广东省清远市黄陂中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

广东省清远市黄陂中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，恒成立，?对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，?t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B．

2.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（

）.

.

.

.参考答案：C略3.设集合A=,B=,则AB=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D4.若双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略5.函数的图象大致为

（

）.参考答案：C6.口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，易得口袋中有6个球，其中红球和白球共有4个，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是=；故选D．7.若函数f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的定义，求出a，再计算f（1）即可．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，∴﹣（a﹣1）x3+ax2=﹣（a﹣1）x3﹣ax2，∴a=0，∴f（x）=﹣x3，∴f（1）=﹣1，故选B．8.曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选A．【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．9.函数f(2x+1)的图象可由f(2x-1)的图象经过怎样的变换得到

(

）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位参考答案：C10.已知条件；条件,若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_____．参考答案：60①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种；②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种.∴所有的出场顺序的排法种数为.故答案为.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12.在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____.参考答案：略13.不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为．参考答案：e【考点】函数恒成立问题．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．【解答】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e，故答案为：e．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数求最值，考查运算能力，属于中档题．14.若正数a，b满足，则的最小值为

．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】由条件可得则=，=，代入所求式子，再由基本不等式，即可得到最小值，注意等号成立的条件【解答】解：正数a，b满足，则=1﹣=，或=1﹣=则=，由正数a，b满足，则=1﹣=，则=，=+≥2=2，当且仅当a=b=3时取等号，故的最小值为2，故答案为：215.设口袋中有黑球、白球共9个球。从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为

。参考答案：316.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为

.参考答案：M,

（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．17.，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是________.参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1，a2，a3}（1）对任意i≠j，求满足|ai﹣aj|≥2的概率；（2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先求出M有9个元素，抽取3个元素的种数，在分类求出|ai﹣aj|≥2的种数，根据概率公式计算即可．（2）结合变量对应的事件和等差数列，写出变量的分布列和数学期望．【解答】解：（1）M有9个元素，抽取3个元素，有=84种，对任意的i≠j，i，j∈{123}满足|ai﹣aj|≥2的取法：①最小取1的：=15种，②最小取2的：=10种，③最小取3的：=6种，④最小取4的：=3种，⑤最小取5的：=1种，故共有15+10+6+3+1=35种，故满足|ai﹣aj|≥2的概率为；（2）∵若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），则ξ=1，2，3，4，ξ=1即三个连续的数，有7种，ξ=2即三个连续的奇数或偶数，有5种，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3种，ξ=4只有1种（1，5，9），故成等差数列的一共有7+5+3+1=16．则P（ξ=1）=，则P（ξ=2）=，则P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，分布列为：ξ1234P故E（（ξ）=1×+2×+3×+4×=．19.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，.（I）求cosA的值；（II）求的值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I）求a的值（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：解：（I）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（II）由（I）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．略21.

某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：ξ0123P0.12ab0.12

（1）求p，q的值；

（2）求数学期望Eξ参考答案：解：（1）用A表示“该生语文课程取得优秀成绩”，用B表示“该生数学课程取得优秀成绩”，用C表示“该生英语课程取得优秀成绩”，由题意得P（A）=0.5，P（B）=p，P（C）=q，p＜q，P（）=（1﹣0.5）（1﹣p）（1﹣q）=0.12，P（ABC）=0.5pq=0.12，解得p=0.4，q=0.6．

(4分)（2）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=0.12，P（ξ=1）=P（）+P（）+P（）=0.5×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×（1﹣0.4）×0.6=0.38，P（ξ=2）=P（AB）+P（A）+P（）=0.5×0.4×（1﹣0.6）+0.5×（1﹣0.4）×0.6+（1﹣0.5）×0.4×0.6=0.38，

P（ξ=3）=0.12，

（10分）∴Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．（12分）略22.已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当时，求Sn．参考答案：【考点】数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和．【专题】综合题；转化思想．【分析】（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．【解答】证明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2，即logaan=2n+2，可得an=a2n+2