2021-2022学年北京密云区初三第一学期数学期末试卷及答案

2021-2022学年北京密云区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．1.如果4m=5n（n≠0），那么下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．【详解】解：A.由，可得，不符合题意；B.由，可得，符合题意；C.由，可得，不符合题意；D.由，可得，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．2.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A.OP>4 B.0≤OP<4 C.OP>2 D.0≤OP<2【答案】A【解析】【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，∴OP需要满足的条件是OP>4，故选：A．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．3.抛物线的对称轴是（）A.直线＝－1 B.直线＝1 C.直线＝－2 D.直线＝2【答案】B【解析】【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：∵解析式为，∴对称轴直线．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．4.在中，，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：，∴tanA=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．5.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A.5米 B.6.4米 C.8米 D.10米【答案】C【解析】【分析】根据CD//AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，则BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意说明△ECD∽△EBA是解答本题的关键．6.如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为（）A.65° B.50° C.30° D.25°【答案】D【解析】【分析】先求出∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案．【详解】解：∵∠AOC=130°，AB是⊙O的直径，∴∠BOC=180°-∠AOC=50°，∴∠BDC=∠BOC=25°，故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】△ABC∽△EDF，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．【详解】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，

则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=，

∴，

∴△ABC∽△EDF，

∴S△ABC：S△DEF=，

故选：B．【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．8.如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）A.S=4x+6 B.S=4x-6 C.S=x2+3x D.S=x2-3x【答案】C【解析】【分析】先用x表示出矩形的长，然后根据矩形的面积公式即可解答.【详解】解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm由题意得：S=x（x+3）=x2+3x.故选C.【点睛】本题主要考查了列函数解析式，用x表示出矩形的长以及掌握矩形的面积公式成为解答本题的关键.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若cosA，则锐角A的度数为_______．【答案】45°．【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【详解】∵cosA，∴∠A=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．10.点A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是y1_________y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【答案】y1＜y2【解析】【分析】先确定反比例函数的增减性，然后根据增减性解答即可．【详解】解：∵∴函数图象在每二、四象限内，且y随x的增大而增大∵2＜3∴y1＜y2．故答案是y1＜y2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例，当k＜0时，函数图象在每二、四象限内，且y随x的增大而增大．11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．【答案】4

【解析】【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．【详解】∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-5）的抛物线的表达式________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设，根据题意，c=-5，a＞0，符合题意即可．【详解】设，根据题意，c=-5，a＞0，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数解析式与各系数之间的关系，解答时，符合题意即可．13.一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2【答案】3π【解析】【分析】此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解.【详解】根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为.【点睛】本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键.14.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为__________cm（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】过点C作CM⊥DE，利用正弦函数即可求解．【详解】如图，过点C作CM⊥DE，点C到底座DE的距离为CM∵CD=8cm，∠CDE=60°，∴CM=8sin60°=8×=4故答案为：4．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形求解．15.如图，是的切线，是切点．若，则______________．【答案】130°【解析】【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．16.如图，抛物线y=-x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当-2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】画出图象C3，根据图象即可判断．【详解】解：如图所示，①图形C3关于y轴成轴对称，故正确；②由图象可知，图形C3有最小值，且最小值为0；，故正确；③当x>0时，图形C3与x轴交点左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形C3与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；④当-2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．【详解】解：=．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．18.下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．根据小玟设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（）（填推理的依据）．【答案】（1）作图见解析（2）OC，同弧所对的圆周角相等【解析】【分析】（1）按照步骤作图即可（2）由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可．【小问1详解】如图所示【小问2详解】证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）．【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．19.已知二次函数．用配方法将其化为的形式；在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：==，顶点坐标为，对称轴方程为．函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，其图象为：故答案为（1）；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．20.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．【答案】见解析【解析】【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠C∴∠ABD=∠C∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACB．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．21.如图，在△ABC中，∠C=90°，，D为AC上一点，∠BDC=45°，CD=6．求AD的长．【答案】AD=2【解析】【分析】先判定△BDC是等腰直角三角形，求得BC，解直角三角形ABC，求得AB，AC的长，计算即可．【详解】在△BDC中，∠C=90°，∵∠BDC=45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，，∴，∴AB=10，∴AC=8，∴AD=AC-CD=8-6=2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键．22.如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A（4，1），点B（x，y）是该函数图象上的一个动点．（1）求反比例函数的表达式；（2）当y>1时，结合图象直接写出x的取值范围．【答案】（1）（2）0＜x＜4【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）由函数图象即可直接求解．【详解】（1）解：设反比例函数表达式为∵其图象经过点A（4，1）∴k=4∴反比例函数表达式为（2）当y>1时，结合图象可知x的取值为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．23.在平行四边形ABCD中，EAB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．（1）求证：△DCF∽△CEB；（2）若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长．【答案】（1）证明见解析（2）BE=【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故△DCF∽△CEB．（2）过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H，由题意可设EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得BE=．【小问1详解】证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180°∵∠DFE+∠DFC=180°又∵∠DFE=∠A∴∠DFC=∠B∴△DCF∽△CEB【小问2详解】∵△DCF∽△CEB∴∠CDF=∠ECB∴tan∠CDF=tan∠ECB=过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H在Rt△CEH中∴设EH=x，CH=2x∴CE=∵CE=∴x=3，则有EH=3，CH=6∵BC=4∴BH=6-4=2在Rt△EBH中有BE=则BE=【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．24.从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）【答案】此时独象距离象群公里【解析】【分析】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中求出BD，在Rt△ADC中求出DC，根据BC=BD+DC即可．【详解】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中∵AB=12，∠BAD=45°∴sin45°=即∴BD=∴BD=AD=在Rt△ACD中，∠DAC=30°∴tan30°=即，∴DC=，∴BC=BD+DC=,∴此时独象距离象群公里【点睛】本题考查了解直三角形应用，方位角，构造直角三角形是解决本题的关键．25.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC=30°，求CD的长．【答案】（1）见解析（2）CD=2【解析】【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，CE=，进而问题可求解．【小问1详解】证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∴∠DAM=∠DAF∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O切线【小问2详解】解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在Rt△OCE中，OC=2∴OE=1，CE=∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=2．【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．26.在平面直角坐标系xOy中，关于x二次函数y=-2ax+b与y轴相交于点（0，-3）．（1）当抛物线的图象经过点（1，-4）时，求该抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（，）和B（，），其中-=0，+=0．当<0，>0时，总有+>0，求a的取值范围．【答案】（1）y=-2x-3（2）（3）a>0【解析】【分析】（1）把（0，-3）和（1，-4）分别代入解析式，解答即可；（2）根据对称轴为直线x=计算即可；（3）把坐标代入解析式，后进行代换，保留，，后进行作差，因式分解，解不等式求解．【小问1详解】解：y=-2ax+b与y轴相交于点（0，-3），∴y=-2ax-3，∵抛物线的图象经过点（1，-4），∴1-2a-3=-4，∴a=1，∴y=-2x-3．【小问2详解】解：．【小问3详解】∵A（，）和B（，）是二次函数y=-2ax+b图像上的两点，∴，，∵-=0，+=0，∴，，∴①，②，①-②得，∴，∴，∵<0，>0时，+>0，∴-<0∴，∴，∵+>0，∴．【点睛】本题考查了二次函数解析式，对称轴，性质，不等式的性质，熟练掌握待定系数法，对称轴的计算公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质是解题的关键．27.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．（1）依据题意，补全图形；（2）求∠AEF的度数；（3）连接AC交EF于点H，若，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）补全图形见解析（2）∠AEF=45°（3）数量关系为CF=aCE，理由见解析【解析】【分析】（1）根据垂直的定义，画图即可；（2）证明△ABF≌△ADE即可；（3）过点E作EM//CF交AC于点M，证明△MEH∽△CFH，利用等腰直角三角形的性质，等量代换即可．【小问1详解】补全图形【小问2详解】解：在正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠D=90°，AD=AB.∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠DAB，∴∠FAE-∠BAE=∠DAB-∠BAE，即∠FAB=∠DAE，∵∠ABF=∠D=90°，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°．【小问3详解】解：数量关系为CF=aCE．过点E作EM//CF交AC于点M∴∠MEH=∠EFC，∠MEC=∠D=90°，∵∠MHE=∠CHF，∴△MEH∽△CFH，∴∵∠ACD=45°∴△MEC是等腰直角三角形∴ME=EC∴即CF=aCE．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形相似的判定是解题的关键．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．（1）在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是；（2）⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.①当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为度；②当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为度；（3）已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．【答案】（1）点E（2）①90；②30或150（3）N（0，）或（0，-）【解析】【分析】（1）AE、BE、AB满足勾股定理，且AE=AB，可知为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，故E点可使线段AB的可视角为45°．（2）①由半径所对的圆周角为90°即可得出∠AMB为