教学课题几何概率

教学课题：几何概率；教学目的：使学生了解并能初步运用几何概型的相关知识解决一些简单问题；教学重点：在几何概型中把实验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应并计算相关的概率；教学难点：在几何概型中把实验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应；教学课时：3课时（每课时40分钟）；教学用具：常规教具及powerpoint、几何画板等软件；授课教师：李宁（北大附中）教学过程：复习：（一）概念复习：1、概率的统计定义；2、概率的古典定义；在定义中我们要找到实验的基本事件组，它们满足：AiAj=Ф(i≠j)；A1UA2U…UAn=Ω；P(Ak)=1/nk=1,2,…,nP(B)=B包含的基本事件个数/总的基本事件个数=k/n。（二）作业选讲问题：6个球队中，有2个是强队，把这6个队随机地分为两组，每组3个队，求A＝“两个强队分在同一组中”的概率。解答：把6个队编号为1，2，3，4，5，6，不妨设编号为l，2的两个队是强队。现考虑和编号为1的队分在一组的队，记它们的编号为（i，j），基本事件全体为（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共有n＝10个，它们是等可能的，而A包含有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共4个，故P(A)=4/10=2/5二、几何概率（一）引例：1一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。解：P（T）=3/5此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的。2投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。解：P（A）=（1/2）2/12=1/4（二）总结：在某些情况中（如两个引例），可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域R中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）。这样在实验中某一事件A，就可与几何区域R中的子区域r表示了，如下图：这样事件A的概率如何计算呢？在引例1中，P(A)=子区域r的长度/区域R的长度=3/5在引例2中，P(A)=子区域r的面积/区域R的面积=1/4通过对两个引例的分析，我们看到事件A的概率用子区域r的大小与几何区域R大小的比值来表示是合理的。当子区域r和几何区域R是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域r和几何区域R是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示。为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域r的测度/区域R的测度由于几何区域r是几何区域R的子集，于是我们有0≤r的测度≤R的测度，在不等式两侧同时除以R的测度（一般假定其为正数）则有即0≤P≤1，这个不等式表明几何概率在0和1之间。注意到当p(A)＝0时．r的测度一定为O（一个点的长度是o，一条曲线的面积是O）且当p(A)=l时，r的测度必须等于R的测度。（三）例题：例1(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：（a）一张大馅饼，（b）一张中馅饼，（c）一张小馅饼，（d）没得到馅饼的概率解：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。例2（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？解：将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为r,如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。因此事件r是始于R线段的左端点且长度为的事件。因此例3（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式的数对组成，此不等式等价于右下图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为，于是有例4（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：OO到5：O0之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟。若另一人仍不到则离去。试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。解：设x和y为下午4：O0以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里O＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如右图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的问隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只须注意到x-y＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如右图所示。因此例5将长为1的棒任意地折成三段，求：（l）三段的长度都不超过a（1／3≤a≤1）的概率；（2）三段构成三角形的概率。(本题图见几何画板)解：设：第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1-x-y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={（x,y）|0<x<1,0<y<1,x+y<1}，即图中黄色区域，此区域面积为1/2。（l）事件“三段的长度都不超过a（1／3≤a≤1）”所对应的几何区域可表示为A={(x,y)|(x,y)Ω,且x<a,y<a,1-x-y<a},即图中黑色区域，此区域面积:当时，为(3a-1)2/2,此时事件“三段的长度都不超过a（1／3≤a≤1）”的概率为p=[(3a-1)2/2]/(1/2)=(3a-1)2；当时，为（1/2）-3(1-a)2/2,此时事件“三段的长度都不超过a（1／3≤a≤1）”的概率为p=1-3(1-a)2；（2）若所折三段构成三角形，则x+y>1-x-y且x+(1-x-y)>y且y+(1-x-y)>x化简x+y>1/2且y<1/2且x<1/2故事件“三段构成三角形”对应的几何区域表示为A={(x,y)|(x,y)Ω,x+y>1/2且y<1/2且x<1/2}即图中虚线围城区域，此区域面积为1/8，故事件“三段构成三角形”的概率为p=(1/8)/(1/2)=1/4。例6[贝特朗奇论]在半径为1的园内随机地取一条弦，问其长超过该园内接等边三角形的边长√了的概率等于多少？［解法一］任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落人此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另亠端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率等于1/3。［解法二］弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径．当且仅当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于，因此所求概率为1/2。、［解法三］弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，弦长大干，此小圆面积为大圆可积的1/4，故所求概聿等于1/4（见图3）。｜说明：同一问题有三种不同的答案，原因在于取弦时采用不同的等可能性假定！在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。因此在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义；这又因试验而异。三、总结1在几何概型中基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应起来，基本事件组中的每一个基本事件与这个特定的几何区域中