2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　相关系数 -　成对数据的线性相关性分析 学案

§2成对数据的线性相关性2.1相关系数2.2成对数据的线性相关性分析课标要求1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.3.了解非线性回归模型.素养要求通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.1.思考散点图可以说明变量间有无线性关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？提示利用相关系数.2.填空(1)一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(（\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2）（\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2）))r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数.(2)相关系数r的性质①r的取值范围为[－1，1]；②|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；③|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.(3)相关性的分类①当r>0时，两个变量正相关；②当r<0时，两个变量负相关；③当r＝0时，两个变量线性不相关.温馨提醒相关系数是研究变量之间线性相关程度强弱的量.3.做一做(1)下面对相关系数r描述正确的是()A.r>0表明两个变量负相关B.r>1表明两个变量正相关C.r只能大于零D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于0，两个变量相关关系越弱答案D解析因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈[－1，1]，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，故D正确.(2)(多选)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是()答案ACD解析因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合.故选ACD.题型一线性相关性的检验例1现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\o(∑,\s\up10(10),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\o(∑,\s\up10(10),\s\do9(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\o(∑,\s\up10(10),\s\do9(i＝1))xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(（116584－10×107.82）（47384－10×682）))≈0.7506.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.思维升华利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器.训练1假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))xiyi＝112.3.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)对x，y进行线性相关性检验.解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.(2)eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do9(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.78－125＝15.78，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.所以x与y之间具有很强的线性相关关系.题型二判断线性相关的强弱例2维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.甲醛浓度x18202224262830缩醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求样本相关系数r并判断它们的相关程度.解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11826.86324721.4596483.4822028.35400803.722556732228.75484826.5625632.542428.87576833.4769692.8852629.75676885.0625773.562830.0078490084073030.36900921.7296910.80∑168202.9441445892.01364900.16eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(168,7)＝24，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(202.94,7)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(7),\s\do9(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do9(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4144－7×242)\r(5892.0136－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))≈0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系.思维升华当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱.训练2为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位：mmol/L)、空腹血糖CLU指标值(单位：mmol/L)如表所示.人员编号12345678BMI值X2527303233354042TC指标值Y5.35.45.55.65.76.56.97.1CLU指标值Z6.77.27.38.08.18.69.09.1用变量Y与X，Z与X的样本相关系数分别说明TC指标值与BMI值、CLU指标值与BMI值的线性相关程度.参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).参考数据：eq\o(x,\s\up6(－))＝33，eq\o(y,\s\up6(－))＝6，eq\o(z,\s\up6(－))＝8，eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do9(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝244，eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do9(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2≈3.6，eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do9(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))2＝5.4，eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do9(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝28.3，eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do9(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))＝35.4，eq\r(244)≈15.6，eq\r(3.6)≈1.9，eq\r(5.4)≈2.3.解变量Y与X的相关系数r≈eq\f(28.3,15.6×1.9)≈0.95.变量Z与X的相关系数r′≈eq\f(35.4,15.6×2.3)≈0.99，可以看出TC指标值与BMI值、CLU指标值与BMI值都是高度正相关.题型三可线性化的回归分析(拓展知识)例3下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值.解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数.(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为eq\o(z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.(3)当x＝40时，eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272×40－3.849≈1131.思维升华求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图.(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程.(4)分析拟合效果：通过计算相关系数来判断拟合效果.(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程.训练3为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天12