第7章 二阶电路

第七章二阶电路

包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。本章着重分析含电感和电容的二阶电路，这类电路的响应可能出现振荡的形式。学习应注意：电路微分方程的建立，特征根的重要意义，微分方程解答的物理含义等方面的内容。深圳大学信息工程学院返回目录7.4例题7.1RLC串联电路的零输入响应7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应7.3恒定电源作用下的GCL并联电路分析7.1RLC串联电路的零输入响应7.1.1电路和方程7.1.2过阻尼情况

7.1.3临界阻尼情况7.1.4欠阻尼情况7.1.5零阻尼情况7.1.1电路和方程

换路后电路如图，电路中无电源，电路响应为零输入响应。有以下三种初始状态情况：下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。由KVL，有代入电容的VAR，得微分方程：初始条件为：（1）式的特征方程为

s2+(R/L)s+1/LC=0可求得特征根：7.1.2过阻尼情况特征根为两个不相等的负实根，令其中显然有（1）式通解为：上式求导，得：初始条件代入（3）、（4）式，得：由（5）式求得代入（3）得方程（1）满足初始条件的特解为：进一步求得：分析可知：(1)(2)令diL/dt

=0,求得iL的极值点(3)且uc(t)单调下降结果分析*过渡过程的能量情况如下图所示：*过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。*电压和电流表达式中，特征根s1=-

1

对应项在过渡过程中起主要作用。*t=0时，uc(t)的导数为零，这是与一阶电路响应的区别。7.1.3临界阻尼情况特征根为两个相等的负实根：（1）式通解为：上式求导，得：初始条件代入（6）、（7）式，求得：代入（6）式得微分方程（1）满足初始条件的解为：分析可知，uc

、iL波形图与过阻尼情况类似。7.1.4欠阻尼情况特征根为一对共轭复根：其中可设（1）式通解为：上式求导，得：初始条件代入（8）、（9）式，得：由（10）式求得其中、d、0及的关系如下图所示

d

0

方程（1）满足初始条件的解为：进一步求得：分析可知：(1)uc

和iL均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。(2)(3)uc的过零点为iL的过零点为(4)uc

的极值点即iL的过零点。由可求得

iL的极值点为结果分析*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存在，总能量逐渐减少。C

放能L

吸能R

耗能放能放能耗能吸能放能耗能*欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。uc(t)和iL的包络线函数分别为称为衰减系数，越大，则电压和电流衰减越快；称

d

为衰减振荡角频率，d

越大，则电压和电流振荡越剧烈。*由可知，若电路中L、C一定，则R越小，就越小，d

就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过渡过程时间也会越长。可以想象，若R＝0，则过渡过程会无休止地进行下去。7.1.5零阻尼情况特征根为一对共轭虚根：（相当于欠阻尼情况下=0、d=0、=0。）

利用欠阻尼情况的分析结果，得：零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数，

0称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。总结：点击此处查看以上四种情况的比较7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应换路后电路如图，电路响应由电源和电路的原始储能共同产生。可推得：（1）式通解为：初始条件为：其中ucp

为方程（1）的一个特解，可求得：uch

为方程（1）对应齐次方程的通解，它的形式决定于方程的特征根。求出（3）式后，代入初始条件（2），可确定2个待定的积分常数。uch

称为固有分量,ucp称为强制分量。若电路特征根均有负实部，则uch是衰减的，这种情况下,又称uch为暂态分量,ucp为稳态分量。系统过渡过程的性质决定于uch,即决定于电路的特征根。解：如图电路中，当时的微分方程为方程的强制分量（即稳态值）为因为，即电路为过阻尼情况。例:如图所示的电路中，，求时的所以相应齐次方程的通解（即暂态分量）形式为其中即式(1)的全解，即电压响应为电流响应为将初始条件代入(2)(3)两式得：将A1和A2代入式(2)和式(3)得全响应代入数据后得7.3恒定电源作用下的GCL

并联电路分析GCL并联电路如图所示，它是RLC串联电路的对偶电路。所以由于根据KCL有可推得上式可改写为其中初始值为7.4例题例1：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠阻尼情况。解：由KVL可知由KCL知则i(t)RLuS(t)而将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程其特征方程为特征根为因，电路为过阻尼情况。例2：电路如图所示，试求零输入响应解：求出两个固有频率为的零输入响应呈临界阻尼形式，设求导数代入初始条件，得方程组求出得到例3：如图所示电路，求的阶跃响应，若G=10S解：电路方程如下其中或当时用(a)