北京航空航天大学大一高数复习总结

北京航空航天大学大一高数复习总结高数总结一，定理与限制条件1，单调有界数列必定收敛（这一般是隐含条件）2，证明一元函数 f(x)极限不存在的常用方法有：(1),f(X00)f(X00)若遇到arctanx或者arctanx要分别求x.xnx0,xnx0.limf(xn)不存在，或xnx0(xnx0).ynx0,使（2）xlimf(xn)limf(yn)nn3，利用极限运算法则求极限，前提是 f(x),g(x)的极限都存在，当limf(x)limg(x)f(x)都不存在时，f(x)g(x)，f(x)g(x)，g(x)的极限均xa或xa不确定成立。4，用等价无穷小求极限的注意事项：（1）在乘除法中可以用等价无穷小替换， 加减法中不可以随便用等价无穷小替换。（2）最常用于解题的等价 无穷小替换：(1x)1xln(1x)（主要用于加减法变换）x0ln(1x)x（用于加减法变换）x005，使用洛必达法则的前提是0型，型否则不可以使用。6，用递归数列求极限：对任意数列xn，若满足xnAkan1A，limanA其中0＜k＜1,则一定有nlimf(x)f(x0)7，连续性：若xx0称f(x)在x0连续。（某一邻域）设f(x)在x0的空心邻域或者单侧空心邻域内有定义， x x0不是f(x)的连续点，则称x0是f(x)的间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，可去间断点的特征是f(x0)与f(x0)均存在，且f(x0)f(x0)但是f(x0)f(x0)f(x0)，跳跃间断点的特征是f(x0)与f(x0)均存在，但f(x0)f(x0)。第二类间断点：无穷间断点的特征是： f(x0)与f(x0)至少有一个为。8，有界闭区间上的连续函数的有界性：如果f(x)在[a,b] 上连续，则 f(x)在[a,b]上有界，则M0，使得f(x)M9，可导、可微、连续的关系可导 可微 连续 可微10，参数方程：x(t)y(t)d2y''(t)'(t)'(t)''(t)则dx2'3(t)(x)yf(t)dt则y''(x)f[(x)'(x)f((x)]如果(x)xn1(x1)(xn1xn2xn3xn4x1)11，如何判断原函数的存在性：当函数f(x)在区间I上连续时，则f(x)在区间I上存在原函数若f(x)在区间上存在第一类间断点，则f(x)在该区间上不存在原函数12，定积分：定积分要求积分区间有限，被积函数有界可积的充分条件：〈1〉f(x)在[a,b] 上连续〈2〉f(x)在[a,b] 上有界且有有限个间断点〈3〉f(x)在[a,b]上单调可积的必要条件：f(x)在[a,b]上可积，则有f(x)在[a,b]上有界13，应用牛顿—莱布尼茨公式的前提是： 原函数F(x)在积分区间连续14，反常积分：f(x)dx0f(x)dx0f(x)dxlimbf(x)dxlimf(x)dx0aab015，应用题进行微元分割法的步骤 ;分割→近似→求和→取极限16，极坐标的面积公式：S1[r22()r12()]d2直角坐标与极坐标的变换公式：Sr2()1[r22()r12()]ddxdyrdrddrdrDr1()2D17，平面曲线弧长公式：1参数公式;xx(t)y y(t)ds x'2(t) y'2(t)dt2显示方式：yf(x)ds1y'2dx3极坐标方式：r r() ds r2() r'2()ddkds18，曲率：1参数方程：xx(t)yy(t)y''(t)x'(t)y'(t)x''(t)k3x'2(t)y'2(t)2则yy(x)dy''k1y'232显示方程：ds2显示推导;dy''dy''dxy''y'tany''2ddx1tan2sectan2k3dx1ds1tan2dx1y'2219，旋转体的体积：体积 =周长×高×水平微分厚度b2(x)dxbvxfvy2xf(x)dxaa20，旋转面的面积：当绕 X轴旋转且是弧线时Fby(t)dsb1y'2(t)dt22y(t)aa当弧线为极坐标方程时：rr()F2r()sinr2()r'2()d21，常见积分变换a1sinxb1cosxdx当遇到asinxbcosx时，进行如下变换a1sinxb1cosxA(asinxbcosx)B(asinxbcosx)'A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)aa1bb1ab1ba1Ab2Bb2a2a2tanxtsinx2t1t2令cosxt22则1t212sinnxdx2cosnxdx(n1)iiI*00niiI*1当n为奇数时，当n为偶数时I*222，极值第一充分条件判别定理：设f(x)在(x0,x0)连续，在(x0,x0)\{x0}可导，若x(x0,x0)时f'(x)0，x(x0,x0)时f'(x)0，则f(x)在xx0取极大值，且xx0可以是f(x)的不可导点。极值第二充分判别定理：设f(x)在x x0点二阶可导且f'(x)0，当f''(x)0时f(x0)为极大值当f''(x) 0时，f(x0)为极小值，当 f''(x) 0待定23，设f(x)在x0的某领域连续，函数f(x)在x0的左右两侧的凹凸性正好相反，则(x0,f(x0))是曲线f(x)的拐点。拐点的必要条件：f''(x)0或f''(x)不存在渐近线：x和x可以有不同的渐近线xxxx24，f(t)dt((xt)f(t)dt)'xf(x)f(t)dt(xf(t)dt)'0000可以用上式在适当的条件下证明 f'(x) p(x)f(x) Q(x)在某区间(a,b)上存在零点有一阶线性方程的积分因子知：p(x)dxp(x)f(x)Q(x))[ep(x)dxp(x)dxe(f'(x)f(x)e.Q(x)dx]'同理f''(x)p(x)f'(x)Q(x)在某区间(a,b)上存在零点p(x)dxp(x)dx[ef(x)e.Q(x)dx]'的零点存在性。sinxxtanx1sinntdt1tndt0025，泰勒公式：f(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)no((xx0)n)其中。Anf(n)(x0)n!ln(1x)xx2x3x4k1xk(1)唯一性：234kex1xx2x3xk2!3!k!sinxxx3x5(1)k1x2k13!5!(2k1)!cosx1x2x4x6(1)kx2k2!4!6!(2k)!(1x)1x(1)x2(1)(k1)xk2!k!26，二元函数zf(x,y)极限不存在的判定问题：方法：1当(x,y)沿不同的路径趋于(x0,y0)时，f(x,y)趋于不同的值2 当(x,y)沿某路径趋于 (x0,y0)时，f(x,y)趋于或者不存在27，偏导数连续性，函数可微性，可偏导性和函数连续性的关系f,fzf(x,y)在M0可微zf(x,y)zaiM0连xy在M0(x0,y0)连续续，z f(x,y) 在 M0可偏导且f(x0,y0)f(x0,y0)A和Bxy28,复合函数求导f(u,v,x)是作为u,v,x的三元函数求ff((x,y),(y),x)x与作为f((x,y),(y),x)作为x,y的二元函数求x的含义是不同的。偏导数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。29，多元函数极值的充分条件：设Zf(x,y)在点x0,y0的某邻域有连续的二阶偏导数，又有fx(x0,y0)0和fy(x0,y0)0，令fxx''(x0,y0)A，fxy''(x0,y0)B，fyy''(x0,y0)C1ACB20时，f(x,y)在(x0,y0)取极值，且当A0时取极小值，A 0时取极大值。2 AC B2 0时，(x0,y0)不是f(x,y)的极值点。ACB20时不确定。拉格朗日乘数法求极值通式： F(x,y, ) f(x,y) (x,y)S f(x,y)dxdy f(rcos,rsin )rdrd30，二重积分坐标变换DD'1设f(x,y)在有界闭区域D上连续，若D关于x对称，则f(x,y)dxdy0f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyD当f(x,y)对y为奇函数时，DD'其中f(x,y)关于y为偶函数，D'D{y0}。若D关于y轴对称，则奇函数时，当 f(x,y)关于x为偶函数

f(x,y)dxdy0D当f(x,y)关于x为f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDD'其中D' D {y 0}.3若D关于原点对称，则(x,y)D(x,y)D当f(x,y)关于(x,y)为奇函数时即f(x,y)f(x,y)则f(x,y)dxdy0D当f(x,y)关于(x,y)为偶函数时，则f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDD'4若D关于yx对称，则(x,y)D(y,x)D，能推出f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD线性代数1，行列式公式：1KAKnA2ABAB*1n14AA1113AAAAA6OA(1)mnAB5A~BABBC2，1 求秩行列变换可混用，求逆只能用行或列变换，求线性方程组只可以用行变换。二阶矩阵的伴随矩阵有主对角线互换，副对角线变号的规律，其余矩阵无此规律。正交矩阵AATATAE即AA13，逆矩阵的运算规律：(1)A(A11(2)(KA)11A1)K(3)(AB)1B1A1(4)(A1)T(AT)1(5)A11(6)(An)1(A1)nA4，矩阵的转置规律：(1)(AT)T A (2)(KA)T KAT(3)(AB)T BTAT (4)(A B)T AT BT5，伴随矩阵的规律：(1)AA*(3)(KA)*(4)r(A*)

A*A(2)(A*)*n2AAKA(KA)1Kn1A*n r(A) nr(A)n1r(A)n16，分块矩阵的运算：ABTBTB0n0ATBn(1)CTDT(2))0CnCD0CB01100B1B1B0(3)C0C1(4)0C100C7，矩阵等价 向量组等价 矩阵等价指两个向量组可以相互表示出 （两个向量组个数可以不一样， 线性相关性也可不一样）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同等价向量组具有相同的秩。8，矩阵秩的公式：(1)r(A)r(AT)(2)r(AB)r(A)r(B)(3)r(AB)min(r(A),r(B))如果A可逆则r(AB)r(B)，如果B可逆，r(AB)r(A)(4)A是mn的矩阵，B是np的矩阵，如果AB0则r(A)r(B)nAX0解向量的秩为nr(A)r(A)r(B)n。微 分 方 程1，一阶微分方程：1 可分离变量的微分方程： y' f(x)g(y)2一阶线性微分方程：y'p(x)yq(x)p(x)dxp(x)dxC(1)公式法：yeq(x)edx(2)积分因子法：方程两边同乘以p(x)dxue，则方程变为p(x)dx'p(x)dxp(x)dxp(x)dxeyq(x)eyeq(x)edxCpq3全微分方程：p(x,y)dxq(x,y)dy0并满足xxu(x,y)xy(1)特殊路径法：p(x,y0)dxq(x,y)dxx0y0(2)pp(x,y)不定积分法：由x积分得对xup(x,y)dxc'(y)u(x,y)p(x,y)dxc(y)，再对y求微分得yydy1dxp(y)xq(y)4dxp(y)xq(y)dy5y'f(x)uxy'uxu'xu'f(u)uyyy'f(axbyc)uaxbycu'abf(u)2，线性微分方程： y'' p(x)y' q(x)y f(x)当f(x) 0时，此方程为二阶齐次方程。1y''p(x)y'q(x)y0，当y1(x),y2(x)为方程的解求线性无关时，通解为y(x)c1y1(x)c2y2(x)当y1*p(x)y'q(x)yy(x),y(x)为方