关于行列式的几种计算方法

关于行列式的几种计算方法

列方程是线性代数的重要内容，也是讨论线性方程组的有力工具，在许多数学分支中得到广泛应用。然而，列方程的计算灵活多变，具有一定的规律和技能。常用的方法包括定义方法、三角形法、矩阵法等。本文在此基础上，根据以上三种方法，探讨并提供了其他计算方法的行列式。1、．13t即根据行列式的定义求其值。n阶行列式的定义：设有n2个数，排成n行n列的数表做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如(-1)ta1p1a2p2…anpn(1)的项，其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n!个，因而形如（1）式的项共有n!项，所有这n!项的代数和∑(-1)ta1p1a2p2…anpn称为n阶行列式。注：例1中的ri(i=1,2,…,n)表示第i行；ci(i=1,2,…,n)表示第i列，下同。2、主植物因素积分法此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶、3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅（或次）对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶、3阶行列式的定义来计算行列式的值。例2.（主对角线上的元素为-1和3，辅对角线上的元素为-2和2）。3、化三角形法利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值。3.1上下三角形行列式及其值即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。3.2以第1行为单位的元素第一步：把a11变换为1（可通过交换两行（列）或把第1行乘来实现，尽量避免出现分数）；第二步：把第1行分别乘以-a21,-a31,…,-an1加到第2,3,…,n行对应元素上，把第1列a11以下的元素全部化为0;第三步：从第2行开始再依次用以上方法把主对角线a22,a33,…,an-1,n-1以下的元素全部化为0，即可得上三角形行列式。4、行列式与n-1阶或更低阶行列式的递推关系式利用已给的行列式的特点，建立起n阶行列式与n-1阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值。降阶递推法，常见的有两类：5、基于两个矩阵累积的行列式在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和(ai1b1j+ai2b2j+…ainbnj)的形式，那么该行列式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的行列式比较容易计算，则可由公式AB=A·B计算出原行列式的值。6、限制法7、支持线性整除的行列式此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元x，则行列式一定是关于x的一个多项式，且当取某些值，如x=a能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论,则行列式一定可以被x-a这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值。解：Dn显然是一个关于x的n-1次的多项式，不妨记为f(x)；且当x=1,2,…,n-1时，根据行列式的性质，都有：f(x)≡0。即(x-1),(x-2),…,(x-n+1)都是f(x)的因子且互质，所以它们的乘积也是f(x)的因子,通过比较xn-1的系数,知:8、matlab行列式的计算对于阶数n已知的行列式的计算或一些稍复杂的行列式的计算，我们还可借助于一些数学软件来进行求解。第一步：打开一个EXCEL文档，选择相邻的两行两列的四个的空单元格，在其中分别依次输入行列式的四个元素-1,-2,2,3;第二步：选定存放结果的单元格，点击“插入”菜单中的“fx函数”，打开粘贴函数的窗口，在窗口中选择“数学与三角函数”中的MDETERM函数，单击确定；第三步：在编辑栏内函数的括号内输入要计算的单元格，按下Enter键即可得到所求行列式的值。二是可以使用数学软件Matlab进行行列式的计算，如可按下列步骤计算行列式的值：第一步：打开Matlab，在其命令窗口（CommandWindow）（或新建一个M—文件，在其中）输入以下命令：第二步：按下Enter键（或点击运行按钮）即可得到行列式的值，其显示结果如下：此外，行列式的计算方法还有很多，除了以上几种方法外还有一些，如构造法，微积分法，特征值法，归纳法等等。正因为行列式的计算方法是多种多样的，所以在计算时往往根据行列式自身的特点选择特定的方法进行计算，而不局限于某一种算法，而是多种方法结合求之。4.1Dn=LDn-1型,此时根据递推关系有:Dn=Ln-1D1。4.2Dn=pDn-1+qDn-2(n>2,q≠0)型,此时我们不妨设α,β是方程x2-px-q=0的根,则由根与系数的关系,得:α+β=p,-αβ=q,将其代入Dn=pDn-1+qDn-2中,有:下面分两种情况进行讨论:解:由于Dn=2Dn-1-Dn-2;则不妨设α,β是方程x2-2x+1=0的根,则:α=β=1。于是Dn=1n-1D1+(n-1)1n-2(D2-1D1)=(2-n)D1+(n-1)D2所以:Dn=(2-n)D1+(n-1)D2=4-2n+3n=n+1一般计算行列式,是将其进行降阶,但对于某些行列式,我们可以反过来,在保持原行列式值不变的基础上再加上一行一列