无穷级数课件

无穷级数

无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数1常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理机动目录上页下页返回结束第一节第十一章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的2给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项一般项,或通项。级数的前n项和次相加,简记为机动目录上页下页返回结束定义：一、常数项级数的概念

叫做级数的称为级数的部分和。给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项一般项3记作并称S

为级数的和,收敛,则称无穷级数则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值称为级数的余项.显然记作并称S为级数的和,收敛,则称无穷级数则称无穷级数发4(又称几何级数)(q

称为公比)部分和机动目录上页下页返回结束级数收敛,等比级数级数发散(又称几何级数)(q称为公比)部分和机动目录5例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)

所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)6(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用7二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.机动目录上页下页返回结束性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各8说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.9性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.10性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动目录上页下页返回结束性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:11例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而12三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若13注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发14解:(1)令则故从而所以级数(1)发散.机动目录上页下页返回结束例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而所以级数(1)发散.机动目15机动目录上页下页返回结束(2)令则所以级数(2)收敛.机动目录上页下页返回结束(216的充分必要条件是:四、柯西收敛原理

定理：有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的柯西收敛原理即得本定理的结论.机动目录上页下页返回结束的充分必要条件是:四、柯西收敛原理定理：有证:设所给级数17例6.

解:有利用柯西收敛原理判别级数机动目录上页下页返回结束例6.解:有利用柯西收敛原理判别级数机动目录18当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知,级数第二节目录上页下页返回结束当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知,级数第二节目19二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法

机动目录上页下页返回结束二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正20一、正项级数的敛散性若定理1.正项级数收敛的充分必要条件是部分和序列有界.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束一、正项级数的敛散性若定理1.正项级数收敛的充分必要条件21都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则22(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束则有(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)23(常数p>0)的敛散性.解:1)当而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束2)当p级数例1.讨论p级数收敛(常数p>0)的敛散性.解:1)当而调和级数由24若存在对一切机动目录上页下页返回结束调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回25证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给26定理3.(比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,机动目录上页下页返回结束定理3.(比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散27由定理

2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若机动目录上页下页返回结束由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时28是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.机动目录上页下页返回结束是两个正项级数,(1)当时29的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～机动目录上页下页返回结束的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛30定理4.比值判别法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束定理4.比值判别法(D’alembert判别法)设31因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可32例5.讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛33对任意给定的正数定理5.根值判别法法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动目录上页下页返回结束对任意给定的正数定理5.根值判别法法(Cauchy34时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说35例6.

证明级数收敛解:

由定理5可知该级数收敛.机动目录上页下页返回结束例6.证明级数收敛解:由定理5可知该级数收敛.机动36例7.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,机动目录上页下页返回结束例7.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,37利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.

用比值判别法可知:时收敛;时,与p

级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,机动目录上页下页返回结束利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因38例8.设正项级数和也收敛.提示:因

存在N>0,又因由比较判别法，可证。都收敛,证明级数当n>N时机动目录上页下页返回结束例8.设正项级数和也收敛.提示:因存在N>0,又39二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和机动目录上页下页返回结束二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级40证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动41收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛42三、绝对收敛与条件收敛

定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛43定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较判别法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动目录上页下页返回结束定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较判别44例1.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束例1.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因45(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页46例2.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:解:(1)P>1时,绝对收敛;0<p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数

原级数绝对收敛.故机动目录上页下页返回结束例2.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:解:(1)P47因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;机动目录上页下页返回结束因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判48因所以原级数绝对收敛.机动目录上页下页返回结束因所以原级数绝对收敛.机动目录上页下页49则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C机动目录上页下页返回结束例3.则级数(A)发散;(B)绝对收50第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数

机动目录上页下页返回结束第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂51一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,

发散点的全体称为其发散域.机动目录上页下页返回结束一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.52为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它机动目录上页下页返回结束为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项53它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为和函数机动目录上页下页返回结束例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级54形如称为它在级数为当例如,幂级数为幂级数的系数.即是如此时称机动目录上页下页返回结束

二、幂级数及其收敛性幂函数，幂级数,形如称为它在级数为当例如,幂级数为幂级数的系数.即是如此55发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使阿贝尔目录上页下页返回结束发散发散收敛56当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动目录上页下页返回结束当时,收敛,故原幂级数57幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散机动目录上页下页返回结束幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出58定理2.若的系数满足证:1)若

≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,即时,则机动目录上页下页返回结束

收敛半径收敛半径收敛半径定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法592)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径机动目录上页下页返回结束2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除60对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

机动目录上页下页返回结束对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=61例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1机动目录上页下页返回结束例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(262例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由机动目录上页下页返回结束例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理63的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;的收敛域为故原级数的收敛域为机动目录上页下页返回结束所以例4.因此级数的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级64定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.机动目录上页下页返回结束定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛65例5.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,机动目录上页下页返回结束例5.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±666.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动目录上页下页返回结束6.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据67例7.幂级数求收敛半径?解：因为故原级数当时级数收敛,时级数发散,故机动目录上页下页返回结束例7.幂级数求收敛半径?解：因为故原级数当时级数收敛,时68解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机动目录上页下页返回结束解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机69例8.将函数展开成x的幂级数.解:收敛域为利用此题可得x＝1时，收敛,于是机动目录上页下页返回结束x＝-1时，发散,例8.将函数展开成x的幂级数.解:收敛域为利用此题可70例9.

将展成x－1的幂级数.解:

机动目录上页下页返回结束例9.将展成x－1的幂级数.解:机动目录71,展开成x-3的幂级数,解:机动目录上页下页返回结束例10.设,展开成x-3的幂级数,解:机动目录上页72机动目录上页下页返回结束机动目录