2023新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题二三角函数解三角形第二讲三角恒等变换与解三角形

第二讲三角恒等变换与解三角形——小题备考微专题1三角函数求值常考常用结论1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tan3．常用公式(1)降幂扩角公式：cos2α＝1+cos2α2，sin2α＝1-cos2α(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2保分题1.[2022·河北张家口一模]已知cosα＝45，0<α<π2，则sin(α＋π4)＝A．210B．C．－210D．－2．[2022·湖北武汉二模]设sin32°＝k，则tan16°＋1tan16°＝A．2kB．C．2kD．k3．[2022·山东烟台一模]若sinα＝cos(α＋π6)，则tan2α的值为________提分题例2(1)[2022·山东淄博三模]已知α∈(－π2，0)，且2cos2α＝sin(α＋π4)，则sin2α＝(A．－34B．C．－1D．1(2)[2022·河北石家庄一模]已知角α∈(0，π2)，tanπ12＝sinα-sin听课笔记：技法领悟1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．巩固训练11.[2022·辽宁抚顺一模]已知sin(π6－α)＝13，则cos(2α－π3)的值是A．－79B．C．－89D．2．[2022·湖南师大附中三模]已知sin(α－π4)＝13(0<α<π)，则sinα＋cosα＝微专题2解三角形常考常用结论1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b23．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝124．三角形中的有关结论(1)sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)；(2)A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB．保分题1.[2022·广东广州一模]在△ABC中，若A＝π3，B＝π4，a＝32，则b＝(A．43B．23C．3D．32．[2022·北京通州一模]在△ABC中，已知cosA＝13，a＝23，b＝3，则c＝(A．1B．3C．2D．33．在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若∠A＝π3，则∠B的大小是(A．π6B．C．π3D．提分题例2(1)[2022·山东临沂二模]我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝12ab2-a2+b2-c222.根据此公式，若acosB＋(b－2c)cosA＝0，且b2＋cA．24B．C．22D．(2)[2022·湖南衡阳二模]设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋3c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sinA－sinC)，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为1，则AB·(DA+DB)等于(A．2B．23C．－23D．－2听课笔记：技法领悟1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．2．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bc(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．巩固训练21.(多选)已知锐角△ABC，下列说法正确的是()A．sinA＋sinB＋sinC<cosA＋cosB＋cosCB．tanA＋tanB＋tanC>0C．sinA＝55，tanB＝3，则D．cosA＋cosB<22．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝3，b＋c＝3，向量m＝(2cos2A＋3，2)，n＝(2cosA，1)，且m∥n.则△ABC的面积是________.第二讲三角恒等变换与解三角形微专题1三角函数求值保分题1．解析：由cosα＝45，0<α<π2，得sinα＝所以sin(α＋π4)＝22sinα＋22cosα＝22答案：B2．解析：tan16°＋1tan16＝sin＝1＝2k故选A.答案：A3．解析：由sinα＝cos(α＋π6)可得sinα＝cosαcosπ6－sinαsinπ6＝32cosα－1则tanα＝33，tan2α＝2tanα1-tan答案：3提分题[例1]解析：(1)∵2cos2α＝sin(α＋π4)＝22(sinα＋cosα∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝12(cosα＋sinα)∴(cosα＋sinα)(cosα－sinα－12)＝0∴cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝12由cosα＋sinα＝0平方可得1＋sin2α＝0，即sin2α＝－1，由cosα－sinα＝12平方可得1－sin2α＝14，即sin2α＝因为α∈(－π2，0)，所以2α∈(－π，0)，sin2α<0综上，sin2α＝－1.(2)∵tanπ12＝sin∴sinπ12cos∴sinπ12(cosα＋cosπ12)＝cosπ12(sinα－sin∴sinπ12cosα＋sinπ12cosπ12＝cosπ12sinα－cos∴sinπ12cosπ12＋cosπ12sinπ12＝cosπ12sinα－∴sinπ6＝sin(α－π12)，∵α∈(0，π2)，∴α－π12∈∴π6＝α－π12，则α＝π12答案：(1)C(2)π[巩固训练1]1．解析：cos(2α－π3)＝cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin2(π6－α)＝1－2×(13答案：B2．解析：由题意得α－π4∈(－π4，3π4)，而sin(α－π4故α－π4∈(0，π2)，cos(α－π4)故sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)＝2cos(α－π4)＝答案：4微专题2解三角形保分题1．解析：在△ABC中，若A＝π3，B＝π4，a＝32，由正弦定理asinAb＝asinBsinA＝32sin所以b＝23.答案：B2．解析：因为在△ABC中，cosA＝13，a＝23，b＝3所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，12＝9＋c2－6×13c，得c2－2c－3＝0解得c＝3，或c＝－1(舍去)．答案：D3．解析：因为sin2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝b2＋c2－bc＝bc即(b－c)2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，∠B＝π3答案：C提分题[例2]解析：(1)由正弦定理边角互化可知acosB＋(b－2c)cosA＝0化简为sinAcosB＋(sinB－2sinC)cosA＝0，sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA即sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosA∵sinC≠0，∴cosA＝22cosA＝b2+c2-a22bc＝22根据面积公式可知S＝12bc2-b(2)∵(b＋3c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sinA－sinC)，∴由正弦定理可得：(b＋3c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得：b2＋c2－a2＝－3bc，∴由余弦定理可得：cosA＝－32，∴由A∈(0，π)，可得：A＝5π又ABC的面积为1，即12bcsin5π6＝1，∴bc＝又AB·(DA+DB)＝(DB-DA)＝DB2－DA2＝CB＝AB-AC＝－AB·AC＝－bccosA＝23.答案：(1)A(2)B[巩固训练2]1．解析：对于A，取A＝B＝C＝π3，则sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC，可知A对于B，由于△ABC是锐角三角形，故tanA>0，tanB>0，tanC>0，故tanA＋tanB＋tanC>0，故B正确；对于C，锐角△ABC中，由sinA＝55知cosA＝2故tanA＝12，则tanA<tanB，即C对于D，△ABC是锐角三角形，故A＋B>π2，所以B>π2－A，故cosA＋cosB