等比数列及其前n项和

§63等比数列及其前n项和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习一般地，如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示q≠01等比数列的定义知识梳理2等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝ 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数公比qa1·qn－1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 3等比中项4等比数列的常用性质1通项公式的推广：an＝am· n，m∈N*2若{an}为等比数列，且＋l＝m＋n，l，m，n∈N*，则等比中项qn－ma·al＝am·an公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为项和公式项和的性质qn等比数列{an}的单调性知识拓展判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1满足an＋1＝qann∈N*，q为常数的数列{an}为等比数列 2G为a，b的等比中项⇔G2＝ab 3如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列

4如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列 思考辨析××××

1教材改编已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于考点自测答案解析

22015·课标全国Ⅱ已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于A21B42C63D84答案解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.

3设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于A31B32C63D64答案解析根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.4教材改编在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________答案解析27,81设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.答案解析－11设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，题型分类深度剖析题型一等比数列基本量的运算例112015·课标全国Ⅱ已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4a4－1，则a2等于

答案解析由{an}为等比数列，得a3a5＝

，又a3a5＝4(a4－1)，所以

＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝

q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝

.故选C.答案解析2n－1思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组可迎刃而解

跟踪训练11设{an}是由正数组成的等比数列，4＝1，S3＝7，则S5等于答案解析22015·湖南设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝______答案解析3n－1由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*．1求a2，a3的值；解答∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝a1＋a2＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2a1＋a2＋a3＋6，∴a3＝8综上，a2＝4，a3＝82求证：数列{Sn＋2}是等比数列．证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*， ①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋n－1an－1＝n－2Sn－1＋2n－1． ②①－②，得nan＝n－1Sn－n－2Sn－1＋2＝nSn－Sn－1－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2Sn－1＋2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．思维升华1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证证明跟踪训练2已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋11证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；证明题型三等比数列性质的应用例31若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝_____答案解析50因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案解析方法一

∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：1通项公式的变形；2等比中项的变形；3前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口

跟踪训练31已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lgan}的前4项和等于A4 B3C2 D1答案解析前4项和S4＝lga1＋lga2＋lga3＋lga4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，∴S4＝lg100＝2.

2设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于答案解析因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比数列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝

，即a7＋a8＋a9＝

.分类讨论思想在等比数列中的应用思想与方法系列131利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；2求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答思想方法指导(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，课时作业12345678910111213,3＋3,6＋6，…的第四项等于A－24B0C12D24答案解析√由,3＋3,6＋6成等比数列，得3＋32＝6＋6解得1＝－3或2＝－1不合题意，舍去故数列的第四项为－2422016·珠海模拟在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于√答案解析123456789101112133在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于A12 B13C14 D15√答案解析因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.123456789101112131234567891011121342016·昆明模拟在等比数列{an}中，若a3，a7是方程2＋4＋2＝0的两根，则a5的值是√答案解析根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，123456789101112135中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A192里B96里C48里D24里√答案解析1234567891011121362016·铜仁质检在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sinlog3a1＋log3a2＋…＋log3a7的值为√答案解析1234567891011121312345678910111213为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝______答案解析4由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，123456789101112138设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________答案解析150依题意，知数列{an}的公比q≠－1，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.123456789101112139已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1n∈N*，则通项an＝________答案解析∵an＋Sn＝1，

①12345678910111213答案解析1024∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.1234567891011121311．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比数列．1求数列{an}和{bn}的通项公式