参数估计习题解答

参数估计习题与习题解答6。11．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据(单位:h）：1050，1100，1130,1040,1250，1300，1200，1080试对这批元件的平均寿命以及分布的原则差给出矩估计.解：样本均值样本原则差因此,元件的平均寿命和寿命分布的原则差的矩估计分别为1143。75和96.0562设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2。2，1。2,0。8，1。5，2。0，1。6试对参数给出矩估计.解：由于E(X）=，即=2E（X)，而样本均值=1。34,故的矩估计为设总体分布列如下，是样本，试求未知参数的矩估计解:（1)总体均值E（X）=，解之可得N=2E（X)+1故N的矩估计量,其中为样本均值，若不是整数，可取不小于的最小整数替代（2）总体均值E(X）=,由于，故有E（X),即，从而参数的矩估计为4．设总体密度函数如下，是样本,试求未知参数的矩估计解：（1）总体均值E（X）=，即即,故参数的矩估计为（2)总体均值E（X）==,因此,从而参数的矩估计(3）由E(X)==可得，由此，参数的矩估计(4)先计算总体均值与方差E（X）==+====++=Var（X）==由此可以推出,从而参数的矩估计为5．设总体为，先对该总体观测n次,发既有k次观测为正,使用频率替代措施求的矩估计.解:由题意知，观测为正的频率f=，下面计算观测值为正的概率。当总体为N（）时,P（X〉0)=1-P（X<0）=1—P（X—<—）=其中为原则正态分布的分布函数。运用频率替代概率的措施有，这给出参数的矩估计为譬如，若设=0。281,则由上式知是原则正态分布的分布的0。281分位数,查表得=—0。586．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：该书样稿的总错字个数；未被发现的错字数.解（1）设该书样稿中总错字的个数为，甲校对员识别出错字的概率为,乙校对员识别出错字的概率为，由于甲，乙是彼此独立地进行校对,则同一错字能被识别的概率为,根据频率替代思想有由独立性可得矩法方程,解之得.(2)未被发现的错字估计等于总错字数的估计减去甲,乙发现的错字数，即譬如，若设a=120，b=124，c=80，则该书样稿中错字总数的矩法估计,而未被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个。7．设总体概率函数如下,是样本,试求未知参数得最大似然估计。（1）（2）已知,〉1解（1)似然函数为,其对数似然函数为将有关求导并令其为0即得到似然方程解之得由于因此是的最大似然估计。（2）似然函数为,其对数似然函数为解之可得由于，这阐明是的最大似然估计。8．设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计.（1）已知;（2(3）解：(1）样本的似然函数为要使到达最大，首先示性函数应为1，另一方面是尽量大.由于c〉0，故是的单调增函数，因此的取值应尽量大,但示性函数的存在决定了的取值不能不小于,由此给出的最大似然估计为(2）此处的似然函数为其对数似然函数为由于因此,是的单调增函数，要使其最大,的取值应当尽量的大，由于限制,这给出的最大似然估计为.将有关求导并令其为0得到有关的似然方程，解之得.（3）似然函数为。由于是有关的单调递减函数，要使到达最大,应尽量小，但由限制可以得到，这阐明不能不不小于，因而的最大似然估计为。9．设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。(1)；(2）;（3）。解：(1）不难写出似然函数为。对数似然函数为 。将之有关求导并令其为0得到似然方程 ，解之可得 .而：，故是的最大似然估计（2）此处的似然函数为.它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1,的取值范围应是,因而的最大似然估计可取中的任意值。（3）由条件，似然函数为。要使尽量大，首先示性函数应为1，这阐明；另一方面要尽量小，综上可知，的最大似然估计应为，的最大似然估计应为10．一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数.假设这100次观测互相独立,求这地区石子中石灰石的比例的最大似然估计。该地质学家所得的数据如下样本中的石子数012345678910样品个数016723262112310解：本题中，总体X为样品中石灰石的个数，且X服从参数为的二项分布，即又设为样本，则其似然函数为（忽视常数),对数似然函数为将对数似然函数有关求导并令其为0得到似然方程解之得由于由二阶导数的性质知，p的最大似然估计为11.在遗传学研究中常常要从截尾二项分布中抽样,其总体概率函数为若已知，是样本，试求p的最大似然估计。解:当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2，不妨设的样本中有个为1，有n—n1个2则其似然函数为（忽视常数）对数似然函数为将对数似然函数有关p求导并令其为0得到似然方程解之得后一种等式是由于因此,代入上式即得。12．已知在文学家箫伯纳的AnIntelligentWoman’sGuideToSocialism一书中,一种句子的单词数X近似地服从对数正态分布，即。今从该书中随机地取20个句子，这些句子中的单词数分别为52241567152263261632 73328147291065930求该书中一种句子单词数均值的最大似然估计。解：正态分布的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差。即由于最大似然估计具有不变性，因而的最大似然估计为13．设是来自对数级数分布的一种样本,求参数p的矩估计.解：由于,因此有,从而得到p的矩估计。14．一种罐子里装有黑球个百球,有放回地抽取一种容量为n的样本,其中有k个百球，求罐子里黑球和白球数之比R的最大似然估计。解法1：记p为罐子中白球的比例，令表达第i次有放回抽样所得的白球数,则故p的最大似然估计为。由于黑球数与白球数比值。根据最大似然估计的不变性,有，对详细的样本值即n个抽到k个白球来讲,R的最大似然估计为.解法2：设罐子里有白球个，则有黑球R个，从而罐子中共有(1+R)个球，从中有放回的抽一种球为白球的概率为从罐子中有放回的抽n个球,可视为从二点分布X0（黑球）1(白球）p中抽取一种样本容量为n的样本。当样本中有k个白球时，似然函数为L(R）=，其对数似然函数为lnL（R）=（n-k）lnR-nln(1+R）,将对数似然函数对R求导,并令其为0，得似然方程解之可得R=。由于其对数似然函数的二阶导数为,因此R=是R的最大似然估计。譬如,在n=10，k=2场所，R的最大似然估计R=,即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4，若白球1个，黑球为4个；或者白球2个,黑球8个等。15.设和分别来自总体N（)和N（)的两个独立样本.试求的最大似然估计。解:合样本的似然函数为L=，对数似然函数为lnL=—。将对数似然函数对分别求导并令其为0，得，，由此得到的最大似然估计为。16．某批产品具有N件,其中M件为不合格品，现从中随机抽取n件中有x件不合格品，则x服从超几何分布，即， 假如N与n已知，寻求该批产品中不合格品数M的最大似然估计。解:记未知参数M的似然函数L（M，x)=P（X=x).考察似然比由要使似然比得 ,必然导致（M+1)（N-M-n+x）(M+1—x）（N-M)化简此式可得，这表明：当为整数和时似然函数L（M，x)是M的增函数,即(）类似地，要使似然比,必导致。这表明，当为整数且时，似然函数L(M，x）是M的减函数,即（）比较(＊）和(**)可知,当是整数时，M的最大似然估计为或+1,而当不为整数时，M的最大似然估计为,其中［a]为不超过a的最大整数，综合上述，M的最大似然估计为譬如，在N=19,n=15，x=2场所。=,由于为整数，故M的最大似然估计为7或8。下面以实际计算加以佐证，几种L（M，2)=（x=2）如下表所示：M678910L（M，2）0.36890。39730。39730。37150。3251可见M取7或8可使似然函数到达最大。又如，在N=16，n=5,x=2场所,=(N+1）-1=（16+1）-1=5。8（不为整数），这时M的最大似然估计=［+1]=[5。8+1］=6。实际计算表明M5678L（M，2）0.37770。41210。40380.359可见M取6可使似然函数到达最大。§6。2点估计的评价原则内容概要1。相合性设为未知参数，=（,…，）是的一种估计量，n是样本容量，若对任何一种〉0，有,，则称为参数的相合估计. 相合性本质上就是按概率收敛,它是估计量的一种基本规定,即当样本量不停增大时，相合估计按概率收敛于未知参数； 矩法估计一般都是相合估计； 在很一般的条件下,最大似然估计也是相合估计。 2．无偏性设=(，…,）是的一种估计，的参数空间为，若对，有则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。假如对任意的，有，则称是的渐近无偏估计。3．有效性设是的两个无偏估计，假如对任意的有，且至少有一种使得上述不等号严格成立,则称比有效。4．均方误差设是的一种估计(无偏的或有偏的），则称为的均方误差。均方误差较小意味着：不仅方差较小，并且偏差也小,因此均方误差是评价估计的最一般原则。使均方误差一致最小的估计量一般是不存在的，但两个估计好坏可用均方误差评价：在无偏估计类中使均方误差最小就是使方差最小。习题与解答6.21．总体X~U（2),其中是未知参数,又为取自该总体的样本,为样本均值.（1)证明是参数的无偏估计和相合估计;（2）求的最大似然估计,它是无偏估计吗？是相合估计吗？解：(1）总体X～U(2）,则，,从而于是，,这阐明是参数的无偏估计。深入，这就证明了也是的相合估计。（2）似然函数为，显然是的减函数,且的取值范围为，因而的最大似然函数估计为下求的均值与方差，由于的密度函数为故,从而：因此不是的无偏估计,但它是的渐近无偏估计和相合估计。2.设x1,x2，x3，是取自某总体的容量为3的样本，试征下列记录量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一种估计的有效性最差？（1） （2） (3)解：先求三个记录量的数学期望这阐明他们都是总体均值的无偏估计,下面求他们的方差，不妨设总体的方差为2。不难看出，,从而的有效性最差。 3。设是参数的无偏估计,且有，试征2不是参数2的无偏估计。 证明:由方差的定义可知,.由于是参数的无偏估计，即，因而，因此2不是参数2的无偏估计。 4.设总体X～N（,2)，x1，x2，…，xn是来自该总体的一种样本。试确定常数C，使为2的无偏估计。 解:由于总体X～N（,2)，因此 于是可见,要使为2的无偏估计，只有.5.设从均值为方差为2〉0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,其样本均值分别为。试证,对任意常数啊a，b（a+b=1),都是的无偏估计，并确定常数a,b使Var（Z)到达最小. 证：由于为容量为n1和n2的两个独立样本的样本均值，故因而:。这阐明是的无偏估计。又由a+b=1知，，从而求导知,当时，Var（Y）到达最小,此时 这个成果表明，来自同一总体的两个容量为n1和n2的两个独立样本合样本(样本容量为n1+n2）的均值是线性无偏估计类中方差最小的.6.设分别来自总体N（1,2)，和N（2，2）中抽取容量为n1和n2的两个独立样本，其样本方差分别为s12，s22。试证，对任意常数啊a,b（a+b=1），Z=as12,+bs22都是2的无偏估计，并确定常数a,b使Var(Z）到达最小。解:由已知条件有 且独立.于是故这证明了是的无偏估计。又 从而因而当时，到达最小，此时该无偏估计为这个成果表明,对来自方差相等（不管均值与否相等)的两个正态总体的容量为和的样本,上述是的线性无偏估计类中方差最小7.设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时,测量值总体的原则差为用这些仪器独立的对某一物理量各观测一次,成为的无偏估计，且方差到达最小.解:若要使为的无偏估计,即则必须有此时因此，问题转化为在的条件下，求的极小值。令由和得到从（1）中可以得到代入（2)中,解出，从而8．设是来自均匀总体的一种样本。（1）验证都是的无偏估计;(2）比较上述三个估计的有效性.解：令则即是来自的样本,且于是,我们可将诸估计写成与的函数：由此，又这阐明由此可以得到综上，均是的无偏估计，并且与的方差相等,但在比较与的方差是要取决于n的大小，当时，比有效;当时,比有效。9。设样本来自一种正态总体样本来自另一种正态总体且两个样本独立。（1)求的矩估计;（2）假如固定，试问怎样分派和才能使得的方差到达最小。解；(1)由题意可知的矩估计为的矩估计为因而的矩估计（2）由于且两个样本独立，故在的条件下使用和本节第5题相似的措施，由可解出（另一解不适合),而故时的方差到达最小。10．设总体…是样本，试证和都是的无偏估计量，并比较其有效性.解：由指数分布知，因而这阐明是的无偏估计量。又最小次序记录量的密度函数为即因而有从而即是的无偏估计量,且注意到当n>1时，这阐明作为的无偏估计,比更有效。11．设总体为…为其样本，试求的无偏估计。解：此处样本均值为参数的充足记录量，且，于是因而从而可得的一种无偏估计为12．设总体为…为样本,证明样本均值和样本中程都是的无偏估计，并比较它们的有效性.解：由总体得因而,这首先阐明样本均值是的无偏估计,且.为求样本中程的均值与方差,注意到令…,n,则 由于故从而这就证明了样本中程是的无偏估计。又注意到（参见第五章5。3节习题29)因此从而于是在时，这阐明作为的无偏估计，在n〉2时，样本中程比样本均值有效.13.设是来自正态总体对考虑如下三个估计（1） 哪一种是的无偏估计？哪一种均方误差最小?解:（1）由于，故有,从而 这阐明仅有是的无偏估计，而与是的有偏估计。(2）我们懂得，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即而Var这给出VarVarVar于是MSEVarMSEMSE显然因此的均方差最小.注意，这里是的有偏估计，上述结论表明，在均方误差意义下,有时有偏估计要比无偏估计更优.14。设是来自密度函数为的样本，(1) 求的最大似然估计，它与否是相合估计？与否是无偏估计？(2） 求的矩估计，它与否是相合估计？与否是无偏估？(3) 考虑的形如的估计，求使得的均方误差到达最小的c，并将之与的均方误差进行比较。解: (1）似然函数为显然在示性函数为1的条件下是的严增函数，因此的最大似然估计为又的密度函数为故故不是的无偏估计，不过的渐近无偏估计。由于且Var这阐明是的相合估计。（2）由于这给出，因此的矩估计为又因此Var从而有VarVar这阐明既是的无偏估计，也是相合估计.（3）对形如的估计类,其均方误差为MSEVar因而当时，MSE到达最小,运用上述成果可以算出MSE,MSE故有MSEMSEMSE，因此在这三个估计中,的均方误差最小。15.设总体是样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计（提醒：考虑找均方误差最小者)。证:由于总体因此Var现考虑形如的估计类,其均方误差为MSE将上式对求导并令其为0，可以得到当时，MSE最小，且这就证明了在均方误差准则下存在一种优于的估计。这也阐明,有偏估计有时不比无偏估计差。 16。设独立同分布,E=，Var（）〈+,证明是的相和估计.证：由于=这就证明了是的相合估计.17。设是取自均匀分布总体的一种样本，若分别取和作为的估计量，问与否为的无偏量估计量？假如不是，怎样修正才能获得的无偏估计。解：令Y=，则Y~U(0,1）记为样本对应的次序记录量，于是有从而可见不是的无偏估计量,由解之得因而是的无偏估计量.18.设独立同分布，其共同的密度函数为（1）证明：和都是的无偏估计；(2）计算和的均方误差并进行比较；（3）证明:在均方误差意义下,在形如的估计中最优。解：（1）先计算总体均值为，故这阐明是的无偏估计。又总体分布函数为记Y=，则密度函数为于是有这表明也是的无便估计.(2）无偏估计的方差就是均方误差，由于故有又从而由于因此在均方差意义下,优于。(3)对形如的估计有，故因此当时，上述均方误差最小，因此在均方误差意义下，在形如的估计中，最优.19．设是来自均匀分布的一种样本,对参数有如下三个估计(1) 验证这些估计的无偏性；(2） 比较这些估计的有效性；（3） 研究这些估计的相合性.解：(1)由于因此又的密度函数为因此 类似地，的密度函数为 因此由此看出,三个估计都是的无偏估计。（2）分别计算三个估计的方差由于时,有因此这三个估计中最有效，为次，最差.（3) 由于与的方差都伴随而趋于零,故与都是的相合估计，但不是的相合估的计。为了证明这一点,我们需要的分布函数,由于的分布函数为于是，的分布函数为由此可得在充足小时，这是一种很小的数,它与1相差很大,这表明不会趋于1，故不是的相合估计。20．设是来自二点分布的一种样本，（1） 寻求的无偏估计；(2) 寻求的无偏估计；（3) 证明的无偏估计不存在。解：（1）是的最大似然估计，是的最大似然估计，但不是的无偏估计，这是由于由此可见是的无偏估计。(2）是的最大似然估计,但不是无偏估计,这是由于由此可见是p（p—1）的一种无偏估计,或者 上式是p的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p可在（0,1）取无穷多种值，因此不管取什么形式都不能使上述方程在0<p<1上试成立，这表明的无偏估计不存在.21．设是来自均匀分布U的一种样本，寻求的无偏估计.解:轻易看出，分别是的最大似然估计,但它们都不是无偏差估计,这是由于均匀分布U的分布函数与密度函数分别为由此可导出次序记录量的密度函数分别为从而可以分别求出它们的期望(＊)（＊＊）这表明：不是与的无偏估计,但做恰当修改后，可获得与的无偏差估计。把（＊）与（＊＊）两式相加与相减可得再使用加减消取法,即可得的无偏估计刊登为22．设是来自总体分布函数为的一种样本，若是的有偏估计，且其期望有如下形式(＊）其中的函数,而与样本量n无关。这时，为了减少偏差,常用如下的、“刀切法”：记是把原样本中的第个分量剔除,用留下的容量为n—1的样本得到的类似估计量.即的估计公式有相似形式，且(1） 证明：新的估计（一切的估计）是的无偏估计;（2） 用刀切法寻求泊松分布中参数平方的一阶刀切估计。解：(1)一阶刀切估计期望为因此的无偏估计。(2） 在泊松分布中，样本均值的无偏估计,但不是的无偏估计，这是由于，若做简朴修改，用替代,就可以得到的一种无偏估计目前用“刀切法”寻找的一介刀切估计，已知是的有偏估计,且，其中仅是的函数.若剔除样本中第个分量,可得再做一阶刀切估计就可以得到的一种无偏估计，如下来化简这个一阶刀切估计,把和代入上式,可得这就是的另一种无偏差估计。§6.3 最小方差无便估计内容概要1．一致最小方差无偏估计设是的一种无偏估计，假如对此外任意一种的无偏估计,在参数空间上均有则称是的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE.2．判断准则设是的一种无偏估计，。假如对任意一种满足的，均有则是的UMVUE。3.充足性原则任一参数的UNVUE不一定存在，若存在，则它一定是充足记录量的函数；若的某个无偏估计不是充足记录量的函数,则通过条件期望可以获得一种新的无偏估计，且方差比原估计的方差要小;考虑的估计时，只需要在其充足估计量的函数中寻找即可,该说法对所有记录推断都是对的的。这便是充足性原则。4．费希尔信息量设总体的概率函数满足下列条件：参数空间是直线上的一种开去区间;支撑与无关；导数对一切都存在;对,积分与微分运算可互换次序,即期望存在,则称该期望为总体分布的费希尔（Fisher）信息量。假如二阶导数对一切都存在,则还可用下式计算5．常用分布的费希尔信息量二点分布b（1，p）的费希尔信息量;泊松分布的费希尔信息量；指数分布的费希尔信息量;正态分布的费希尔信息量;正态分布的费希尔信息量；正态分布的费希尔信息量（信息矩阵）。6．C—R不等式设是未知参数的一种无偏估计，若存在，则在费希尔信息量也存在的条件下有上式称为克拉美—罗(C-R）不等式，称为的无偏估计的方差的C—R下界,简称的C-—R下界。尤其,对的无偏估计，有.注：的C——R下界并不是对任意参数的无偏估计的方差都可到达。但能达C--R到下界的的估计一定是的UMVUE.习题与解答6。31．设总体概率函数是是其样本，是的充足记录量,则对的任一估计令证明这阐明，在均方误差准则下，人们只需考虑基于充足记录量的估计。证：我们将均方误差作如下分解注意到,这阐明于是因而2。设分别是的UMVUE,证明:对任意的（非零)常数是的UMVUE.证：由于分别是的UMVUE，故，且对任意一种,满足,由本节11题结论有，于是因此是的UMVUE。3.设是的UMVUE，是的无偏估计，证明：若则证：由于是的UMVUE，是的无偏估计，故其差是0的无偏估计，即,且,由本节11题结论知,这阐明即4.设总体为样本,证明，分别为的UMVUE.证：大家懂得，分别是的无偏估计,设是0的任一无偏估计，则即（*）将(*）式两端对求导,并注意到,有（＊＊）这阐明，即,于是,从而是的UMVUE.为证明是的UMVUE,我们将（＊＊）式的两端再对求导,得由此可以得到，下一步,将（*）式两端对求导，略去几种前面已经指出的积分为0的项，有这表明由此可得到，因而,这就证明了是的UMVUE。5。设总体的概率数为,满足定义6。3。1的条件,若二阶导数对一切的存在，证明费希尔信息量证: 记，则因此另首先,这就证明了6.设总体密度函数为是其样本。(1）求的最大似然估计;（2）求的有效估计。解： (1）似然函数为对数似然函数为将似然函数求导并令其为0，得似然方程解之得(2）令则因此从而有于是为求有效估计,需求出的希尔信息量,注意到，而于是的任意无偏估计的C—R下界为从而是的无偏估计，且方差到达了下界。因此是的有效估计7.设总体密度函数为，求的费希尔信息量解:对数密度函数为求一、二阶导数，有由此给出8。设总体密度函数为已知,求的费希尔信息量解：对数密度函数为求一、二阶导数，有由此给出9。设总体分布列为求的费希尔信息量解：对数分布为求一二阶导数,有在本章第3题中,我们已经算得于是10.设是来自的样本,试证明是的有效估计，从而也是UMVUE解：总体的密度函数为于是因此的费希尔信息量为,这就是说g（的任一无偏估计的C—R下界为又这就证明了是的有效估计。从而也是UMVUE11。证明:定理6.3。3的逆也对，即：若是的UMVUE，则对任一满足且的有证:采用反证法。倘若在参数空间中有一种使得，取则令则，这阐明也是的无偏估计,但这与是的UMVUE矛盾,这就证明了对参数空间中任意的均有,也即定理6。3.3的逆也对。由此我们懂得,条件“对任意满足的有“是的UMVUE”的充足必要条件。12。 设总体为样本，试求：(1)的最小方差无偏估计；(2）的最小方差无偏估计.解：(1）本节第4题已经证明了和分别是和的UMVUE,则由本节第2题知是的最小无偏估计.（2）对任意一种0的无偏估计有(见本节第4题证明过程）和,于是有,并且，因此是的最小方差无偏估计.13。 设独立同分布，的取值有四种也许,其概率分别为记为为中出现多种也许成果的次数,(1） 确定使为的无偏估计；（2) 将与的无偏估计方差的C-—R下界比较.解：（1)由于因此从而有=.若使T为的无偏估计，即规定解之得即是的无偏估计。（2）=对数似然函数为（略去与的无关的项)于是注意到观测量是随机变量,且故，.从而费希尔信息量为。因此的无偏估计方差的C—R下界为.由于于是的方差为:，即T的方差没有到达的无偏估计方差的C-R下界.14。设是来自正态总体的一种样本，若均值已知，证明:（1) 是的有效估计；（2） 是的无偏估计，但不是有效估计。证明:（1。)由知.为了获得的无偏估计的C—R下界,需要费希尔信息量，大家懂得,正态分布的密度函数p(x）的对数是，。由此得的费希尔信息量从而的无偏估计的C-R下界为,此下界与上述无偏估计的方差相等，故此是的有效估计。（2）由于可见，，即是的无偏估计，其方差为为了获得的无偏估计的C-R下界，需要懂得的费希尔信息量，由于,,从而的无偏估计的C—R下界为,由于无偏估计的方差,故不是的有效估计.此处，的无偏估计的C—R下界与的方差的比该比值常称为无偏估计的效. 15。证明:若T1与T2是未知参数g（）的两个UMVUE，则T1=T2（a.e).这个命题表明：g(）的UMVUE在几乎到处的意义下是唯一的。 证明：首先，T1—T2是0的无偏估计，则由本节第11题于是由此立即可得从而§6。4贝叶斯估计内容概要贝叶斯记录推断使用的三种信息总体信息,总体分布和总体所属分布族提供的信息；样本信息，从总体中抽取的样本所提供的信息；先验信息，在试验前人们对要做的问题在经验上和资料上所占用的信息。贝叶斯记录的基本观点 任意一种未知量都可看作一种随机变量,用一种概率分布来描述未知参数是最佳的措施，这个分布称为先验分布.贝叶斯公式的密度函数形式总体分布依赖于参数的概率函数在贝叶斯记录中记为p（x|）,他表达在随机变量取某个给定的值时总体的条件概率函数;根据参数的先验信息可确定先验分布（）；从贝叶斯观点看，样本x1,x2，…，xn的产生分两步。首先从先验分布（)中产生一种样本0，然后从p(x1，x2，…,xn｜）产生一组样本这时的样本联合条件概率函数为这个分布综合了样本信息和总体信息0是未知的，它是按先验分布（）产生的,为把先验信息综合进去，不能只考虑0,对的其他值发生的也许性也要加以考虑，过要用（)进行综合，这样一来,样本和参数的联合分布为,这个联合分布把总体信息，样本信息和先验信息三种可用信息都综合进去了；分析的目的是要对未知参数作记录推断。在没有样本信息时,人们只能根据先验分布对作出推断。在有了样本观测值之后，则应根据对作出推断.由于可分解为=,其中=是的边际概率函数,它与无关,不含的任何信息.因此能用来对作出推断仅是条件分布它的计算公式是，这个条件分布称为的后验分布，它集中了总体,样本和先验中有关的一切信息.后验分布的计算公式就是用密度函数表达贝叶斯公式.它是用总体和样本对先验分布作调整的成果，贝叶斯记录的一切推断都基于后验分布进行。4。贝叶斯估计予以后验分布对所作的贝叶斯估计有多种，常用有如下三种： 使用后验分布的密度函数最大值作为的点估计，称为作大后验估计; 用后验分布的中位数作为的点估计，称为后验中位数估计； 使用后验分布的均值作为的点估计,称为后验期望估计。这是使用最为频繁的贝叶斯估计.5。共厄先验分布 设是总体参数，（）是其先验分布，若对任意的样本观测得到的后验分布（｜X)与（)属于同一分不族，则称该分布族是的共轭先验分布(族)二项分布B（n，）中成功概率的共轭先验分布是贝塔分布Be（a,b)；泊松分布P（)的均值的共轭先验分布是伽马分布Ga（，）；在方差已知时，正态总体均值的共轭先验分布正态分布N(，2)；在均值已知时,正态总体方差2的共轭先验分布倒伽马分布IGa(，）(若X～Ga(，），则X—1的分布称为倒伽马分布IGa（,);习题与解答 1。§6。5区间估计内容概要 1。置信区间 设是总体的一种参数，其参数空间为，x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，对给定一种(0<〈1），若有两个记录量,使得对任意的，有则称随机区间为的置信水平为1—的置信区间,或简称是的1—置信区间,分别称为θ的(双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1—的含义是指在大量使用该置信区间时,至少有100（1—)%的区间具有θ2．同等置信区间 在上述记号下，若对给定的α（0〈α<1），对任意的θΘ,有则称为θ的1-α同等置信区间.同等置信区间是把给定的置信水平1-α用足了.常在总体为持续分布场所下可以实现。3．置信限 在上述记号下,若给定的α(0〈α<1）,和任意的θΘ有则称为θ的1—α同等置信下限，假如等号对一切,有则称为θ的1-α同等置信上限。4.枢轴量法 寻找同等置信区间常采用枢轴量法,其环节如下：设法构造一种样本和θ的函数使得G的分布不依赖于未知参数θ。此种G被称为枢轴量；合适地选择两个常数c，d，使对给定的α，(0〈α<1），有P(cGd）=1-α；若能将不等式cGd等价变形为则有为θ的1-α同等置信区间。 有关置信区间的构造有两点阐明满足置信度规定的c，d一般不唯一,若有也许,应选平均长度到达最短的c,d,这在G的分布为对称分布的场所往往轻易实现。实际中,选平均长度尽量短的c，d往往很难实现，因此一般这样选择c，d，是的两个尾部概率各为/2，即P（G〈c)=P(G〉d)=/2,这样的置信区间称为登尾置信区间.这是在G的分布为偏态分布的场所一般采用的措施.5常用的置信区间（1）。设x1，x2，…，xn是来自的样本，为均值，s为样本原则差，up为原则正态分布的p分位数，为自由度是k的t分布为自由度是k的2分布的p分位数，取置信水平为1—a，则,2，的置信区间如下表所示参数枢轴量置信区间已知未知2已知未知已知未知（1）.设x1,x2,…,xm是来自的样本，为均值，sx为样本原则差；设y1，y2，…,ym是来自的样本，为均值，sy为样本原则差，up为原则正态分布的p分位数，为自由度是k的t分布，为自由度是（k1，k2）的F分布的p分位数，取置信水平为1—a，则均值差1-2，方差比12/22的置信区间如下表所示参数枢轴量置信区间均值差1-2,12与22已知12与22未知，但12=22其中22/12=已知其中m,n都很大时一般场所注：这里注：这里,l为最靠近于的整数方差比12/221，2已知1，2之一未知习题与解答6。51。某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其原则差稳定在=0。85,现抽取了一种容量为n=25的样本，测定其强度,算得样本均值为=2.25，试求这批化纤平均强度的置信水平为0。95的置信区间。解这是方差已知时正态均值的区间估计问题。由题设条件,，查表知，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为=［2.25-0。3332，2。25+0。3332］，即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1。9168，2.5832］。2。总体X～N（，），已知，问样本容量取多大时才能保证的置信水平为95％的置信区间的长度不不小于。解由已知条件得的0。95置信区间为其区间长度为2，若使2,只需.由于=1.96,故，即样本容量至少取时，才能保证的置信水平为95％的置信区间的长度不不小于。3．0.50,1。25,0。80，2.00是取自总体X的样本，已知Y=lnX服从正态分布N(,1)。(1）求的置信水平为95％的置信区间；(2）求X的数学期望的置信水平为95％的置信区间。解（1）将数据进行对数互换，得到Y=lnX的样本值为：—0.6931，0。2231,—0。2231,0。6931。它可看作是来自正态分布N（，1)的样本，其样本均值为=0,由于=1已知，因此，的置信水平为95%的置信区间为：=［—0。9800，0.9800]。（2）由于EX=是的严增函数，运用（1）的成果，可算得X的数学期望的置信水平为95％的置信区间为［,]=［0。6188，4.3929］.4．用一种仪表测量某一物理量9次，得样本均值=56.32,样本原则差s=0.22。(1）测量原则差大小反应了测量仪表的精度，试求的置信水平为0。95的置信区间；求该物理量真值的置信水平为0。99的置信区间.解（1）此处(—1)=8×0.22=0。3872，查表知（8）=2。1797,=17.5345，的1—置信区间为=,=［0.0221，0.776]从而的置信水平为0.95的置信区间［0。1487,0。4215］。(2）当未知时，的1—置信区间为[,］。查表得(8）=3。3554,因而的置信水平为0。99的置信区间为[56。32—3。3554×0。22/,56.32+3。3554×0.22/］=[56.0739，56。5661］。5．已知某种材料的抗压强度X～N(）,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482493457471510446435418394469。（1）求平均抗压强度的置信水平为95％的置信区间;（2)若已知=30,求平均抗压强度置信水平面为95％的置信区间；(3)求的置信水平为95%的置信区间.解： （1）经计算得，=457.5，s=35.2176，在未