简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2理解全称量词与存在量词的意义；3能正确地对含有一个量词的命题进行否定知识梳理且1简单的逻辑联结词1命题中的____、____、____叫做逻辑联结词2命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断或非pqp∧qp∨q綈p真真____真____真假________假假真假________假假____假____真假假真真真假真2全称量词与存在量词1全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“____”表示2存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“____”表示∀∃3全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记______________________________________________否定∃x0∈M，綈p(x0)____________，綈p(x)∀∈M，p∃0∈M，p0∀∈M1含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反2含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”3“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”，“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”4逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题诊断自测1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”1命题“5>6或5>2”是假命题2命题綈，，綈p的真假性相反解析1∨q中，p，q有一真则真2错误p∧q是真命题，则p，q都是真命题3错误命题“长方形的对角线相等”是全称命题答案1×2×3×4√2老教材选修2－1P18A13改编已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为A1 B2 C3 D4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题答案B333改编命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等A∀∈R，2＋4＋6≥0 B∃∈R，2＋4＋6>0C∀∈R，2＋4＋6>0 D∃∈R，2＋4＋6≥0解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的答案A52020·唐山模拟已知命题p：f＝3－a的图象关于原点对称；命题q：g＝cos的图象关于y轴对称则下列命题为真命题的是 BqCp∧q Dp∧綈q解析根据题意，对于f＝3－a，有f－＝－3－a－＝－3－a＝－f，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g＝cos，有g－＝－cos－＝－cos，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧綈q为真命题答案D∴实数m的最大值为1答案1Ap∨q Bp∧qC綈p∧綈q Dp∧綈q考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】1设a，b，:若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c则下列命题中真命题是22020·广州调研已知命题，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n下列命题为真命题的是Ap∧q Bp∧綈qC綈p∧q D綈p∧綈q解析1取a＝c＝1，0，b＝0，1，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝b∈R，由b∥c知b＝ycy∈R，∴a＝yc，∴a∥c，∴q是真命题综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题綈p为真命题，綈q为假命题∴綈p∧綈q，p∧綈q都是假命题2对于命题∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，∧綈q为真命题答案1A2B规律方法1“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：1明确其构成形式；2判断其中命题p，q的真假；3确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假2p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”【训练1】1若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则都是真命题都是假命题是真命题，命题q是假命题是假命题，命题q是真命题22020·衡水中学检测命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sinα＋β＝0下列命题为真命题的是Ap Cp∧q Dp∨q解析1因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题2当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sinα＋β＝0，命题q是真命题，所以p∨q是真命题答案1D2D考点二全称量词与存在量词 多维探究角度1含有量词命题的否定【例2－1】2020·河南八所重点高中联考已知集合A是奇函数集，：∀f∈A，|f|∈B，则綈p为A∀f∈A，|f|∉B B∀f∉A，|f|∉BC∃f∈A，|f|∉B D∃f∉A，|f|∉B解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论∴綈p：∃f∈A，|f|∉B答案C角度2全称特称命题的真假判断【例2－2】1已知定义域为R的函数f不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是A∀∈R，f－≠fB∀∈R，f－≠－fC∃0∈R，f－0≠f0D∃0∈R，f－0≠－f0Ap∧q B綈p∧qCp∧綈q D綈p∧綈q解析1∵定义域为R的函数f不是偶函数，∴∀∈R，f－＝f为假命题，∴∃0∈R，f－0≠f0为真命题答案1C2A规律方法1全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论2判定全称命题“∀∈M，中的每一个元素，证明p成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个＝0，使p0成立即可【训练2】1角度1命题“∃0∈R，1<f0≤2”的否定形式是A∀∈R，1<f≤2B∃0∈R，1<f0≤2C∃0∈R，f0≤1或f0>2D∀∈R，f≤1或f>22角度22020·株洲模拟已知命题p：∀>0，e>＋1，命题q：∃∈0，＋∞，ln≥，则下列命题正确的是Ap∧q B綈p∧qCp∧綈q D綈p∧綈q解析1特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀∈R，f≤1或f>2”2令f＝e－－1，则f′＝e－1，当>0时，f′>0，所以f在0，＋∞上单调递增，∴f>f0＝0，即e>＋1，命题p真；当∈0，1时，g′>0；当∈1，＋∞时，g′<0，即当＝1时，g取得极大值，也是最大值，所以gma＝g1＝－1<0，∴g<0在0，＋∞上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p∧綈q为真答案1D2C考点三由命题的真假求参数 典例迁移【迁移】本例2中，若将“∃2∈”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_________________________________________________规律方法1由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：1求出每个命题是真命题时参数的取值范围；2根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围2全称命题可转化为恒成立问题3含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决【训练3】已知命题p：∀∈R，2<3，命题q：∃∈R，2＝2－，若命题綈p∧q为真命题，则的值为A1 B－1 C2 D－2解析因为綈p：∃∈R，2≥3，要使綈p∧q为真，所以綈p与q同时为真由2＝2－，得＝1或＝－2②由①②知＝－2答案D逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系或两个函数最值之间的关系，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质类型1形如“对任意1∈A，都存在2∈B，使得g2＝f1成立”的问题令h＝f′＋2a＝32＋2－aa＋2，思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f的值域是g的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围类型2形如“存在1∈A及2∈B，使得f1＝g2成立”的问题思维升华本类问题的实质是“两函数f与g的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略