陕西省高三上学期教学质量检测测评卷一理科数学试卷

20202021学年陕西省高三教学质量检测测评卷一理科数学一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.————A分析：根据集合B描述得，应用集合的交运算求即可.解答：由集合B描述知：，∴.故选：A2.若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.————B分析：由计算可得，，根据除法计算即可求解.解答：由复数满足，,故选：B3.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，且平均数也相等，则（）A.4 B.16 C.24 D.32————D分析：根据茎叶图数据，应用平均数、中位数的定义有且它们的中位数为32，即可求得，进而求.解答：由茎叶图知：甲的平均数，乙的平均数，∴，而甲的中位数为，所以乙的中位数为32.∴依题意，，故，所以.故选：D4.已知函数是奇函数，则的图像在处的切线方程为（）A. B. C. D.————A分析：由已知函数为奇函数求出a值，然后得到和f(0)，再求出的图象在x=0处的切线方程.解答：由函数是奇函数，可知，即，检验可知，函数为奇函数，，，，又，所以切线方程为，即，故选：A5.设，，，则（）A B. C. D.————C分析：根据对数函数、指数函数的性质结合中间值1比较．解答：，由指数函数的增减性可知，，为减函数，，故选：C点拨：关键点点睛：幂和对数的比较大小，掌握指数函数与对数函数的单调性是解题关键.在不同类型的数比较大小时可借助中间值如0，1等比较.6.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.2 B. C. D.4————B分析：根据向量减法的坐标运算求出，利用向量夹角公式计算即可求解.解答：，，，故选：B7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的充要条件是（）A.，， B.平面内存在一条直线与平面垂直C.， D.，————B分析：直接利用线面垂直和线线垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论.解答：设m,n是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则a⊥β的充要条件是:平面a内存在一条直线与平面β垂直,对于A：当，，时，可能a//β,故A错误;对于C：当，,得到a⊥β，但是当时，当内，只有m⊥交线n时，m⊥β成立，故C错误;对于D：当，时得到a//β,故D错误.故选：B8.2020年9月4日至9日，中国国际服务贸易交易会在北京国家会议中心召开，某企业安排9名职工到4个展区进行产品宣传，要求甲展区安排1人，乙展区安排2A.3680种 B.4800种 C.5040种 D.7200种————C分析：根据分步计数方法，首先从9人选1人去甲展区，再从剩下8人选2人去乙展区，最后6人分两组每组3人到其它两个展区，即可求总安排方法数.详解】由题意，总安排方法有种，故选：C9.已知函数，若函数的对称中心为，且，则满足条件的所有的和为（）A. B. C. D.————A分析：利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简为，根据正弦型函数的对称中心，可求得的表达式，根据的范围，求得各个满足条件的值，即可得答案.解答：由题意得：，令，解得，即，且，所以可取，所以满足条件的所有的和为，故选：A10.已知过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为.则直线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.45°或135° D.30°或150°————C分析：当直线垂直于x轴时，即可设直线：，，结合抛物线方程有，令结合相交弦长公式求、点线距离公式求原点到直线的距离，由即可求，进而得到倾斜角大小.解答：若直线垂直于x轴，则，即，∴可设直线：，代入抛物线，得，若，则，∴，又原点到直线的距离∴，解得，故直线的倾斜角为45°或135°.故选：C点拨：关键点点睛：首先说明直线不可能垂直于x轴，再设直线：，应用弦长公式、点线距离公式以及三角形面积公式，结合已知条件求，即可知倾斜角.11.已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.————A分析：利用外接球的表面积求出外接球半径为，再根据勾股定理求出点到平面的距离，找到异面直线与所成的角，然后在三角形中利用余弦定理进行分析求解，即可得到答案.解答：因为外接球的表面积为，设外接球半径为，则，则，设点到平面的距离为，的中心为，则，由勾股定理得，解得：或（舍去）取的中点，则由中位线性质知，，所以异面直线与所成的角为或其补角，在中，勾股定理知，即，，又，，，故所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A点拨：思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12.设，若函数的值域是，则函数的零点的个数是（）A.0 B.1或2 C.1 D.————D分析：先求出分段函数的函数每一段的值域，根据函数的值域为可求出的范围，的零点的个数等价于函数与函数的图象交点的个数，利用导数判断的单调性，求出的最值，再结合的范围即可求解.解答：当时，，，此时在单调递增，，此时值域为，当时，在单调递减，，此时值域为，因为的值域为，所以，所以，解得：，由可得，令，则，由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，因为，所以，所以与函数的图象有2个交点，即函数有2个零点，故选：D点拨：方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二、填空题：本题共4小题.13.2020年8月3日（农历六月十四）23时59分上演了“————分析：基本事件总数，其中恰好包括农历六月十四日晚上的基本事件个数,由此能求出其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率.解答：某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从每个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，基本事件总数,其中恰好包括农历六月十四日晚上的基本事件个数，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为.故答案为：14.已知在中，角，，的对边分别是，，，且，则______；————分析：先利用正弦定理将已知等式中的角化边，再由余弦定理，即可得解.解答：因为由正弦定理可知，，再由余弦定理知，,，.故答案为：15.已知双曲线（）与直线交于，两点，其中点在点的上方，若，（为坐标原点），则的离心率为______；————分析：求出点A的坐标，由双曲线的对称性可得60°，利用勾股定理即可求得a与b的关系式，从而可求得离心率.解答：设直线l与x轴的交点为M，双曲线C的下焦点为F2,将x=2b代入双曲线C的方程，可得，由双曲线的对称性知,又,所以∠POA=60°,则∠AOM=30°,易知|OM|=2b,|AM|=,则,所以,可得所以故答案为：16.已知是正项等比数列，，且，若表示不超过的最大整数(例如，)设，则数列的前项和为为________.————分析：先利用等比数列的通项公式和前项和公式求得和的值，进而可得的通项公式，写出的各项，可得第11项开始，再利用求出的前项，当时，即可求解.解答：设等比数列的公比为，则，由题意可得：，即，解得：，所以，的前项分别为，，，，，，，，，，，所以从第11项开始，又因为，所以的前10项分别为：，当时，所以数列的前项和为为，故答案为：点拨：关键点点睛：本题解题的关键是求出的通项公式，通过通项公式发现是递减数列，从第11项开始，，只需求出的前项即可.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题.17.设为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.————分析：（1）由等比数列的定义、通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得，根据裂项相消法求和即可．解答：（1）由，可得数列为等比数列，且公比为2，由，可得，解得，则，（2）因为，所以，可得.18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城2009年11月11日举办的网络促销活动，双十一已成为中国电子商务行业的年度盛事，开且逐渐影响到国际电子商务行业，某网络促销平台从去年的双十一当天的消费者中随机抽取500名，调查他们的消费金额（单位：百元）情况，根据调查的结果绘制了频数分布表，其中消费金额在，，消费金额/百元频数406012014020（1）求出，的值，并估计这500名消费者消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从消费金额在，，内的消费者中抽13人，再从这13人中随机抽取3人，记抽取的3人中消费金额超过平均数的人数为，求的分布列和数学期望.————（1），；（2）分布列见解析；期望为.分析：（1）根据已知列出关于的方程组，求得的值，结合平均数公式，即可求解；（2）利用分层抽样分别求出消费金额在，，中抽取的人数，根据题意得到随机变量的所有可能的值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.解答：（1）由调查的结果绘制了频数分布表，及消费金额在，，的频数成等比数列，可得，解得，所以平均数.（2）由题意，消费金额在，，之间的总人数为人，又由人，人，人，即从中抽3人，在中抽6人，在中抽4人，随机变量的所有可能的取值为，则，，所以随机变量的分布列为：0123所以期望.点拨：求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.19.如图，在多面体中，四边形是边长为4的正方形，平面底面，，，，.（Ⅰ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若点为线段上一点，并满足，求直线与平面所成角的正弦值.————（Ⅰ）当点为棱的中点时，平面（Ⅱ）．分析：（Ⅰ）由平面平面，推出平面，再以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，，由平面，知，从而列出关于的方程，解之即可；（Ⅱ）求出平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，得解．解答：（Ⅰ）四边形是正方形，，平面平面，平面平面，平面，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，0，，，4，，，4，，，0，，，4，，，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，1，，设，，，则，，，，，，平面，，即，解得，，此时，2，，恰为的中点，故当点为棱的中点时，平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，0，，，0，，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，设直线与平面所成角为，则，，故直线与平面所成角的正弦值为．点拨：方法点睛：向量法求线面角的方法就是分别求出与直线共线的向量、平面的法向量，然后通过两个向量的夹角公式，得到线面角的正弦值的大小．20.已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的两条切线，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线与交于，两点，若，到直线的距离分别为，.求的最小值.————（1）；（2）；分析：（1）求出圆的圆心和半径，设与圆的切点为，由切线长定理可得四边形为正方形，然后求出，进而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，求得线段的中点坐标，并求出其到直线的距离，再由二次函数的最值和梯形的中位线定理可求得结果.解答：（1）圆：的圆心，半径抛物线：的焦点，设两条切线，与圆的切点为，则，又，则四边形为正方形，，即，解得所以抛物线的方程为：（2）由（1）知，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得设,，线段的中点为，到直线的距离为，由梯形的中位线定理可得，又当时，取得最小值所以的最小值为点拨：关键点点睛：本题考查抛物线的方程与性质，及切线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，切线长定理及梯形中位线性质的应用是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）若在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若，求证：.————（1）；（2）详见解析.分析：（1）求导，令，用导数法得到在上递减，将在上是单调函数，转化为在上恒成立或在上恒成立，即在上恒成立或在上恒成立求解.（2）将问题，转化为证，令，用导数法求得其最小值大于零即可.解答：（1）因为，所以，令，所以，所以在上递减，因为在上是单调函数，所以在上恒成立或在上恒成立，即在上恒成立或在上恒成立，所以或，即或，解得即或，（2）要证，即证，令，则，所以在上递增，当时，，当时，，所以存在，有，即，则在上递减，在上递增，所以，，所以，即.点拨：方法点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式.（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所