数学人教A版选修2-2教材习题点拨第一章导数及其应用

教材习题点拨复习参考题A组1．解：(1)3；(2)y＝－4.2．解：(1)y′＝eq\f(2sinxcosx＋2x,cos2x)；(2)y′＝3(x－2)2(3x＋1)(5x－3)；(3)y′＝2x·ln2·lnx＋eq\f(2x,x)；(4)y′＝eq\f(2x－2x2,2x＋14).3．解：F′＝－eq\f(2GMm,r3).4．解：(1)f′(t)＜0.因为红茶的温度在下降．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近时，红茶温度约以4℃5．解：因为f(x)＝eq\r(3,x2)，所以f′(x)＝eq\f(2,3\r(3,x)).当f′(x)＝eq\f(2,3\r(3,x))＞0，即x＞0时，f(x)单调递增；当f′(x)＝eq\f(2,3\r(3,x))＜0，即x＜0时，f(x)单调递减．6．解：因为f(x)＝x2＋px＋q，所以f′(x)＝2x＋p.当f′(x)＝2x＋p＝0，即x＝－eq\f(p,2)＝1时，f(x)有最小值．由－eq\f(p,2)＝1，得p＝－2.又因为f(1)＝1－2＋q＝4，所以q＝5.7．解：因为f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，所以f′(x)＝3x2－4cx＋c2＝(3x－c)(x－c)．当f′(x)＝0，即x＝eq\f(c,3)或x＝c时，函数f(x)＝x(x－c)2可能有极值．由题意，当x＝2时，函数f(x)＝x(x－c)2有极大值，所以cxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c,3)))eq\f(c,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,3)，c))c(c，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝eq\f(c,3)时，函数f(x)＝x(x－c)2有极大值．此时，eq\f(c,3)＝2，c＝6.8．解：设当点A的坐标为(a,0)时，△AOB的面积最小．因为直线AB过点A(a,0)，P(1,1)，所以直线AB的方程为eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－a,1－a)，即y＝eq\f(1,1－a)(x－a)．当x＝0时，y＝eq\f(a,a－1)，即点B的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,a－1))).因此，△AOB的面积S△AOB＝S(a)＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,a－1)＝eq\f(a2,2a－1).令S′(a)＝0，即S′(a)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－2a,a－12)))＝0.当a＝0或a＝2时，S′(a)＝0，a＝0不符合题意舍去．由于x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以，当a＝2，即直线AB的倾斜角为135°时，△AOB的面积最小，最小面积为2.9．D10．解：设底面一边的长为xm，另一边的长为(x＋0.5)m．因为钢条长为14.8m，所以长方体容器的高为eq\f(14.8－4x－4x,4)＝eq\f(12.8－8x,4)＝3.2－2x.设容器的容积为V，则V＝V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3x2x，0＜x＜1.6.令V′(x)＝0，即－6x2x＋1.6＝0，所以，x＝－eq\f(4,15)(舍去)，或x＝1.容易知道，x＝1是函数V(x)的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．因此，长方体容器的高为1m时，容器最大，最大容积为1××1.2＝1.8m311．解：设旅游团人数为100＋x时，旅行社收费为y＝f(x)＝(100＋x)(1000－5x)＝－5x2＋500x＋100000,0≤x≤80，x∈N.令f′(x)＝0，即－10x＋500＝0，所以x＝50.容易知道，x＝50是函数f(x)在[0,80]内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．所以，当x＝50时，f(x)有最大值．因此，旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多．12．解：设打印纸的长为xcm时，可使其打印面积最大．因为打印纸的面积为623.7，长为x，所以宽为eq\,x)，打印面积S(x)＝(x－2×2.54)eq\,x)－2×3.17))x－eq\,x)，5.08＜x＜98.38.令S′(x)＝0，即6.34－eq\,x2)＝0，解之，得x≈22.4(负值舍去)，eq\,22.4)≈27.89.容易知道，函数S(x)在(5.08,98.38)内取得唯一极值，且为极大值，从而是最大值．答：打印纸的长、宽分别约为27.89cm、22.36cm时，可使其打印面积最大．13．解：设每年养q头猪时，总利润为y元．则y＝R(q)－20000－100q＝－eq\f(1,2)q2＋300q－20000,0＜q≤400，q∈N.令y′＝0，即－q＋300＝0，q＝300.容易知道，q＝300是函数在(0,400]上的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．当q＝300时，y＝－eq\f(1,2)×3002＋3002－20000＝25000(元)．答：每年养300头猪时可使总利润最大，最大总利润为25000元．14．解：(1)2eq\r(3)－2；(2)2e－2；(3)1；(4)原式；(5)原式.15．解：(1)如图(1)所示，在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，cosx的图形关于y轴对称，所以.(1)(2)(2)如图(2)所示，在x∈[－π，π]内，sinx的图形关于原点对称，所以eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,－π)sinθdθ＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－π)sinθdθ＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)sinθdθ＝0.16．解：S＝2eq\r(2)－2.17．解：由F＝klk.解之，得kW＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(,)ldl×eq\f(l2,2)|eq\o\al(,)＝0.196(J)．B组1．解：(1)b′(t)＝104－2×103t.所以，细菌在t＝5与t＝10时的瞬时速度分别为0和－104.(2)当0≤t＜5时，b′(t)＞0，所以细菌在增加；当5＜t＜16时，b′(t)＜0，所以细菌在减少．2．解：设扇形的半径为r，中心角为α弧度时，扇形的面积为S.由l－2r＝αr，得α＝eq\f(l,r)S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,r)－2))r2＝eq\f(1,2)(lr－2r2)，0＜r＜eq\f(l,2).令S′＝0，即l－4r＝0，r＝eq\f(l,4)，此时α为2弧度．容易得到，r＝eq\f(l,4)是函数S＝eq\f(1,2)αr2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(l,2)))内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．答：扇形的半径为eq\f(l,4)，中心角为2弧度时，扇形的面积最大．3．解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(R2－h2)h＝eq\f(1,3)πR2h－eq\f(1,3)πh3，0＜h＜R.令V′＝eq\f(1,3)πR2－πh2＝0，解得h＝eq\f(\r(3),3)R.容易知道，V(h)在(0，R)内只有一个极值，且为极大值，从而是最大值．所以当h＝eq\f(\r(3),3)R时，容积最大．把h＝eq\f(\r(3),3)R代入r2＋h2＝R2，得r＝eq\f(\r(6),3)R.由Rα＝2πr，得α＝eq\f(2\r(6),3)π时，容积最大．答：扇形的圆心角α＝eq\f(2\r(6),3)π时，容器的容积最大．4．解：由于80＝k×102，所以k＝eq\f(4,5).设船速为xkm/h时，总费用为y，则y＝eq\f(4,5)x2×eq\f(20,x)＋eq\f(20,x)×480＝16x＋eq\f(9600,x).令y′＝0，即16－eq\f(9600,x2)＝0，x≈24.容易得到，函数y在(0，＋∞)内有唯一值，且为极小值，从而是最小值．当x＝24时，16×24＋eq\f(9600,24)＝784(元)，784÷eq\f(20,24)≈940(元)．答：船速约为24km/h时，总费用最少，此时每小时费用约为940元．5．解：设汽车以xkm/h行驶时，行车的总费用y＝eq\f(130,x)(3＋eq\f(x2,360))×3＋eq\f(130,x)×14,50≤x≤100.令y′＝0，解得x≈53(km/h)．此时，y≈114(元)．容易看出，函数y在[50,100]内有唯一极值，且为极小值，从而是最小值．答：最经济的车速约为53km/h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元．6．解：原式.7．解：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝x－x2，))得直线y＝kx与抛物线y＝x－x2交点的横坐标为x＝0,1－k.抛物线与x轴所围图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝(eq\f(x2,2)－eq\f(x3,3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).由题设得eq\f(S,2)＝∫eq\o\al(1－k,0)(x－x2)dx－∫eq\o\al(1－k,0)kxdx＝∫eq\o\al(1－k,0)(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(x3,3)))|eq\o\al(1－k,0)＝e