【ch03】平板介质光波导理论

平板介质光波导理论第三章半导体电光学

01光波的电磁场理论1.1基本的电磁场理论基本的电磁场理论光波是频率很高的电磁波，它在介质中的传播可用麦克斯韦方程组的微分形式来描述：式中，E、H、B、D、J和p分别代表电场强度矢量、磁场强度矢量、磁感应强度矢量、电位移矢量、电流密度矢量和电荷密度。其中式(3.1-1c)和式(3.1-1d)可以利用前两式取散度、再利用电流连续性方程▽.J=-0p/ot来得到。1.1基本的电磁场理论基本的电磁场理论为了求出E、H、B和D各量，还需要知道E和D、H和B之间的关系。它们之间的关系与电磁场所在的介质特性有关，若介质是各向异性且不均匀，则D和B随空间坐标r的变化为：基本的电磁场理论1.1基本的电磁场理论基本的电磁场理论式中，E,(r)、A(r)分别为介质的相对介电常数张量与相对磁导率张量，6o、Ho则分别为真空中的介电常数和磁导率。在最简单的情况下，设介质是均匀且各向同性的，则式(3.1-2)

变为基本的电磁场理论1.1基本的电磁场理论基本的电磁场理论式中，6,和μ,分别为相对介电常数和相对导磁率，均为常标量。电流密度与电场强度之间的关系为基本的电磁场理论式中，σ为介质的电导率。式(3.1-2)、式(3.1-3)和式(3.1-4)均写成了线性形式，是假设在低场强下不足以产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在的色散效应，而在此认为ε和μ与光波的频率无关。对于非铁磁性的半导体材料，在可见与红外波段范围内可以认为相对导磁率μ,=1。同时，对光频波段的电磁场，则可取体电荷密度p=0。1.2光学常数与电学常数之间的关系

在式(3.1-5)的麦克斯韦方程组中包含表征介质宏观性质的电学参数ε(=6₁6₀),而光波在介质中传播特性通常是用宏观量——折射率和吸收系数α来表示的。因此，要了解光波在半导体介质中的传播特性，首先就要知道光学参数与电学参数之间的关系。通过对上述麦克斯韦方程组的平面波解的分析可以得到这一关系。为此，首先要从麦克斯韦方程得到波动方程。利用矢量分析方法及式(3.1-5d),可以得到：

1.2光学常数与电学常数之间的关系同理，也可写出H的三个标量波动方程，在此不一一列出。下面考虑波动方程的解。最简单的情况是光波为电矢量沿y方向偏振、沿z方向传播的平面电磁波，即有E=E,、Ex=E₂=0。E,只在z方向以角频率w=2πv发生周期变化，如图3.1-1所示。因为只在z方向有空间变化，故有a/ax=0/0y=0。由式(3.1-13)可以得到E,关于自变量z和t具有如下的函数形式：1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系1.2光学常数与电学常数之间的关系

其中已利用了式(3.1-25)和式(3.1-34)。因此，在有损介质中，平面光波的衰减系数由石决定，它与电导率有关。至此，光学常数π和k可以用表示介质宏观性质的电学参数σ、ε表示出来。需注意的是，这里所提的电导率σ为光频下介质的电导率σ(w),与直流情况下的电导率σ,不同。在通常情况下所能测定的光学参数是吸收系数α,而不是消光系数K,它们之间的关系可以从以下的分析中得到。

若强度为I₀的光入射在介质表面而不产生反射，介质的厚度为射光强与入射光强Io之间应满足或写成比例形式1.2光学常数与电学常数之间的关系由透过不同厚度样品的透过率，可以直接确定α和k。由式(3.1-40)可知，在一般情况下，n²≠6,,因而电磁波的传播速率是c/n而不是c/ε²,可以通过测量与电磁波的传播速度有关的光学参数来得到n。用上述方法测量n和k,只适合于吸收不太强的材料，即可以制成厚度只有几倍于1/a的样品。对于吸收较强的材料，其光学性质更类似于金属，此时必须用偏振光的反射来测量。反射率与折射率π、消光系数k的关系已由式(2.4-11)给出。以上，我们将电磁场的基本理论应用到光传输介质中，得出了光学与电学参数之间的关系，下面将看到，将电磁场的基本方程结合适当的边界条件，可以得出光波导的许多重要性质。02光在平板介质波导中的传输特性2.1平板介质波导的波动光学分析方法在实际的异质结半导体激光器和发光二极管中，出于载流子注入和光场限制的需要，在垂直于结平面方向上，要在衬底上进行三层以上的异质外延。从各层的分布来看，也不完全对称。但是，有源层及其上下对称的限制层是构成上述异质结光发射器件的最基本结构。因此，以图3.2-1所示的Ga1-xAl,As/GaAs异质结构为例进行分析，也就是一个典型的对称三层平板介质波导，中间有源层的折射率n高于两边限制层的折射率五。下面将应用波动光学的概念说明光波导的一些性质。光在对称三层介质平板波导中的传播2.1平板介质波导的波动光学分析方法假设在图3.2-1所示的结构中，在z=0处是半导体与空气的界面，x=0处是有源层的中线；并设波导沿y方向是无穷的，故有a/0y=0;对于TE模，有E₂=0,利用式(3.1-1a)、式(3.1-1b)和a/ay=0,可以得出H,=Ex=0,因此只有y方向的电场存在。利用分离变量法对波动方程式(3.1-13)求解，将平板介质波导的模场表示为其中模式的场分布E,(x)满足下述本征值方程，传播常数β为本征值其中n为所讨论区域的折射率，在波导的芯区(有源区)内，若有n²k²>β²,该方程的解为而在波导的包层(有源区外的限制层)中，波导模必须是指数衰减的，而为了得到实指数形式的解，必有π²k²<β²,其解将在后续章节具体讨论。式(3.2-3)中，A和A。为常数，可由坡印亭矢量与光强的关系确定。x表示为光在对称三层介质平板波导中的传播2.1平板介质波导的波动光学分析方法显然，x的物理意义是E,在x方向的传播常数，它与纵向传播常数β之间的关系构成如式(3.2-4)所示的直角三角形各边长之间的关系。为了求得电场与磁场的解，即为了得到波导模式，需要知道在波导壁(或异质结界面)上两侧电场或磁场的关系，即所谓边界条件。为此，将麦克斯韦方程组应用到包含厚度为δ、长为dl的一个界面面积元ds=δdl内，并考虑到界面处没有面电流，就可以得到即电场和磁场的切向分量在界面上必须是连续的，如图3.2-2所示。2.1平板介质波导的波动光学分析方法比较起来，马库塞l³](D.Marcuse)分别考虑偶阶和奇阶的解来分析横向光场分布的方法较为简单。在图3.2-1所示的结构中，在|x<d/2的有源区内，由式(3.2-1)和式(3.2-3)给出偶阶TE模式为E,=Acos(xx)exp[j(øt-βz)](3.2-7)其中x与β的关系，由式(3.2-4)给出，即在x|<d/2的有源区内则为将式(3.1-5a)应用到所考虑的问题中，可得到将式(3.2-7)代入式(3.2-9)后得到为了建立波导模式，光场在有源区外必须衰减，因此，形式上与式(3.2-2)相同的波动方程在有源区外(|x|>d/2)的解是实指数形式而不是虚指数形式，也就是格必须小于β²,进一步应用在波导壁(有源区界面)处电磁场的边界条件，得到在有源区外的限制层中电场分量为

2.1平板介质波导的波动光学分析方法由式(3.2-9)同样可求有源层外的的限制层中磁场分量为式中，γ为衰减系数，与传播常数β有如下关系：由式(3.2-8)和式(3.2-13)可以看出，欲保证光场在有源层内传播而在有源层外的限制层中衰减的波导模式条件，就要求π后>β²,β²>好，这正说明了前面所假设的形成光波导的条件成立。这种在垂直于结平面方向|x|>d/2区域内指数衰减的场有时称为消失场，更确切地应称为倏逝场(evanescentfield)。其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介质吸收所引起的，而是由于进入限制层(折射率为五)一定深度范围内的入射光能量又完全反射回有源层中，这在古斯-亨森(Goos-Hanchen)的实验中得到了证实。式(3.2-11)和式(3.2.12)表明倏逝场是一种平行于界面传输的均匀界面波。关于古斯-亨森位移后面还将具体分析。2.1平板介质波导的波动光学分析方法在x=d/2处，利用式(3.2-10)、式(3.2-12)和表示H。的边界条件式(3.2-6)可以得出偶阶TE模的特征方程(色散关系):式(3.2-15)中本征值β是不能用显函数表示的未知量。为说明模式数目和截止条件等性质，科林(Collin)⁴采取了一种图解方法。为此，将式(3.2-15)改写为将式(3.2-8)和式(3.2-13)相加消除β²得到：如果令X=xd/2、Y=yd/2、R=(m²-n²)/²(kd/2),则式(3.2-17)表示的是一个圆方程：式(3.2-16)也就相应变为

2.1平板介质波导的波动光学分析方法其中X,Y,R均具有弧度的量纲。根据式(3.2-18)和式(3.2-19)作图，可分别得到如图3.2-3中实线和虚线所示的曲线。作为一个具体例子，图3.2-3是根据GaAs-Gao.7Alo.3As双异质结激光器的一些具体数据(A=0.9μm,π=3.385,n=3.590)显然，存在于波导中的模数是与圆半径R成正比的，随着有源层的折射率、厚度d和波长A的增加以及与有源层毗邻的限制层折射率元的减少，存在于波导中的传输模式数增加。由于波导的数值孔径为NA=(n²-²)²,故波导模数也正比于波导的数值孔径。每一高阶横模的截止值由Y=XtanX与图3.2-3横坐标X的交点确定且对m阶偶模这一交点位于X=xd/2=mπ/2处，故由式(3.2-17)求出偶阶TE模截止的d值表示为：2.1平板介质波导的波动光学分析方法按照上述对偶阶TE模的处理方法，我们可以对奇阶TE模做出类似的分析。由式(3.2-1)和式(3.2-3)可以写出有源层内奇阶TE模的表示式为2.1平板介质波导的波动光学分析方法2.1平板介质波导的波动光学分析方法2.1平板介质波导的波动光学分析方法尽管上述横电磁波(TEM)中的电场与磁场均对光场有贡献，但与电场相比，磁场与半导体中的电子相互作用要弱得多。对TM模，可以采取与TE模完全类似的分析。因为是TM模，故有H₂=0,同样令a/ay=0,由式(3.1-5a)和式(3.1-5b)可以得到E,=Hx=0,因而TM模的本征值方程为光在异质结界面上的反射和透射2.2平板介质波导的射线分析法在不同条件下，入射在具有不同折射率的两种介质界面上的光束，会产生不同的反射、折射等性质。例如，在一定条件下，入射在界面上的光束会产生全反射、偏振态改变、光场相位变化等，从而对半导体光电子器件的工作特性产生重要的影响。设一单色平面光波由折射率为元₂的光密介质入射到折射率为n的光疏介质(π2>元)中，如图3.2-7(a)所示。为简单起见，我们用指数形式表示图3.2-7中沿x和z轴正向传播的平面光波的电场：光在异质结界面上的反射和透射2.2平板介质波导的射线分析法电场的偏振方向可以是任意的，但总可以分解为平行和垂直于入射面(即纸面)的两个偏振分量。在前面所讨论的三层平板介质波导中，只考虑TE模的情况，即认为电场是沿图3.2-7(a)所示的y方向偏振的，即只有E,分量。因光波是横电磁波，故磁场平行于纸面且垂直于传播方向。根据式(3.2-4)和图3.2-7(b),在x方向的传播常数x和z方向传播常数β与光束入射角θ之间的关系为光在异质结界面上的反射和透射2.2平板介质波导的射线分析法式中，Q.和0.分别表示透射和反射角。由电场的边界条件，要求x=0处，光在折射率为n₂的介质中入射和反射光电场强度的切向分量之和等于折射率为n的介质中透射光电场的切向分量，即或根据式(3.2-45)~式(3.2-47)进一步写为：式(3.2-51)表明入射角等于反射角，式(3.2-52)是斯涅尔(Snell)折射定律。下面来导出关于反射波和折射波与入射波振幅比值的关系式——菲涅尔公式。利用表示磁场H,与电场E,的关系式(3.2-9)和入射场的公式(3.2-45),可以得到上式可在频域求解得到全反射全反射2.2平板介质波导的射线分析法由式(3.2-60)可以看出，当光由光密介质向光疏介质入射(n2>瓦)时，随着入射角的增加，电场的振幅反射率也增加，当入射角大到某一值时，振幅反射率迅速趋近于1。这一现象被称为全反射。为了区分光从光疏介质入射到光密介质在一定条件(Q=90°)下所产生的“掠入射”,而把在某一入射角下光从光密介质向光疏介质传播，在界面上所产生的全反射称为全内反射。产生全内反射的入射角称为临界入射角或临界角。很容易从斯涅尔定律表示式(3.2-52)求得全内反射的临界入射角。因为达到全反射时，折射角日应等于π/2,这时的入射角为式中，0。为临界角。以前面提到的Gao₇Alo3As/GaAs异质结半导体激光器为例，有源层折射率=3.59,限制层折射率=3.39,则计算出θ。=70.8。当Q>0.时，5/zsinQ>1,因此有全反射2.2平板介质波导的射线分析法很容易证明，无论对式(3.2-66)取正号还是负号，将其代入式(3.2-60)后取复数场反射率的平方，均能得到功率反射率R=rl²=1。因此，只要满足Q≥0。都能产生光的全反射。但另一方面，当Q=0.时，由式(3.2-60)和式(3.2-61)得到这一事实说明，即使是全反射，在折射率小的一侧介质中的电场也并不为零，而是渗入折射率小的一侧介质中；还可以证明，在达到全反射条件时，磁场也不在界面上中断，而是渗入折射率小的一侧介质中，这种渗透的电磁场即为前面所述的倏逝场。从物理意义上讲，这种倏逝场是一种衰减场，因此式(3.2-66)中应该取负号，而将电场的复反射率写为03矩形介质波导3.1矩形介质波导质波导中可认为光场的偏振方向平行于结平面，在宽平面双异质结激光器中可近似取此分析。在有些半导体激光器中，例如掩埋条形异质结(BH)激光器，在横向和侧向都存在折射率波导效应，因而是一种具有二维光限制的矩形介质波导，如图3.3-1所示，在有源区的两侧存在折射率的突变。对矩形介质波导的分析要比平板介质波导复杂得多。图3.3-2所示的是典型矩形介质波导的横截面和坐标系统，坐标原点置于波导区(折射率为n₂)的中心。对光场能量起直接限制作用的另外四个区的折射率分别为元n和ns。3.1矩形介质波导对于矩形介质波导，比较简单可行的方法是所谓有效折射率法[10-12],它把两维问题变为一维有效折射率波导，而可用类似于平板介质波导的情况进行分析和求解，这种方法不但适合于在半导体激光器有源区侧向有折射率突变的情况(如图3.3-1所示的BH激光器),而且也适合于图3.3-3所示的限制层侧向厚度不均匀的反背脊波导激光器(IRW)和沟道衬底平面激光器(CSP)的情况根据3.2节中描述平板介质波导的TE模在横向(x方向)场变化的波动方程，可将描述矩形波导中TE模在横截面上场变化的方程写为式中，V²是横截面上的拉普拉斯算子，五为折射率，6为自由空间的波数，β为纵向传播常数。对于侧向厚度不均匀的情况，只要与光场相比折射率随位置的变化缓慢，或者说，在光波长的尺寸范围内，折射率的变化非常小时，矢量波动方程仍然可由式(3.3-1)所表示的用标量波动方程代替，如果令o²E/ox²=-k²E,并且令3.1矩形介质波导式中，nn

为有效折射率。由式(3.3-3)可以清楚看出，由于有效折射率的引入，使二维介质波导具有和平板介质波导形式上完全相同的波动方程。在BH激光器中x,(即侧向上的波数)为常数，折射率在侧向有源区的边界上有突变。而在图3.3-3所表示的IRW和CSP中，有源层中Al含量x小于限制层Al含量y或z,由式(2.4-8)有源层的折射率高于限制层折射率，但折射率在侧向不存在突变，只是限制层的厚度中间厚两侧薄，从而区域I和区域Ⅱ有着不同的x,值，有K>K,