湖南常德高二上学期期末考试数学试卷含答案

数学时量：120分钟满分：150分命题单位：常德市选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若a>－3，则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．42.已知命题p：，则为()A． B．C． D．3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A．8 B．13C．15D．314.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是()A．B．C．D．5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：x/吨3456y/吨2.5t44.5A．3B．3.15C．3.25D．3.56.已知a，b是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知向量a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若a∥b，则λ+的值可以是()A． B．C．-3 D．2（第8题图）8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x+y的值为()A．10B．9C．8D．79.已知点A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度大于圆M的半径”的概率约为()A．B．C．D．10.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8eq\r(3)，则C的方程为()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝111.如图所示，在三棱锥P-ABC中，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，PA⊥平面ABC，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A．-B．-C．D．（第11题图）12.已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交虚轴于点C，若，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为.（第13题图）（第15题图）14.在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=.

15.如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长为.

16.已知椭圆的右焦点为F2，点M在⊙O：x2＋y2＝3上，M作⊙O的切线交椭圆与P，Q两点，则△PF2Q的周长为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)（1）已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；（2）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0”若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)某高校在2019年的自主招生笔试成绩(满分200分)中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：组号分组频数频率第一组[90,110)15a第二组[110,130)250.25第三组[130,150)300.3第四组[150,170)bc第五组[170,190]100.1（1）求频率分布表中a,b,c的值；（2）估计笔试成绩的平均数及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（精确到0.1）（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.19.(本小题满分12分)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2.(1)求证：平面SAB⊥平面SAC；(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为eq\f(\r(2),2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为eq\f(\r(10),3)时，求k的值.21.(本小题满分12分)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2，如图2.(1)求证：FA∥平面BC'D；(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；(3)在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由.22.(本小题满分12分)已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(3)如果=-4，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.

数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）题号123456789101112答案BBDBABACDCDB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.9；14.2；15.；16.4.三、解答题：共20分，每小题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}.∵p是q的充分不必要条件，∴MN，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋1<4，))解得0<a<3.若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.18解：（1）依题意：a=0.15，b=20，c=0.2（2）笔试成绩的平均数为：1000.2+180因为第1组与第2组的频率之和为：0.4所以中位数为：130+（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，第5组抽取2人，记为：则基本事件为：，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15种，其中满足题意的有7种。所以所求概率为：19.(1)证明在△BCA中，∵AB=2，CA=4，BC=2∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB∴AC⊥平面SAB.又AC⊂平面SAC，所以平面SAB⊥平面SAC.(2)解如图建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，S(1,0,)，C(0,4,0),=(1,-4,)，=(-2,4,0)，=(1,0,)设平面SBC的法向量n=(x,y,z),由则n=.所以直线SA与平面SBC所成角的正弦值为20：解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2.))解得b＝eq\r(2)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2)，所以|MN|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\f(2\r(（1＋k2）（4＋6k2）),1＋2k2)又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面积为S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，解得k＝±1.21.(1)证明∵BC'=C'D，E为BD的中点∴C'E⊥BD.又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，∴C'E⊥ABD.∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C'E，而C'E⊂平面BC'D，FA⊄平面BC'D，∴FA∥平面BC'D.解以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),∴=(-1,-,2),'=(-1,0,),设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1).又平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),∴cos<m,n>=.则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为.(3)解假设在线段AD上存在M(a,b,c),使得C'M⊥平面FBC',设=λ,则(a,b+,c)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0),∴a=-λ,b=(λ-1),c=0.而=(-λ,(λ-1),-).由m∥,可知λ不存在,∴线段AD上不存点M,使得C'M⊥平面FBC'.22解(1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,∴=1,p=2.∴抛物线的标准方程为y2=4x.(2)若直线l斜率存在,则设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=-4.∴=x1x2+y1y2=(m2+1)·y1y2+m(y1+y2)+1=-3.若直线