(新课标)高考数学总复习第九章第三节圆的方程ppt课件文新人教A版

第三节圆的方程(新课标)高考数学总复习第九章第三节圆的方程ppt课件文新人教A版1.圆的定义3.圆的标准方程4.圆的一般方法5.点与圆的位置关系教材研读2.确定一个圆最基本的要素1.圆的定义3.圆的标准方程4.圆的一般方法5.点与圆的位置考点一求圆的方程考点二与圆有关的最值问题考点三与圆有关的轨迹问题考点突破考点一求圆的方程考点二与圆有关的最值问题考点三与教材研读1.圆的定义在平面内,到①

定点

的距离等于②

定长

的点的③

集合

叫做

圆.2.确定一个圆最基本的要素是④

圆心

和半径.3.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑤

(a,b)

为圆心,⑥

r

为半径.教材研读1.圆的定义4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑦

D2+E2-4F>0

,其中圆心为

⑧

,半径r=⑨

.▶提醒

(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.(2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个

点

;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.4.圆的一般方程(2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=5.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0))(1)点在圆上:⑩

(x0-a)2+(y0-b)2=r2

;(2)点在圆外:

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

;(3)点在圆内:

(x0-a)2+(y0-b)2<r2

.5.点与圆的位置关系知识拓展

标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2+y2=r2x2+y2-r2=0过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+ D2=0与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+ E2=0知识拓展标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2+y2=1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)

(y-y2)=0.

(√)(2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+

E2-4AF>0.

(

√

)(3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.

(

×

)

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆.

(×)(5)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是

.

(×)(6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则

+

+Dx0+Ey0+F<0.

(

×

)答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×

(4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2,2.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是

()A.(x-1)2+(y-1)2=1

B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y-1)2=2答案

D由题意得圆的半径为

,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.D2.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ()答案

3.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是

()A.(2,3)

B.(-2,3)C.(-2,-3)

D.(2,-3)答案

D圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).D3.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是 ()答案

4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是

()A.

<m<1

B.m<

或m>1C.m<

D.m>1答案

B由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得m>1或m<

.故选B.B4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是5.(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(-1,1),B(1,3),则圆C的

方程为

.答案

x2+(y-2)2=2解析因为点A(-1,1)和B(1,3)为圆C直径的两个端点,则圆心C的坐标为

(0,2),半径|CA|=

=

,所以圆C的方程为x2+(y-2)2=2.5.(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(-1,1)6.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是

.答案-

<a<1解析由题意知(2a)2+(a-2)2<5解得-

<a<1.6.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a求圆的方程命题方向一已知不共线的三点,求圆的方程考点突破典例1圆E经过A(0,1),B(2,0),C(0,-1)三点,且圆心在x轴的正半轴上,则

圆E的标准方程为

()A.

+y2=

B.

+y2=

C.

+y2=

D.

+y2=

C求圆的方程考点突破典例1圆E经过A(0,1),B(2,0)答案

C解析根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则有

解得a=

,r2=

,则圆E的标准方程为

+y2=

.故选C.答案

C解析根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(命题方向二已知两点及圆心所在直线,求圆的方程典例2

(一题多解)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆

的方程为

.答案

x2+y2+2x+4y-5=0命题方向二已知两点及圆心所在直线,求圆的方程答案

x解析解法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C

的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即

=

,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=

,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,解析解法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上由题意得

解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法三:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为

,由题意得 由题意得

解得D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.由题意得 命题方向三已知切线,求圆的方程典例3已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,且圆心在直线y=-x上,则圆

C的方程为

.答案(x-1)2+(y+1)2=2解析

x-y=0和x-y-4=0之间的距离为

=2

,所以圆的半径为

.因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-

x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆C的方程

为(x-1)2+(y+1)2=2.命题方向三已知切线,求圆的方程答案(x-1)2+(y+1方法技巧1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方

程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据

已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.方法技巧2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.▶提醒

解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.2.确定圆心位置的方法1-1已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,

)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为

,则圆C的方程为

.答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意可得

解得

所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.1-1已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C1-2

(一题多解)圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)

的圆的方程为

.答案

+

=

1-2

(一题多解)圆心在直线y=-x+1上,且与直线解析解法一:因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆心

在直线y-1=x-1,即x-y=0上.又已知圆心在直线y=-x+1上,故联立

解得

故圆心坐标是

.所以半径r=

=

.解析解法一:因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,故所求圆的方程为

+

=

.解法二:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则

解得

所以r=

=

,故所求圆的方程为

+

=

.故所求圆的方程为 + = .所以r= = ,与圆有关的最值问题命题方向一截距型最值问题典例4已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求y-x的最大值和最小值.解析

y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵

截距b取得最大值或最小值(如图),此时

=

,解得b=-2±

.所以y-x的最大值为-2+

,最小值为-2-

.

与圆有关的最值问题典例4已知实数x,y满足方程x2+y2-命题方向二斜率型最值问题典例5已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求

的最大值和最小值.解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,即以(2,0)为圆心,

为半径的圆.

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设

=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时

=

,解得k=±

.所以

的最大值为

,最小值为-

.命题方向二斜率型最值问题解析原方程可化为(x-2)2+y命题方向三距离型最值问题典例6已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.解析如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何

知识知,其在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处分别取得最大

值和最小值.易得圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.命题方向三距离型最值问题解析如图所示,x2+y2表示圆上命题方向四圆的对称性与最值典例7(1)光线从点A(-3,3)射到x轴上的点P后反射,反射光线与圆(x-1)2

+(y-1)2=2有公共点B,则|AP|+|PB|的最小值为

.(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|

PQ|的最小值是

.答案(1)

(2)2

命题方向四圆的对称性与最值答案(1) (2)2 解析(1)设圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C,半径为r,A关于x轴的对称点为

A',则C(1,1),r=

,A'(-3,-3),则|AP|+|PB|的最小值为

=

=

.(2)因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=

的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),故

解得

故A'(-4,-2).连接A'C交圆C于点Q(图略),由对称性可知|PA|+|PQ|=|A'P|+|PQ|≥|A'Q|=|

A'C|-r=2

.解析(1)设圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C,半规律总结与圆有关的最值问题的四种常见转化法(1)形如μ=

形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平

方的最值问题.(4)形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要

立足两点:①减少动点的个数.②“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.规律总结2-1设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两

条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为

.答案

解析圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1,根据对称

性可知,四边形PACB的面积=2S△APC=2×

|PA|r=|PA|=

.要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11

=0的距离d=

=

=2.所以四边形PACB的面积的最小值为

=

=

.2-1设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C与圆有关的轨迹问题典例8已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P、Q为圆上

的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.与圆有关的轨迹问题典例8已知圆x2+y2=4上一定点A(2解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y),因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y),连接BN.在Rt△PBQ中,PN=BN.设O为坐标原点