专题38二项式定理

专题38二项式定理№专题38二项式定理№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题38二项式定理命题解读命题预测复习建议二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的应用在高考中一般以选择题和填空题的形式出现,难度不大。预计2024年的高考二项式定理的考查主要以选择和填空为主，命题的难度以中低难度为主，是拿分的地方。集合复习策略：1.理解多项式运算与二项式定理的联系；2.会用二项式定理解决与二项式有关的问题。→➊考点精析←一、二项式定理1.二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+Cnranrbr+…+Cnn2.二项展开式的通项Tr+1=Cnranrbr,它表示第3.二项式系数Cn0，C二二项式系数问题1.Cn0=1，Cnn=1，Cn2.Cnm=Cnn-m(0.当n为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为Cnn2;当n为奇数时,第n+12项和第4.各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，Cn0+Cn2+Cn4+→➋真题精讲←1.（2023北京卷5）的展开式中的系数为（）．A. B. C.40 D.80【答案】D【解析】【分析】写出的展开式的通项即可【详解】的展开式的通项为令得所以的展开式中的系数为故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.2.（2023天津卷11）在的展开式中，项的系数为_________．【答案】【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项系数为.故答案为：60.→➌模拟精练←1．（2023·江苏南京·统考二模）在的展开式中（

）A．常数顼为160 B．含项的系数为60C．第4项的二项式系数为15 D．所有项的系数和为1【答案】BD【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，分别取代入计算得到答案.【详解】展开式的通项为.对选项A：取得到常数项为，错误；对选项B：取得到含项的系数为，正确；对选项C：取得到第4项的二项式系数为，错误；对选项D：取得到所有项的系数和为，正确.故选：BD2．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式，则（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480【答案】A【解析】因为，所以第8项为，所以.故选：A3．（2023·湖南永州·统考三模）在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【详解】解：因为二项展开式的通项为，又因为，所以当或时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，先排5项为无理项，共有种排法，再排2项有理项，共有种排法，所以有理项互不相邻的排法总数为：种.故选：A.4．（2023·辽宁沈阳·统考三模）的展开式中，含项的系数为（

）A．430 B．435 C．245 D．240【答案】B【详解】，展开式的通项为，令，则，令，则，令，则，所以项的系数为.故选：B.5．（2023·重庆·统考三模）二项式展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为展开式的通项公式为，则第r项系数为，第r＋1项系数为，所以.故选：B6．（2023·江苏·统考二模）已知，则（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】先根据二项展开式的通项公式求得，再利用赋值法，令，进而即可求解．【详解】由，则，得，令，得，左右两边除以，得，所以．故选：D．7．（2023·江苏常州·校考二模）的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（

）A．2 B．±2 C． D．±【答案】D【分析】根据展开式的通项公式，确定项的系数，即可求解.【详解】展开式的通项公式是，当时，项的系数为，解得：.故选：D8．（2023·江苏南通·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A．60 B．80 C． D．【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以，故选：B9．（2023·安徽铜陵·统考三模）的展开式中的系数是______.【答案】672【详解】展开式通项公式为，当时，，当时，，故的展开式中的系数为.故答案为：67210．（2023·浙江温州·统考三模）展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【答案】【详解】展开式通项公式，令，解得，则，所以展开式的常数项是.故答案为：11．（2023·广东·高三统考模拟预测）在展开式中，的系数是________．（用数字作答）【答案】【解析】因为，且的展开式通项为，所以的系数是与展开式中的项的乘积的和，所以有，故答案为:12．（2023·广东茂名·统考一模）的展开式中的系数为______（用数字作答）.【答案】56【解析】，令，解得，所以.故的展开式中的系数为56.故答案为：56→➍专题训练←1．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知多项式，则（

）A．11 B．74 C．86 D．【答案】B【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可.【详解】对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.2．（2023·山东德州·三模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将化为，利用二项式通项公式可求得，判断A；根据二项式的系数和式的特征，利用赋值法可分别判断B，C，D.【详解】由题意可知，故，A错误；由，令，可得，B错误；令，则，故，C错误；令，则，故，D正确，故选：D3.的展开式中的系数是（）A．90 B．80 C．70 D．60【答案】A【解析】因为展开式的第项为，令，得，则的系数为．故选：A.4.若，则_____.【答案】【解析】由题意，由，，∴，令，则，所以.故答案为：.5.的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】，所以，的展开式中各项的指数之和为，展开式中各项系数乘以各项指数之和为，因此，所求结果为.故选：C.6.的展开式中，的系数是（）A．20 B． C．160 D．【答案】C【解析】的展开式的通项公式为：，令，可得，，故选：D.7.若，则（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，两式相加可得：，所以，故选：B8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）的展开式中二项式系数最大的项是________.【答案】/【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是.故答案为：9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，其中，则___________．【答案】【分析】首先根据的二项式展开式第项为，从而得到，再解方程即可.【详解】的二项式展开式第项为，令，则，所以，解得.故答案为：10．（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则__________．【答案】6【分析】根据二项式通项公式和展开式的第项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式展开式的通项公式为，由展开式中，第项为常数项，此时，则，即．故答案为：.11．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知的展开式中含项的系数为1024，则______．【答案】2【详解】因为的通项公式为，所以的展开式中含项为．，得.故答案为：212．（2023·安徽黄山·统考三模）将展开后按的升幂排列，则第3项为____________.【答案】【详解】的通项公式为，展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，，令，则，令，则，所以的系数为：.故答案为：13．（2023·广东深圳·统考一模）的展开式中的系数为______（用数字做答）．【答案】－10【解析】的展开式的通项公式为，令，则的展开式中的系数为，故答案为：1014．（2023·广东梅州·统考一模）展开式中的系数为___________.【答案】40【解析】根据题意可知，展开式中含的项为和两部分；所以展开式中的系数为.故答案为：4015．（2023·广东韶关·高三统考模拟考试）的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】的展开式通项为，令，得，故常数项是．故答案为：．16．（2023·广东揭阳·高三统考模拟考试）中的系数为__________（用数字作答）.【答案】【解析】，其二项展开式的通项为，要得到，则，解得.的二项展开式的通项为，令，可得.故中的系数为.故答案为:.17．（2023·广东肇庆·统考一模）的展开式中的系数是________．（用数字作答）【答案】【解析】根据题意,的项在的展开式中有两项，分别为：和，即和，则的系数为：.故答案为：.18．（2023·广东佛山·统考一模）在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）【答案】15【解析】，令，解得，所以常数项为故答案为：15.19．（2023·广东汕头·高三统考模拟考试）在的展开式中，的系数为__________.【答案】【解析】依题意，的展开式中，含的项为，所以的系数为.故答案为：.20．（2023·湖北·校联考三模）展开式中一次项的系数是___________．（请填具体数值）【答案】11【详解】的展开式的通项公式为，而，令，得；令，得.所以的展开式中一次项系数为.故答案为：21．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）的展开式中含的项与含的项系数相等，则___________.【答案】【详解】由的展开式的通项为，令，可得；令，可得，因为展开式中含的项与含的项系数相等，可得，又因为，所以.故答案为：.22．（2023·江苏南通·三模）已知，则__________.【答案】【详解】解：因为，所以，令，得，又，即，令，两边相加得：，故答案为：23．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知，则______.【答案】2【分析】利用赋值法计算即可.【详解】由，令，则，令，则，∴.故答案为：2.24．（2023·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为______．（用数字作答）【答案】28【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.【详解】