浙教版九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形含解析

浙教版九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理例1如图1，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等于__eq\f(24,5)__．图1【解析】∵AB∥CD∥EF，∴eq\f(AD,AF)＝eq\f(BC,BE)，即eq\f(3,5)＝eq\f(BC,12)，∴BC＝eq\f(36,5)，∴CE＝BE－BC＝12－eq\f(36,5)＝eq\f(24,5).【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用eq\f(左上,左下)＝eq\f(右上,右下)，eq\f(左上,左全)＝eq\f(右上,右全)等关系分段寻找．变式跟进1．[2017·镇江]如图2，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点落在边BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为__2＋eq\r(34)__．图2【解析】①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有eq\f(BD,BA)＝eq\f(BE,BC)；②由题意可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.设BC＝x，由①，②可列方程：eq\f(x－4,6)＝eq\f(5,x)，解得x＝2＋eq\r(34)(负值舍去)，故BC的长为2＋eq\r(34).题型二相似三角形的判定例2[2017·祁阳期末]已知：如图3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.图3求证：∠C＝∠E.证明：在△ABE和△ADC中，∵AB·AC＝AD·AE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E.【点悟】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．变式跟进2．[2017·随州]在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__eq\f(5,3)或eq\f(12,5)__时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．【解析】∵∠A＝∠A，分两种情况：①当eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)时，△ADE∽△ABC，即eq\f(2,AE)＝eq\f(6,5)，∴AE＝eq\f(5,3)；②当eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AB)时，△ADE∽△ACB，即eq\f(2,AE)＝eq\f(5,6)，∴AE＝eq\f(12,5).综上所述，当AE＝eq\f(5,3)或eq\f(12,5)时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．3．[2017·嘉兴模拟]已知：如图4，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连结MN.图4(1)求证：△ABM∽△NDA；(2)连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∵BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝∠AND＝45°－∠DAN，∴△ABM∽△NDA；(2)当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形．证明：∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°，∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB，∴AB＝BM，同理AD＝DN，∵AB＝AD，∴BM＝DN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDN＝∠DBM＝90°，∴∠BDN＋∠DBM＝180°，∴BM∥DN，∴四边形BMND为平行四边形，∵∠BDN＝90°，∴四边形BMND为矩形．题型三相似三角形的性质例3如图5，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝eq\r(2)，则此三角形移动的距离AA′＝__eq\r(2)－1__．图5【解析】设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2，∵AB＝eq\r(2)，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝eq\r(2)－1.【点悟】(1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比．变式跟进4．[2017·自贡]如图6，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__1__．图6【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,BC).∵AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴eq\f(1,1＋2)＝eq\f(MN,3)，解得MN＝1.5．如图7，有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC＝8cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上，设HE的长为ycm，EF的长为xcm.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当x取多少时，四边形EFGH是正方形？图7解：(1)∵BC＝8cm，高AD＝12cm，HE的长为ycm，EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(HG,BC)，即eq\f(12－y,12)＝eq\f(x,8)，∴y＝12－eq\f(3,2)x；(2)由(1)可知，y与x的函数关系式为y＝12－eq\f(3,2)x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝12－eq\f(3,2)x，解得x＝eq\f(24,5).答：当x＝eq\f(24,5)时，四边形EFGH是正方形．题型四位似图形及其画法例4如图8，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(C)图8A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B．(8，6)，(6，2)，(2，4)C．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4)D．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，(－6，2)，(－2，4)【解析】由坐标系可知，点A，点B，点C的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2，－3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4)．【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k或－k.变式跟进6．[2017·烟台]如图9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(4,3)))．图9【解析】由题意，将点B的横、纵坐标都乘以－eq\f(2,3)，得点B′的坐标．由B的坐标(3，－2)，得B′的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(4,3))).7．如图10，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1；(3)求出A2，B2，C2三点的坐标．图10第7题答图解：(1)如答图所示，△A1B1C1即为所求；(2)如答图所示，△A2B2C2即为所求；(3)A2(3，6)；B2(5，2)；C2(11，4)．题型五相似三角形的综合例5[2017·泰安]如图11，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．图11例5答图解：(1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC；(2)如答图，过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM，∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴eq\f(CM,AD)＝eq\f(PC,PA)，设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝eq\f(3,2)x，∵AB＝AD＝AC＝1，∴eq\f(x,1)＝eq\f(\f(3,2)x,\f(3,2)x＋1)，解得x＝eq\f(1,3)，∴AE＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).变式跟进8．[2017·甘肃]如图12，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ，并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图12解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CE，,∠B＝∠C，,BP＝CQ，))∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴eq\f(BP,CE)＝eq\f(BE,CQ)，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3eq\r(2)，∴BC＝6eq\r(2).过关训练1．[2017·兰州模拟]若△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝6cm，A′B′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(D)A．1∶2B．2∶1C．1∶4 D．4∶1【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝6cm，A′B′＝3cm，∴其相似比＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(6,3)＝eq\f(2,1)，∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝(AB∶A′B′)2＝4∶1.2．[2017·常熟期末]如图1，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的是(D)A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠BC.eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)D.eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,BC)图1图23．[2017·潍坊]如图2，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__∠A＝∠BFD(答案不唯一，合理即可)__，可以使△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B.故要使△FDB与△ADE相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．4．[2017·六盘水]如图3，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝__eq\f(16,9)__．图3第4题答图【解析】如答图，过O点作OM∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)BC＝4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴eq\f(AE,EM)＝eq\f(AF,OM)，∴eq\f(2,2＋\f(5,2))＝eq\f(AF,4)，∴AF＝eq\f(16,9).5．如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝45°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若AB＝2，BD＝1，求CE的长．图4解：(1)证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又∵∠DEC＝∠ADE＋∠CAD＝45°＋∠CAD，同理∠ADB＝∠C＋∠CAD＝45°＋∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE；(2)∵AB＝2，∴BC＝2eq\r(2)，∵△ABD∽△DCE，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(CD,CE)，∴eq\f(2,1)＝eq\f(2\r(2)－1,CE)，∴CE＝eq\f(2\r(2)－1,2).6．如图5，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△ECF；③CF＝eq\f(1,3)CD；④△ABE∽△AEF.正确结论的个数是(B)图5A．1个B．2个C．3个 D．4个【解析】先根据正方形的性质与同角的余角相等，证得△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，④正确．故选B.7．如图6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于__78__．图6第7题答图【解析】如答图，连结AE.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC于点E，∴∠BAC＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(CE,CA)＝eq\f(CD,CB)＝eq\f(20－5,25)，故CE＝12，∴BE＝25－12＝13，∴S△ABE＝eq\f(13,25)S△ABC，∵S△ABC＝150，∴S△ABE＝eq\f(13,25)×150＝78.8．[2017·内江]如图7，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝eq\f(1,3)AB.若四边形ABCD的面积为eq\f(15,7)，则四边形AMCD的面积是__1__．图7第8题答图【解析】如答图，分别延长BA和CD交于点E.∵AM＝eq\f(1,3)AB，∴AM＝eq\f(1,2)BM.∵CM是∠BCD的平分线，CM⊥AB，∴EM＝BM.∴AM＝eq\f(1,2)EM，∴AE＝eq\f(1,2)EM，∴AE＝eq\f(1,4)BE.∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴eq\f(S△EAD,S△EBC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)，即eq\f(S△EAD,S△EAD＋\f(15,7))＝eq\f(1,16)，解得S△EAD＝eq\f(1,7)，∴S△EBC＝eq\f(1,7)＋eq\f(15,7)＝eq\f(16,7)，∴S四边形AMCD＝eq\f(1,2)S△EBC－S△EAD＝eq\f(1,2)×eq\f(16,7)－eq\f(1,7)＝1.9．[2017·门头沟区期末]在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：已知：如图8，在△ABC中，点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且eq\f(CF,BF)＝eq\f(1,2)，连结DF交AC于点E.图8(1)当点E恰为DF的中点时，请求出eq\f(AD,AB)的值；(2)当eq\f(DE,EF)＝a(a＞0)时，请求出eq\f(AD,AB)的值(用含a的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问eq\f(AD,AB)的值．解：(1)甲同学的想法：如答图①，过点F作FG∥AB交AC于点G.∴∠GFE＝∠ADE，∠FGE＝∠DAE，∴△AED∽△GEF，∴eq\f(AD,GF)＝eq\f(ED,EF).∵E为DF的中点，∴ED＝EF，∴AD＝GF.∵FG∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴eq\f(GF,AB)＝eq\f(CF,CB)，∵eq\f(CF,BF)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(1,3).∴eq\f(AD,AB)＝