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关于n阶行列式计算的几种方法

列方程的计算是列方程理论最重要的方面。n阶列方程是相对复杂的。以下是传统的行列式方法，除了传统的行列式方法外，还提供了一些新方法。这些方法可以打开思路，快速解决问题。1n-1n非零分析:该行列式零元素很多,只有一项12…(n-1)n非零,而这n个元素行下标按自然顺序排列,则下标排列为(n-1)(n-2)……21n,由行列式的定义可得2列方程的属性2.1三角形法利用行列式性质消去某一行(或某一列)大部分元素后可以直接化为三角形行列式或可降阶的行列式。2.2拆除搅拌方案的法利用行列式的可加性将行列式拆为两个行列式之和计算。2.3限制法常用于“缺少”某行(列)的行列式,加上适当的行(列)后可简化问题。2.4逐行列相法3行列式的重要方法将行列式按某一行(或某一列)展开也是计算行列式的重要方法,这种方法常在某一行(列)元素0比较多时运用。例2计算n阶行列式解:按第一列展开有Dn=xn+(-1)n+1yn4求低阶之间的递推关系找出Dn与Dj(j<n)的递推关系,再求出一些低阶之间的相应递推关系,最后求出Dn,也可进一步用数学归纳法证明此递推关系的正确性。例3计算行列式5使用一些结论5.1使用块矩阵的一些结论5.2范得蒙行列式的转化范得蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此在遇到具有这种特点的行列式时,可以考虑将其转化为范得蒙行列式并利用相应的结果求值。范得蒙行列式例6证明:证记左端行列式为Dn,则再把第一行拆成两项之和,并利用范得蒙行列式的结论,得6正确修改列的元素例7计算n阶行列式解:行列式主对角线元素为x,以主对角线两侧为y,z,位置是对称的,可通过适当的变换元素计算同理再设7计算n阶行列式解两个n阶行列式的乘积,设解:由行列式的乘法规则,该行列式可以写成两个行列式乘积,其中一个是下三角行列式,一个是范得蒙行列式原式=实际上在计算行列式中,上述几种方法可以同时交叉使用,最终目的是使行列式的运算简洁、方便、正确。例1计算n阶行列式解将Dn按第一列展开得Dn=2Dn-1-Dn-2,因此有,故有Dn=1+Dn-1=2+Dn-2=…(n-1)+D1=n-1+2=n+15.1.1设A,B分别为m与n阶方阵,当A可逆时,有;当B可逆时,有5.1.2设A,B,C,D都是n阶方阵,当AC=CA,有例4利用方块矩阵计算下列行列式其中a1≠0,i=1,2,…,n解对原行列式先加边,再将加边后的行列式的第一行乘-1加到其余各行,得令A=(1),D=(1,1,…,1)由于a1≠0,B可逆,从而由(5.1.1)有例5计算2n阶

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