角平分线与角的对称性

专题二角平分线与角的对称性一、教学目标：、知识与技能：培养学生认识并能运用角平分线所在直线是角的对称轴这一特点,利用角的对称性解决相关题目.、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量变化的技巧.、情感态度与价值观：指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。二、教学重点、难点：1、教学重点：掌握角的对称性与角平分线的关系.2、教学难点:如何利用这种对称性得到线段和角的等量关系.三、教学方法：引导发现、练习提高四、教学手段：多媒体电脑、黑板五、具体内容：（一）复习引入角平分线的常用使用环境基本图形当角平分线构成的等量关系和“三角形”结合的时候，可以构造轴对称图形•C D当角平分线构成的等量关系和“距离”结合的时候，可以利用角平分线的性质•(广7C

二)例题例1已知：如图1,在厶ABC中,AB=AC,ZA=100°,BD为ZB的平分线,求证:BC=BD+AD图1设计思路:这道题要利用角平分线构造轴对称图形,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.分析：容易想到在BC上截BE,使BE=BD,再来证明AD=EC.由已知可得ZDBC=20°,ZDCE=40°,连结DE,那么ZDEB=(180°-20。)-2=80°,得DE=EC.只需证明DE=AD.观察图形，可以在BC上截BF=BA,便构造出厶BDF与厶BDA全等，得DF=AD,接下来再证明DF=DE即可.证明：在BC上取E、F,使BE=BD,BF=BA,连结DF、DE.•・•在△ABC中,AB=AC,ZA=100° ,・•・ZABC=ZC=(180°-100°片2=40°.•・•BD平分ZABC,・•・ZABD=ZFBD=20°,又BD=BD,BA=BF,・•・△ABD9△FBD.DF=AD,ZBFD=ZBAD=100°.ZDFE=180°-100°=80°.BD=BE,ZDEF=(180°-20°)-2=80°.ZDFE=ZDEF.DE=DF=AD.•・•在△DEC中，ZEDC=80°-40°=40°,

・•・乙EDC=ZC.・•・DE=EC,AD=EC.BC=BE+EC=BD+AD.点拨:这道题需要利用割补法,构造另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应元素相等的性质,证得命题成立.例2如图1,在厶ABC中，AD是ZBAC的平分线，从厶ABC两顶点B、C分别向ZBAC的平分线作垂线BE和CF,垂足分别是E、F,又BC的中点为P.求证:ZPEF=ZPFE.BB设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.分析:在这道题中,CF、BE分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直”和“角平分线”都是构造轴对称图形的基本元素.因此只要分别延长CF、延长BE都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点F、E、P分别是所在线段中点，因此再用中位线即可得到平行关系，最后利用平行关系代换等角即可得证.证明：延长CF交AB于N,延长BE交AC延长线于胚•/AD是ZBAC的平分线，Z3=Z4.在△ANF和△ACF中，•・•AF丄CN，得ZAFN=ZAFC=90°，又AF=AF，・•・△ANF ACF.NF=CF，同理可得BE=ME.•・•点P是BC中点，・•・PF、PE分别为△CNB和厶BCM的中位线.・•・PF〃BN，即PF〃AB,・Z1=Z3.同理，PE〃CM，即PE〃AC.

・•・Z2=Z4.・•・Z1=Z2,即ZPEF=ZPFE.点拨:观察图形中的“垂直”和“角平分线”,这些都是构造轴对称图形的基本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进行等量代换.例3(09海淀二模)△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0VZPBCV180°,且ZPBC平分线上的一点D满足DB=DA,(1)当BP与BA重合时(如图1),ZBPD= °；(2)当BP在ZABC的内部时(如图2),求ZBPD的度数；(3)当BP在ZABC的外部时，请你直接写出ZBPD的度数，并画出相应设计思路:加入旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.解：(1)ZBPD=30°.(2)如图2-1，连结CD解法一：B分析：由于ZBPD并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的厶BPD各个角中，只有ZPBD由于解：(1)ZBPD=30°.(2)如图2-1，连结CD解法一：B点D在ZPBC的平分线上Z1=Z2．△ABC是等边三角形，BA=BC=AC，ZACB=60°BP=BA，BP=BC．BD=BD，

ZBPD=Z3.DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCD◎△ACD.Z3=Z4=-ZACB=30。2-解法二：ZBPD=30°．解法二：ABC是等边三角形，BA=BC=AC．DB=DA，CD垂直平分AB．-Z3二厶4二ZACB=30。2•BP=BA，BP=BC点D在ZPBC的平分线上，PBD与厶CBD关于BD所在直线对称.ZBPD=Z3ZBPD=30°3)ZBPD=30°或-50°图形见图3--、图3-2图3-1图3-2图3-1图3-2点拨:当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况时,需要找到架接等量关系的桥梁，在这道题目中，有三组等量关系：关于等边厶ABC的，关于BP=BA的,关于DA=DB的，而找到AB这座“桥”却是很重要的，它是等量代换的重要元素.另外，在第三问画图时，需要注意全面考虑点P、点D的可能性.有规律的是，

点D一定在线段AB的垂直平分线上.例4(08上海)正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点(不与点D重合)，直线AE交直线BC于点G,ZBAE的平分线交射线BC于点O.(1)如图1,当CE=2时，求线段BG的长；3CE(2)当点O在线段BC上时，设=x，BO=y，求y与x的函数解析式;ED3)当CE=2ED时，求线段BO的长．GG设计思路:到了例4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.分析：在这道题目中，有这样的字眼:E是“射线”CD上的动点，这本身就意味着关于点E的位置是由两种可能性的，需要依题意探究位置可能性.第(1)问可以直接从CE入手,自然得到DE的长,用相似得BG长度.第(2)问中的x就比较不常规，是比值的形式，但线段量的关系一直用比表示，并不便利，因此可以将一条线段长用含x和另一条线段长的式子来表示.接下来，将BO代换到角平分线的另一边，就可以把x、y都放到一组相似三角形中去了.第(3)问显然要结合点E的位置进行讨论.解：(1)在边长为2的正方形ABCD中，CE=3，得DE=3又•・•AD//BC，即AD//CG，・•・△ADE GCE,得CG=得CG=1．■•==—GADDE2•BC=2，G・BG=32)当点O在线段BC上时，过点O作

OF丄AG,垂足为点F•・•AO为ZBAE的角平分线，ZABO二90.•・OF二BO二y.在正方形ABCD中，AD//BC，CGCETOC\o"1-5"\h\z• — —x.ADEDAD—2，.CG—2x．\o"CurrentDocument"CE 2x又•———x,CE+ED—2 ,得CE— ED 1+x•/在Rt△ABG中，AB=2,BG=2+2x,ZB=90°,AG—2\：x2+2x+2.•AF—AB—2 ，・•・FG—AG-AF—2、：x2+2x+2-2易证△FOG BAG,.OFAB>•—.OFAB>•—FGBG即y-BG-FG，得y—x2+2x+2-2,(x>0)(3)当CE—2ED(3)当CE—2ED时,当点O在线段BC上时，如图3-1,即x—22価—2由(2)得OB—y—'—当点O在线段BC延长线上时，如图3-2,CE=4,ED=DC=2,在Rt△ADE中，AE=2：2.设AO交线段DC于点H,•/AO是ZBAE的平分线，即ZBAH—ZHAE,又•・•AB//CD,.•・ZBAH—ZAHE..•・ZHAE—ZAHE..•・EH—AE—2迈.G图3-2.•・CH—4-2^2即3_g即3_g2 BO得BO_2^2+2点拨:找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。三）练习练习1.（09嘉兴中考）如图，等腰△ABC中，底边BC_a练习1.（09嘉兴中考）如图，等腰△ABC中，底边BC_a,ZA_36。，ZABC的平分线交AC于D,ZBCD的平分线交BD于则DE_ (）Ak3aC．D.幺k3练习2.（09陕西）如图，在锐角AABC中，练习2.（09陕西）如图，在锐角AABC中，AB_4J2,ZBAC_45°，ABAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .4练习3.如图,AD是厶ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F,连接AF。求证：ZBAF=ZACF证明：TAD是A4BC的角平分线，:.ZBAD=ZCAD,•EF是AD的垂直平分线，・•・FA=FD.:.ZFAD=ZFDA.又ZACF=ZFDA+ZCAD,ZBAF=ZFAD+ZBAD,・ZACF=ZBAF.练习4.已知，如图，△ABC中，ZABC=3ZC,AE平分ZBAC,BE丄AE于E.求证：AC-AB=2BE.

证明：延长BE交AC于点F.•・•AE平分ZBAC・•・Z1=Z2.又JZAEB=ZAEF=90°,AE=AE.・△ABE^^AFE.AB=AF,Z3=Z4,BE=FE.•・•ZABC=3ZC,又ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5=ZC+Z5+ZC=2ZC+Z5.3ZC=2ZC+Z5.・ZC=Z5.・BF=FC.AC-AB=AF+FC-AB=FC=BF=2BE.AC-AB=2BE.练习5.（09宣武二模）如图，在△ABC中，ZCAB、ZABC的平分线交于点D，CDEIIAC交BC于点E,DFHBC交AC于点F.C求证：四边形DECF为菱形.证明：证法一：连结CD.JDEIAC，DFIBC，四边形DECF为平行四边形.JZCAB、ZABC的平分线交于点D,・点D是△ABC的内心.・•・CD平分ZACB,即ZFCD=ZECD,JDFIBC,:.ZFDC=ZECD,・•・ZFCD=ZFDC・•・FC=FD,平行四边形DECF为菱形.证法二：过D分别作DG丄AB于G,DH丄BC于H,DI丄AC于I.GJAD、BD分别平分ZCAB、ZABC，G:.DI=DG,DG=DH..•.DH=