第二章21等式性质与不等式性质

第1课时不等关系与不等式第二章21等式性质与不等式性质你能用不等式（组）表示这种不等关系吗？生活中的不等关系:你能读懂高速公路上限速牌子的含义吗？设该路段小汽车的速度为vm/h60≤v≤100设该路段大巴车、货车的速度为vm/h60≤v≤80数学中的不等关系：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边问题探究某种杂志原本以每本25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高01元，销售量就可能相应减少2元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b依据如果a>b⇔

.如果a＝b⇔

.如果a<b⇔

.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小a－b>0a－b＝0a－b<0由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立ab知识点二重要不等式请梳理一下等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式的基本性质的方法吗？①如果a=b,那么b=a；②如果a=b,b=c,那么a=c；③如果a=b,那么a±c=b±c；④如果a=b,那么ac=bc；⑤如果a=b,且c≠0，那么类比等式基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？1a>b⇔b<a对称性；2a>b，b>c⇒a>c传递性；3a>b⇔a＋c>b＋c加法法则；4a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；乘法法则5a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；同向可加性6a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；同向可乘性7a>b>0，n∈N，n≥1⇒an>bn乘方法则知识点三不等式性质b

a

a+cb+cA1B1AB2题型探究PARTTWO一、作差法比较大小例1已知a，3＋b3与a2b＋ab2的大小解∵a3＋b3－a2b＋ab2＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2a－b＋b2b－a＝a－ba2－b2＝a－b2a＋b当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，a－b2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2延伸探究>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解a5＋b5－a3b2＋a2b3＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3a2－b2＋b3b2－a2＝a2－b2a3－b3＝a－b2a＋ba2＋ab＋b2∵a>0，b>0，∴a－b2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？解若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr反思感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式例2已知a>b>0，c<0，求证：三、利用不等式的性质求范围解∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45延伸探究已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围解令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，