2023-2024学年福建省宁德市寿宁重点中学高二（上）期初数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省宁德市寿宁重点中学高二（上）期初数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足(z+2i)(2A.2−i B.2+i C.2.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径AB=16米，AD=4米，圆锥的高PQA.336π平方米 B.272π平方米 C.208π平方米 3.设x0为函数f(x)=lA.3 B.4 C.6 D.54.某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW⋅h之间，进行适当的分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.则A.小区用电量平均数为186.5，极差为300

B.小区用电量中位数为171，众数为175

C.可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5

D.小区用电量不小于250kW5.已知函数f(x)=A.函数f(x)的最小正周期为π

B.x=7π12是函数f(x)的一条对称轴

C.函数f(x)在区间[6.函数f(x)=7+2A.a≤−1 B.a<−17.如图，在平面四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2A.−2

B.−32

C.−8.△ABC中，AB=2，BC=26，ACA.7 B.15 C.−15二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，下列说法正确的是(

)A.若P∈a，P∈α，则a⊂α

B.若a∩b=P，b⊂β，则a⊂β

C.若a//b，10.下列有关复数的说法正确的是(

)A.若复数z=z−，则z∈R B.若z+z−=0，则z是纯虚数

C.若z11.一个袋子中有大小和质地相同的5个球(标号为1，2，3，4，5)，从袋中有放回的抽出两球则下列说法正确的是(

)A.没有出现数字1的概率为425 B.两次都出现两个数字相同的概率为15

C.至少出现一次数字1的概率为925 D.两个数字之和为12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−AA.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]

C.使直线AP与平面A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2+9=014.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为14,13,15.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t16.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为2，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE=2BE，点F是BC的中点．

(1)设AB=a，AD=b18.(本小题10.0分)

设函数f(x)=lg(x2−1)的定义域为集合A，g(x)=9x+a−19.(本小题12.0分)

已知向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x)，函数f(x)=m⋅n．

(1)20.(本小题12.0分)

2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式.某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．

A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；

B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；

C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；

D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；

E等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40．

现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(Ⅰ)求图中a的值；

(Ⅱ)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？(结果保留整数)21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=loga(10+x)−loga(10−x)(22.(本小题14.0分)

如图所示，在等边△ABC中，AB=6，M，N分别是AB，AC上的点，且AM=AN=4，E是BC的中点，AE交MN于点F.以MN为折痕把△AMN折起，使点A到达点P的位置(0<∠PFE<π)，连接PB答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为(z+2i)(2−i)=5，则z=522.【答案】D

【解析】解：依题意得，

圆柱的侧面积S1=2π×(12AB)×AD=2π×12×16×4=64π，∵3.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)=lnx+x−5在(0,+∞)上单调递增，

又f(3)=ln3+3−5=ln3−2<04.【答案】C

【解析】解：对于A，极差为300，小区用电量平均数为

50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225

+50×0.0024×275+50×0.0012×325=186，故A错误；

对于B，小区用电量众数为150+2002=175，

因为50×(0.0024+0.0036)=0.3，50×(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6，

故小区用电量中位数在[150,200)，设为m，

则0.3+(5.【答案】D

【解析】解：由于函数f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

故它的最小正周期为2π2=π，故A正确．

令x=7π12，求得f(x6.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数f(x)=7+2ax−x2，

令t(x)=7+2ax−x2，则f(t)=t，

由题意可得t(x)=7.【答案】B

【解析】解：已知∠A=90°，AB=AD=2，

所以△ABD为等腰直角三角形，

此时∠ABC=∠ADC=45°+60°=105°，

易知BC=DC=BD=22，

所以△ABC≌8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查三角形外心的定义，余弦定理，以及数量积的运算及其计算公式，余弦函数的定义，属于中档题．

在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠BAC，再在AO=mAB+【解答】

解：由余弦定理可得cos∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=4+16−242×29.【答案】CD【解析】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，故A错；

当a∩β=P时，B错；

如图，∵a//b，P∈b，∴P∉a，

∴由直线a和点P确定唯一平面α，

又a//b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a和点P，10.【答案】AD【解析】解：对于A，设z=a+bi，(a,b∈R)，则z−=a−bi，

若z=z−，则b=0，∴z∈R，故A正确；

对于B，设z=z−=0时，z+z−=0，而z不是纯虚数，故B错误；

对于C，当z=1+i时，则|z|2=2，zz2=2im，

∴|z|2≠11.【答案】BC【解析】解：没有出现数字1的概率为45×45=1625≠425，选项A错误；

从袋中有放回的抽出两球共有：5×5=25种结果，两次都出现两个数字相同的有5种结果，故两次都出现两个数字相同的概率为525=15，选项B正确；

从反向思考，至少出现一次数字1的概率为1−1625=925，选项C正确；

两个数字之和为6的情况有：(112.【答案】AB【解析】解：对于选项A：因为平面BCC1B1//平面AA1D1D，

所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，故A正确；

对于选项B：因为A1C1//AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，

因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[π3,π2]，故B正确；

对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，

根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，

在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，

故点P不能在侧面CC1D1D上(不包括正方形的边界)，

同理，点P不在侧面BB1C1C上(不包括正方形的边界)．

②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，

根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，

所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为14×2π×2=π；

③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，

此时点P的轨迹长为42；由上知点P的轨迹长度为π+42，故C选项正确；

对于选项D：取

BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，

因为M、N13.【答案】±3【解析】解：方程x2+9=0，解得x=±3i14.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，

则P(A)=1【解答】

解：设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，

则P(A)=14，P(B)=115.【答案】192

【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得A(0,0)，B(1t,0)，C(0,t)，

因为AP=4AC|AC||AB|=4AC，所以P(0,4t16.【答案】−17

【解析】解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O，连接OS．

∵四棱锥S−ABCD是正四棱锥，

∴OS⊥底面ABCD.作BE⊥SC，同理DE⊥SC，连接DE，

∴∠BED是相邻两个侧面所成二面角的平面角，

BD=2，12BC17.【答案】解：(1)因为AE=2BE，则AE=23AB,EB=13AB，

所以ED【解析】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量垂直的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

(1)利用平面向量基本定理以及三角形法则即可求解；

18.【答案】解：(1)由x2−1>0，解得x>1或x<−1，

所以集合A=(−∞,−1)∪(1,+∞)，∁RA=[−1,1]，

当a=1时，由9x+1−3≥0，即32x+2≥3，【解析】(1)根据对数函数、指数函数性质求得集合A，B，再根据集合的运算进行求解即可；(2)因为“x∈A”是“x∈19.【答案】解(1)依题意得f(x)=m⋅n=2cos2x+3sin2x

=cos2x+1+3sin2x

=2sin(2x+π6)+1，

因为f(α)=2s【解析】(1)由向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，计算可得所求角；

(220.【答案】解：(Ⅰ)由题意(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，所以a=0.030．

(Ⅱ)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，

假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，

则有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60−x)×0.015=0.85，

解得x≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上．

(Ⅲ)由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，

则抽取的5人中，得分在[40,50)【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．

(Ⅱ)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为85%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，列方程能求出结果．

(Ⅲ)由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人，记得分在[50,60)内的3位学生为a，b21.【答案】解：(1)要使函数有意义，则10+x>010−x>0，解得−10<x<10，

所以函数f(x)的定义域为(−10,10)．

(2)f(x)是奇函数，理由如下：

由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，

f(−x)=loga(10−x)−loga(10+x【解析】(1)由函数有意义所需条件，求f(x)的定义域；

(2)由函数奇偶性