数学复习指数与对数函数中的典型错误分类辨析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精指数与对数函数中的典型错误分类辨析重庆唐正敏指数函数与对数函数是函数这一章的重点内容,也是学习中的一个难点内容，初学这部分知识如果没有掌握指数函数与对数函数的图象与性质，常会出现各种各样的错误，下面就错误所在进行分类辨析.一﹑求解函数定义域中的错误例1已知函数f（x）＝loga(－x2＋log2ax）的定义域为（0，eq\f(1,2)），则实数a的取值范围是________.错解：函数f（x）＝loga(－x2＋log2ax）的定义域为(0,eq\f（1,2))，即当x∈(0，eq\f(1,2）)时，－x2＋log2ax＞0恒成立,即关于x的不等式log2ax＞x2在（0,eq\f（1,2)）上恒成立，令y1＝log2ax，y2＝x2，如图，y2过点P(eq\f(1,2)，eq\f（1，4)），因y1＞y2在（0,eq\f（1,2））上恒成立,故应有y1、y2在(0，eq\f(1，2)）上的图象的位置关系为y1在y2上方,∴eq\f（1,16)≤2a＜1，即eq\f（1,32）≤a＜eq\f(1,2),∴a的取值范围是[eq\f(1,32），eq\f（1,2）)。辨析：产生错误的原因在于对定义域的定义的理解.当a的范围确定时,f(x)的定义域为（0,eq\f(1，2))，与－x2＋log2ax＞0互为充要条件,并非仅仅是充分条件而已。当a变化时，函数定义域也随之变化，此题定义是确定的，因此a的值也是一个确定的值.正解：由条件知，log2ax＞x2的解集为(0,eq\f(1,2）），令y1＝log2ax，y2＝x2，如图，由图易知y2过点P(eq\f（1，2)，eq\f（1，4)）,因为在（0，eq\f(1,2))上y1＞y2，则在(0，eq\f(1,2)）上y1的图象在y2的图象上方，所以，log2aeq\f（1,2)＝（eq\f(1,2）)2，即a＝eq\f（1,32)。特别提醒：要注意区分“函数定义域为区间A"与“函数在区间A上恒成立"：两个概念十分相似，易误认为是同一个问题，事实上“函数在A上恒有意义”中的A是f（x)的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题;而“函数的定义域为A”中的A是函数的定义域，其解法是已知不等式解集求参数问题。二、求解函数值域中的错误例2若函数y＝lg（x2＋ax＋1）的值域为R，求实数a的取值范围.错解:因函数y＝lg（x2＋ax＋1)的值域为R,故x2＋ax＋1＞0对x∈R恒成立,而f(x）＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，从而△＜0,即a2－4＜0，解得－2＜a＜2,它便是所求的a的取值范围。辨析：以上解答与下列问题混为一谈：若函数y＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围。事实上，当值域为R时，它表示函数值x2＋ax＋1可取遍全体正实数，因而函数x2＋ax＋1的最小值不大于0；而当函数y＝lg（x2＋ax＋1)的定义域为R时，它表示对一切实数x,函数值x2＋ax＋1恒正，因而它们是两类不同的问题.正解一：∵函数y＝lg(x2＋ax＋1）的值域为R，∴x2＋ax＋1当x∈R时,可取遍全体正实数，∴x2＋ax＋1的最小值不大于0,∴△＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2,这就是所求a的取值范围。正解二：同上，x2＋ax＋1的最小值不大于0,∵x2＋ax＋1＝（x＋eq\f(a，2)）2＋1–eq\f(a2,4），∴x2＋ax＋1的最小值为1–eq\f(a2，4)≤0,解得a≥2或a≤－2,这就是所求a的取值范围.特别提醒：破解问题时，应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误。“函数的值域为A”与“f(x）∈A恒成立"与上题有类似的地方。这两例的辨析启示我们，在平时的学习中,应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别.例3已知函数f(x）＝log2x＋3（x∈[1，8])，则函数y＝［f（x）]2＋f（x2)的最大值是_____________。错解：∵x∈［1,8］，故log2x∈［0，3]，y＝[f(x）]2＋f（x2)＝（log2x＋3)2＋（log2x2＋3)＝logeq\o（2,2)x＋8log2x2＋12＝(log2x＋4)2－4，而log2x＋4∈[4，7]，则(log2x＋4)2－4∈［12,45］，∴y＝[f（x)］2＋f（x2）的最大值为45.辨析：函数f(x）的定义域为[1，8]，则f(x2)的定义域应为［1,2eq\r(2）］，上面的解法忽视了定义域的变化,从而扩大了值域。正解：函数y＝［f（x)]2＋f(x2)的定义域是由eq\b\lc\｛(\s(，)）eq\s(1≤x≤8，1≤x2≤8）1≤x≤2eq\r(2)确定，∴y＝[f（x）］2＋f（x2）＝(log2x＋4）2－4,而log2x∈［0,eq\f（3，2）]，则（log2x＋4）2－4∈[12,eq\f（105，4）］，∴y＝［f（x)］2＋f（x2）的最大值为eq\f(105，4）。特别提醒:复合函数导致定义域变化最容易被忽略,在解相关题目时，要重点先分析定义域，做到解题时无“后顾之忧”.三﹑求函数的解析式中的错误例4已知函数f(x2－3)＝lgeq\f（x2，x2—4)，求f（x）的解析式。错解1：由eq\f（x2,x2—4)＞0，得x＞2或x＜－2,∴函数f(x)的定义域为{x｜x＞2或x＜－2}。错解2：令x2－3＝t,是x2＝t＋3,代入函数式可得：f（t）＝lgeq\f（t+3，t—1),由eq\f(t+3，t—1)＞0,得t＜－3或t＞1，∴函数f（x）的定义域为{x|t＜－3或t＞1}。辨析:错解1把函数f(x2－3)与f（x）混淆为同一函数。若令F(x）＝f（x2－3)＝lgeq\f（x2,x2—4),令x2－3＝t,得f（t）＝eq\f（t+3,t-1），就会发现F（x）与f（x)是两个不同的函数,它们具有不同的定义域和对应法则，因此求的是F（x）的定义域，而不f（x)的定义域。错解2在用换元法时没有考虑自变量t受到x2－3的取值范围的限制.正解:正确的解法为：先求f（x)的表达式,令x2－3＝t，因eq\f（x2，x2—4）＞0，故x＞2或x＜－2,则x2＝t＋3,此时由抛物线性质知t＞－3，∴f(t)＝eq\f(t+3,t-1),由eq\f（t+3,t-1）＞0,得t＜－3或t＞1,此时f（x）的定义域就是t的取值范围，故f(x)的定义域为｛x|x＞1}。特别提醒:本题所求复合函数外层函数定义域，根据复合规律知实质上是求内层函数的值域.因此，解答复合函数问题时，分清内、外层函数是关键.四﹑判断函数单调性中的错误例6试求函数f(x)＝log4(7＋6x－x2）的单调递增区间。错解：设y＝log4u，u＝g(x）＝7＋6x－x2＝－（x－3)2＋16，则对二次函数u＝g(x），当x≤3时为增函数;当x≥3时为减函数，又y＝log4u是增函数,故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为（－∞,3]。辨析:上述解答中就是忽视了原函数的定义域{x｜－1≤x≤7}，因为函数的单调区间是函数定义域的子区间。正解：设y＝log4u，u＝g（x)＝7＋6x－x2＝－(x－3）2＋16，则对二次函数u＝g(x）,当x≤3时为增函数;当x≥3时为减函数,又y＝log4u是增函数，且由7＋6x－x2＞0得函数的定义域为(－1,7)，于是函数f(x）的增区间是（－1,3］.特别提醒：由于函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域，五、求解反函数问题中的问题例5已知函数f(x）的定义域为（－∞，0）内存在反函数，且f（x－1）＝x2－2x，求f－1（－eq\f（1,4））的值.错解：因为f（x－1)＝x2－2x＝(x－1）2－1,所以f（x)＝x2－1.由x2－1＝－eq\f(1,4），得x＝±eq\f（eq\r（3)，2），故f－1（－eq\f（1,4))＝±eq\f(eq\r(3)，2)。辨析：上述解法忽视了“f－1（－eq\f(1，4)）就是原函数定义域中一个值”这一隐含条件.正解：因为f（x－1）＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以f（x)＝x2－1.由x2－1＝－eq\f(1，4），得x＝±eq\f（eq\r(3），2），又∵x＜0，故f－1（－eq\f(1,4）)＝－eq\f（eq\r(3),2）。特别提醒：在求解反函数问题时要注意原函数与反函数的定义域与值域的互换性。六﹑作函数图象法中的错误例7作函数y＝2eq\s(log4x—2,）的图象.错解：由y＝2eq\s（log4x—2，)＝2eq\s(log2x—1，）＝eq\f（1,x),故函数y＝2eq\s(log4x—2，)的图象如图所示。辨析：本题函数的解析式转化为另一种解析式时定义域或值域发生了变化，作出的图象当然不是原函数要求的图象了.原函数y＝2eq\s（log4x-2，)的定义域是x≠0的全体实数，值域是y＞0。化简后的函数y＝eq\f（1,x)的定义域是x≠0，值域是y≠0，扩大了值域，因而原函数的图象显然是错误的。正解：原函数y＝2eq\s(log4x—2,）＝2eq\s（log2|x—1｜,)＝｜eq\f（1，x)｜，从而依据对称变换可得原函数的图象如右图所示.特别提醒：在对函数式进行变形时，必须注意定义域的变化以及一些恒等式成立的前提条件。七﹑利用指数与对数函数的图象判断方程根中的错误例8求方程x2＝2x的解的个数。错解：令y＝x2,y＝2x，在同一直角坐标系内作出它们的图象，如图所