第1节 随机抽样、统计图表

第1节随机抽样、统计图表考试要求1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.3.理解统计图表的含义.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.简单随机抽样(1)简单随机抽样：分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.(2)简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(3)简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.2.分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为eq\o(x,\s\up6(－))1，方差为seq\o\al(2,1)；第二层的样本量为n2，均值为eq\o(x,\s\up6(－))2，方差为seq\o\al(2,2)，则总的样本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(n1,n1＋n2)eq\o(x,\s\up6(－))1＋eq\f(n2,n1＋n2)eq\o(x,\s\up6(－))2，总的样本方差s2＝eq\f(n1,n1＋n2)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n1＋n2)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2].3.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义[常用结论]1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.3.频率分布直方图中小长方形高＝eq\f(频率,组距).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.()(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会一样，与先后无关.(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关.2.(必修二P224T1改编)为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是()A.总体 B.个体C.样本 D.样本量答案C解析由题意可得200名学生成绩是样本.3.已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是________.答案120，110，90解析小学生、初中生、高中生人数的比例为12000∶11000∶9000＝12∶11∶9，故抽取的小学生、初中生、高中生的人数分别为eq\f(12,12＋11＋9)×320＝120，eq\f(11,12＋11＋9)×320＝110，eq\f(9,12＋11＋9)×320＝90.4.(必修二P184T1改编)已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为________cm.答案165.2考点突破·题型剖析考点一简单随机抽样例1(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.②盒子里共有80个零件，从中抽取5个零件进行质量检验.在抽样时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.④某班有56名同学，指定其中个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1C.2 D.3答案A解析①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.(2)总体由编号为00，01，…，28，29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()08422689531964509303232090256015990190252909093767071528311311650280799970801573A.19 B.02C.11 D.16答案C解析从随机数表的第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，得到的在00～29范围之内的两位数依次是09，09，02，01，19，02，11，其中09和02各重复了一次，去掉重复的数字后，前5个编号是09，02，01，19，11，则选出来的第5个个体的编号为11.感悟提升1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).训练1(1)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D.eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案A解析第一次被抽到，显然为eq\f(1,10)；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).(2)(多选)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验.先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)()034743738636964736614698637162332616804560111410959774946774428114572042533237322707360751245179897316766227665650267107329079785313553858598897541410A.774 B.946C.428 D.572答案ACD解析最先检验的4颗种子符合条件的为774，428，114，572，选ACD.考点二分层随机抽样角度1分层随机抽样的比例分配例2(多选)(2023·新余模拟)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为“今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？”下列说法正确的是()A.甲应付51eq\f(41,109)钱B.乙应付32eq\f(24,109)钱C.丙应付16eq\f(56,109)钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案ACD解析依题意由分层随机抽样可知，甲、乙、丙出钱的比例为560∶350∶180＝56∶35∶18，则甲应付：eq\f(56,109)×100＝51eq\f(41,109)(钱)；乙应付：eq\f(35,109)×100＝32eq\f(12,109)(钱)；丙应付：eq\f(18,109)×100＝16eq\f(56,109)(钱).故选ACD.感悟提升分层抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝eq\f(该层样本量n,总样本量N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数).(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq\f(mx＋ny,m＋n).角度2分层随机抽样的样本均值与样本方差例3(1)某学校高一年级共有3个班，1班有30人，优秀率为30%，2班有35人，优秀率为60%，3班有35人，优秀率为40%，则该校高一年级学生的优秀率为________.答案44%解析某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则高一年级优秀率为eq\f(30×30%＋35×60%＋35×40%,30＋35＋35)＝44%.(2)某工厂新、旧两条生产线的产量比为7∶3，为了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法从两条生产线抽取样本并计算得：新生产线生产的产品的质量指标的均值为10，方差为1；旧生产线生产的产品的质量指标的均值为9，方差为2，据此估计该批产品的质量指标的均值为________，方差为________.答案9.71.51解析根据两条生产线的产量比为7∶3，且新生产线质量指标的均值为10，方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方差为2，计算该批产品的质量指标的均值为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7＋3)×(10×7＋9×3)＝9.7；则所求的方差s2＝eq\f(3,7＋3)[2＋(9－9.7)2]＋eq\f(7,7＋3)[1＋(10－9.7)2]＝1.51.训练2(1)(2023·潍坊质检)某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取部分学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为________.答案4解析设从高三年级的学生中抽取的人数为x，则eq\f(6,30)＝eq\f(x,20)，解得x＝4.(2)为了解学生的课外阅读情况.某校采用比例分配的分层随机抽样的方法对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位：小时)的调查，所得样本数据如下：年级抽样人数样本平均数样本方差高一4053.5高二30eq\o(x,\s\up6(－))22高三303seq\o\al(2,3)已知高中三个年级的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))2＝________，高三年级学生的样本方差seq\o\al(2,3)＝________.答案41.5解析由高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，可得eq\f(40×5＋30·\o(x,\s\up6(－))2＋30×3,40＋30＋30)＝4.1，解得eq\o(x,\s\up6(－))2＝4；因为总样本方差为3.14，所以eq\f(40,100)×[3.5＋(5－4.1)2]＋eq\f(30,100)×[2＋(4－4.1)2]＋eq\f(30,100)×[seq\o\al(2,3)＋(3－4.1)2]＝3.14，解得seq\o\al(2,3)＝1.5.考点三统计图表角度1扇形图、条形图例4(多选)某中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列选项正确的是()前200名学生分布的饼状图前200名中高一学生排名分布的频率条形图A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30B.成绩第1～100名的100人中，高一人数不超过一半C.成绩第1～50名的50人中，高三最多有32人D.成绩第51～100名的50人中，高二人数比高一的多答案ABC解析由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×(45%－30%)＝30，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第1～100名的100人中，高一人数为200×45%×0.5＝45＜50，B正确；成绩第1～50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；第51～100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误.角度2折线图例5(多选)我国新冠疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量答案CD解析由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.角度3频率分布直方图例6随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160，165)，[165，170)，[170，175)，[175，180)，[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170，175)，[175，180)，[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.解(1)由频率分布直方图可知5×(0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01)＝1，解得x＝0.06，身高在170cm及以上的学生人数为100×5×(0.06＋0.04＋0.02)＝60.(2)A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，由题意可知A组抽取人数为30×eq\f(6,30＋20＋10)＝3，B组抽取人数为20×eq\f(6,30＋20＋10)＝2，C组抽取人数为10×eq\f(6,30＋20＋10)＝1.感悟提升1.通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据变化的趋势.3.频率分布直方图的数据特点：(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.训练3(1)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A.240，18 B.200，20C.240，20 D.200，18答案A解析样本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)(2023·南昌调研)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图.①直方图中x的值为________；②在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________.答案①0.0044②70解析①由频率分布直方图知数据落在[200，250)内的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝eq\f(0.22,50)＝0.0044.②因为数据落在[100，250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以所求户数为0.7×100＝70.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.下列情况中，适合用全面调查的是()A.检查某人血液中的血脂含量B.调查某地区的空气质量状况C.乘客上飞机前的安检D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识答案C解析乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全.2.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况.应采取的抽样方法是()A.(1)(2)都用简单随机抽样法B.(1)用分层随机抽样法，(2)用简单随机抽样法C.(1)用简单随机抽样法，(2)用分层随机抽样法D.(1)(2)都用分层随机抽样法答案B解析(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样法较合适；(2)中总体容量较小，采用简单随机抽样法较合适.3.在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是()A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等C.由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少D.每个人被抽到的可能性不相等答案B解析由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.4.从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为()注：表为随机数表的第1行与第2行0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A.24 B.36C.46 D.47答案A解析由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，依次选取43，36，47，46，24.5.从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是eq\f(1,3)，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案D解析∵随机抽样每个个体被抽到的概率相等，∴选取分层随机抽样方法抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为eq\f(1,3).6.(多选)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是()A.样本中支出在[50，60)元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则一定有600人的支出在[50，60)元答案BC解析在A中，样本中支出在[50，60)元的频率为1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；在C中，n＝eq\f(60,0.03×10)＝200，故n的值为200，故C正确；在B中，样本中支出不少于40元的人数为200×(0.030＋0.036)×10＝132，故B正确；在D中，若该校有2000名学生，则可能有600人的支出在[50，60)元，故D错误.7.(多选)(2023·湖北九师联盟模拟)某企业2022年12个月的收入与支出数据的折线图如图.已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是()A.该企业2022年1月至6月的总利润低于2022年7月至12月的总利润B.该企业2022年1月至6月的平均收入低于2022年7月至12月的平均收入C.该企业2022年8月至12月的支出持续增长D.该企业2022年11月份的月利润最大答案ABC解析因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知2022年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.8.(多选)太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中正确的是()A.2015～2022年，年光伏发电量与年份成正相关B.2015～2022年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减C.2015～2022年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D.2015～2022年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关答案ACD解析对于A，由图知，2015～2022年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A正确；对于B，由图知，2015～2022年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B不正确；对于C，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式都比分布式的大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C正确；对于D，由图知，2015～2022年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.9.将一个共有20个个体的总体编号为00，01，02，…，19，根据随机数法从中抽取一个容量为8的样本，从随机数表的第13行、第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第5个样本编号为________.(附：随机数表第13行：83453996340628898083137457007818475406106871177817)答案10解析随机数表第13行、第11列的数字为0，故依次可得：06，28(舍)，89(舍)，80(舍)，83(舍)，13，74(舍)，57(舍)，00，78(舍)，18，47(舍)，54(舍)，06(舍)，10，…，故第5个样本编号为10.10.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表所示(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________.答案400解析设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.11.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为76分，方差为96，乙班的平均成绩为85分，方差为60，那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________分.答案80100解析甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是eq\f(50,50＋40)×76＋eq\f(40,50＋40)×85＝80(分)；甲、乙两班全部90名学生的方差是eq\f(1,90){50[96＋(76－80)2]＋40[60＋(85－80)2]}＝100(分2).12.(2023·沈阳一模)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取3%的学生进行调查，则样本量为________；抽取的高中生中近视的人数为________.答案30030解析样本量为(3500＋2000＋4500)×3%＝300.抽取的高中生中近视的人数为300×eq\f(2000,3500＋2000＋4500)×50%＝30.【B级能力提升】13.(多选)高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2023年高中阶段教育在校生结构饼图如图，根据图中信息，下列诊断正确的有(名词解释：高中阶段毛入学率＝在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)()A.近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B.近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C.2022年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万人D.2023年，普通高中的在校生超过2470万人答案BD解析对于A，高中在校生人数在前四年有下降的过程，故A错误；对于B，近六年的高中在校生总数为24037万人，平均值为4006万人以上，故B正确；对于C，eq\f(3995,0.895)×0.105≈469(万人)，大于420万人，故C错误；对于D，4128×0.601≈2481(万人)，故D正确.14.(多选)(2023·青岛检测)某市为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查.据整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是()减免前减免后A