第2节函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值考试要求借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义1函数的单调性知识梳理1单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f1<f2f1>f2图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________上升的下降的2单调区间的定义如果函数y＝f在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f在这一区间具有严格的单调性，________叫做函数y＝f的单调区间增函数减函数区间D2函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有_________；(4)存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f≤Mf≥Mf0＝M诊断自测1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”解析2此单调区间不能用并集符号连接，取1＝－1，2＝1，则f－1＜f1，故应说成单调递减区间为－∞，0和0，＋∞3应对任意的1＜2，f1＜f2成立才可以4若f＝，f在[1，＋∞上为增函数，但y＝f的单调递增区间是R答案1√2×3×4×2老教材必修1P39B3改编下列函数中，在区间0，＋∞上单调递增的是答案A答案242017·全国Ⅱ卷函数f＝ln2－2－8的单调递增区间是 A－∞，－2 B－∞，1 C1，＋∞ D4，＋∞ 解析由2－2－8>0，得>4或<－2 设t＝2－2－8，则y＝lnt为增函数 要求函数f的单调递增区间，即求函数t＝2－2－8的单调递增区间 ∵函数t＝2－2－8的单调递增区间为4，＋∞， ∴函数f的单调递增区间为4，＋∞ 答案D52020·长沙模拟函数y＝f是定义在上的减函数，且fa＋1<f2a，则实数a的取值范围是________答案[－1，1答案2考点一确定函数的单调性区间答案A解法一设－1<1<2<1，当a>0时，f′<0，函数f在－1，1上单调递减；当a<0时，f′>0，函数f在－1，1上单调递增由于－1<1<2<1，所以2－1>0，1－1<0，2－1<0，故当a>0时，f1－f2>0，即f1>f2，函数f在－1，1上单调递减；当a<0时，f1－f2<0，即f1<f2，函数f在－1，1上单调递增规律方法11求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例112单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接21函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法2函数y＝f的单调性应根据外层函数y＝ft和内层函数t＝g的单调性判断，遵循“同增异减”的原则函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g的递减区间是[0，1答案[0，1由1≤1<2≤2，得2－1>0，2<1＋2<4证明f在上单调递增，证明如下：从而f2－f1>0，即f2>f1，故当a∈1，3时，f在上单调递增又因为1<a<3，所以2<a1＋2<12，考点二求函数的最值【例2】1已知函数f＝a＋logaa>0，且a≠1在上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为2法一在同一坐标系中，作函数f，g的图象，依题意，h的图象如图所示的实线部分易知点A2，1为图象的最高点，因此h的最大值为h2＝1解析1f＝a＋loga在上是单调函数，所以f1＋f2＝loga2＋6，则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即a－2a＋3＝0，又a>0，所以a＝2当0<≤2时，h＝log2是增函数，当>2时，h＝3－是减函数，因此h在＝2时取得最大值h2＝1答案1C21规律方法求函数最值的四种常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值【训练2】1多选题2020·山东新高考模拟已知函数f＝ln－2＋ln6－，则 Af在2，6上单调递增 Bf在2，6上的最大值为2ln2 Cf在2，6上无最小值 Df的图象关于直线＝4对称2当≤1时，f＝2的最小值为0，解析1f＝ln－2＋ln6－＝ln，定义域为2，6令t＝－26－，则y＝ln＝－26－的图象的对称轴为直线＝4，且在2，4上单调递增，在4，6上单调递减，所以当＝4时，t有最大值，所以fma＝f4＝2ln2，f在2，6角度1利用单调性比较大小考点三函数单调性的应用多维探究答案D角度2求解函数不等式解得<－1或－1≤<0，即<0答案D解析当≤0时，函数f＝2－是减函数，则f≥f0＝1角度3求参数的值或取值范围【例3－3】12018·全国Ⅱ卷若f＝cos－sin在上是减函数，则a的最大值是所以y＝f在－∞，＋∞上是增函数规律方法1比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”3利用单调性求参数的取值范围的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程组不等式组或先得到其图象的升降，再结合图象求解