第一章 1.4.2 第2课时　夹角问题

8第一章1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时夹角问题【素养导引】1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的向量表示.(数学抽象)2.能用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的大小.(逻辑推理、数学运算)空间角的向量求法角向量求法异面直线所成的角设l1与l2的方向向量分别为u,v,则cosθ=|cos<u,v>|=|u直线与平面所成的角设l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos<u,n>|=|平面与平面的夹角设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cosθ=|cos<n1,n2>|=|【批注】空间角的范围(1)异面直线所成角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π2(2)若<u,n>是一个锐角,则θ=π2-<u,n>;若<u,n>是一个钝角,则θ=<u,n>-π(3)两个平面夹角的范围是(0,π2],若夹角为π2[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等. (×)提示:异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.(2)平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中小于90°的二面角称平面α与平面β的夹角. (×)提示:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(3)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角. (×)提示:两向量的夹角可能为钝角.2.(教材改编题)已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,1易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<,>=22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.学习任务一求异面直线所成的角(逻辑推理、数学运算)1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ()A.15 B.25 C.35 【解析】选D.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以=(0,1,-2),=(-1,0,2),cos<,>==-45×5=-4所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为452.已知四面体OABC的各棱长均为1,D是棱OA的中点,则异面直线BD与AC所成角的余弦值为 ()A.33 B.14 C.36 【解析】选C.=-=12-,=-,于是||=32,||=1,且·=(12-)·(-)=-14,于是cos<,>==-1432×1=-36,故异面直线BD与AC所成角的余弦值为36.求异面直线所成角的关注点(1)原理:空间向量的夹角公式;(2)方法:坐标法、基向量法;(3)注意:由于两异面直线所成角θ的范围是(0,π2],而两向量夹角α故cosθ=|cosα|.学习任务二求直线与平面所成的角(逻辑推理、数学运算)【典例1】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解析】(1)取AB中点O,连接CO,A1B,A1O,因为AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△BAA1是正三角形,所以A1O⊥AB,因为CA=CB,所以CO⊥AB,因为CO∩A1O=O,所以AB⊥平面COA1,所以AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又因为平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,所以OC⊥平面ABB1A1,所以OC⊥OA1,所以OA,OC,OA1两两相互垂直,CA=CB=AB=2,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,由题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则=(1,0,3),==(-1,3,0),=(0,-3,3),设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,则即x+可取n=(3,1,-1),所以|cos<n,>|==-105=105所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105向量法求线面角的步骤如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,求直线AE与平面A1ED1所成角的大小.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),则得y-令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一个法向量.因为cos<n,>==-22×2所以<n,>=180°,所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.学习任务三求平面与平面的夹角(逻辑推理、数学运算)【典例2】如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),因为=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由得x+令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cosα=|m·n||m||n|本例条件不变,求SC与平面ASD所成角的余弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,A(0,0,0),B(0,2,0),S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),因为AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<,>|==33,故cosθ=63即SC与平面ASD所成角的余弦值为63利用坐标法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;(3)求两个法向量的夹角;(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角).如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.【解析】设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Bxyz,则M(12,0,12),N(12,12,0),A方法一:取MN的中点G,连接BG,AG,则G(12,14,1因为△AMN,△BMN为等腰三角形,所以AG⊥MN,BG⊥MN,故∠AGB为两平面夹角或其补角.又因为=(12,-14,-14),=(-12,-14所以cos<,>==-1838×38=-方法二:设平面AMN的法向量n1=(x,y,z).由于=(-12,0,12),=(-12,12则即-1令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1).同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(1,-1,-1),所以cos<n1,n2>=n1·n2|设平面MNA与平面MNB的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=13故所求两平面夹角的余弦值为13【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,AE,由题意得四边形AECD为正方形,则AO=OC,又PN=NC,所以NO∥PA,又PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,故建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).因为点N为PC的中点,所以N(0,0,1),所以=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由=(0,0,2),=(2,0,0),可得n=(0,1,0),所以·n=0.又因为DN⊄平面PAB,所以DN∥平面PAB.(2)由(1)知=(0,2,0),=(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为θ,则cosθ=22×6=故直线AC与PD所成角的余弦值为66(3)存在.设M(a,b,c),且=λ,0<λ<1,所以a=-λ,b+1=λ,c-设平面ACM的一个法向量为p=(x',y',z'),由=(0,2,0),=(-λ,λ,2-2λ),可得p=(2-2λ,0,λ),易知平面ACD的一个法向量为q=(0,0,1),所以|cos<p,q>|=|λ1·λ解得λ=23或λ=2(舍去)所以M(-23,-13,23),所以=(-83,23,23),p=(设BM与平面MAC所成的角为φ,则sinφ=|cos<,p>|=-129223×22故存在点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°,此时BM与平面MAC所成的角为30°.面积法求二面角射影面积公式:cosθ=S射凡二面角的图形中含有可求原图形面积(S原)和该图形在另一个半平面上的射影图形面积(S射)的都可以利用射影面积公式求出二面角(θ)的大小.【典例】1.在典例2中,若SA=AB=BC=1,AD=12,其他条件不变.求平面SCD与平面SAB夹角的余弦值【解析】由题意,SA⊥BC,AB⊥BC,所以BC⊥平面SAB,又AD∥BC,所以AD⊥平面SAB,所以△SCD在平面SAB上的射影图形为△SAB.在△SCD中,SD=CD=52,SC=3所以底边SC上的高为22所以S△SCD=12×3×22=而S△SAB=12×1×1=12,设平面SCD与平