四边形ABCD是正方形，

・・・NR4Q=90°,AB=AD,

：.ZEAD=]30°,

：.AE=ADf

：.ZADF=NAED,

...*=180。；30。多。.

25.(1)证明：；四边形ABC。为平行四边形,

27

：.AB//DC,AB=CD,

：.ZOEB=ZODC,

又：0为8c的中点，

：.BO=CO,

在△BOE和△C。。中，

rZ0EB=Z0DC

•ZB0E=ZC0D-

BO=CO

...△BOE丝△COO(AAS)；

：.OE=OD,

...四边形BECO是平行四边形；

(2)解：若/A=40°,则当/8。£>=80°时，四边形BECZ)是矩形.理由如下:

:四边形ABCD是平行四边形，

AZBCD=Z4=40°,

ZBOD=ZBCD+ZODC,

：.ZODC=SO°-40°=40°=NBCD,

：.OC=OD,

,:BO=CO,OD=OE,

：.DE=BC,

：四边形BECD是平行四边形，

二四边形BECO是矩形；

故答案为：80.

26.(1)证明：•••四边形ABQE是平行四边形，

：.BD=AE,BD//AE,

为8c的中点，

：.CD=BD,

：.CD=AE.

四边形ADCE是平行四边形.

5L'：AB=AC,。为边8c的中点，

J.ADLBC,

：.ZADC=90°,

28

，四边形AOCE是矩形.

(2)解：•.,四边形AOCE是矩形，NAOE=90°,

.•.矩形AOCE是正方形，

：.CE=AE=2,/AEC=90°,

:.AC=4^E=2®

即矩形ADCE对角线的长为2&.

27.(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

:.NBAE=NCFE,

•.•点E是。ABC。中BC边的中点，

；.BE=CE,

在△ABE和AFCE中，

，ZBAE=ZCFE

<NAEB=NFEC，

BE=CE

:.△ABE空XFCE(A4S),

：.AB=FC,

■:ABHFC,

...四边形A8FC是平行四边形，

又：AF=BC,

二平行四边形48FC为矩形；

(2)解：由(1)得：四边形A8尸C为矩形，

.\ZACF=90°,

•.,△AFD是等边三角形，

：.AF=DF=4,CF=ADF=2,

2

AC=五72-,尸2=V42-22=2«，

四边形ABFC的面积=ACXCF=2«X2=4«.

28.(1)证明：过。作O”_LAB于H点，

：0尸，4。于点尸，OGLBC于点G,

：.NOGC=/OFC=90°.

29

VZC=90°,

四边形OGC尸是矩形.

,：AD,BE分别是NBAC,NA8C的角平分线，OF_LAC,OG±BC,

：.OG=OH=OF,

又四边形OGC尸是矩形，

四边形OGCF是正方形；

(2)解：在RtZ\ABC中，

VZBAC=60°,

NABC=90°-ZBAC=90°-60°=30°,

:.AC=1AB,

2

'：AC=4,

.•.A3=2AC=2><4=8,

,：AC2+BC2=AB2,

；衣=弧2-42=4«,

在RtAAOH和RtA^OF中，

[OH=OF,

IOA=OA'

Rt/\AOH^Rt^AOF(HL),

：.AH=AF,

设正方形OGCF的边长为x,

贝I」AH=AF=4-x,BH=BG=4yf3-x,

.,.4-x+4^/3-x=8,

••x=2.yf^-2,

即正方形OGCF的边长为2、门-2.

29.(1)证明：..•四边形ABCO是菱形,

30

:.NBOC=90°,0C=04=LC,

2

'：BE=^AC,

2

:.BE=OC,

\'BE//AC,

四边形BECO是平行四边形，

VZBOC=90°,

，四边形8EC。是矩形；

（2）解：•••四边形ABCO是菱形，

：.AC1.BD,OB=XBD,0C=LC=1,AB=BC,

22

VZABC=60°,

」.△ABC是等边三角形，

：.BC=AC=2,

在RlABOC中，由勾股定理得：O