第1章集合与逻辑单元复习热考题型

第1章集合与逻辑本章知识综合运用知识网络知识网络集合的定义集合的定义题型一题型一【例题1】已知集合S=(x,y)|1≤x≤10,1≤y≤10,x∈N,y∈N．若A⊆S，且对任意(a,b)∈A，(s,t)∈A，均有(a−s)(b−t)≤0，则集合A．5 B．9 C．15 D．19【答案】D【详解】由题知：集合S=(x,y)|1≤x≤10,1≤y≤10,x∈N,y∈N，若A⊆S，且对任意(a,b)∈A考虑(a,b)，(s,t)是平面内的满足题目条件的任意两点，“(a−s)(b−t)≤0”等价于“a−s=0或(b−t)(a−s)即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线t=1,s=1两条直线上的整数点，共19个，（当然也可考虑直线t=10,s=10两条直线上的整数点，共19个）故选：D【变式11】下列集合中表示同一集合的是（

）A．M＝{(3,2)}，N＝{3,2} B．M＝{(x,y)|x+y=1}，N＝{y|x+y=1}C．M＝{(4,5)}，N＝{(5,4)} D．M＝{2,1}，N＝{1,2}【答案】D【详解】A、M＝{(3,2)}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3,2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝{(x,y)|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y=1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；C、M＝{(4,5)}集合M的元素是点(4,5)，N＝{(5,4)}，集合N的元素是点(5,4)，故C错误；D、M＝{2,1}，N＝{1,2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；故选：D．【变式12】下面六个关系式：①∅⊆{a}；②a⊆{a}；③{a}⊆{a}；④{a}∈{a,b}；⑤a∈{a,b,c}；⑥∅∈{a,b}，其中正确的是．【答案】①③⑤【分析】由元素和集合的关系，集合间的基本关系，判断关系式是否正确.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，a∈a由集合与集合的关系可知，a⊆故答案为：①③⑤【变式13】若集合A=xk+1x2+x−k=0【答案】−1或−【分析】对k进行分类讨论，结合判别式求得k的值.【详解】当k+1=0,k=−1时，A=−1当k+1≠0,k≠−1时，令Δ=1+4解得k=−1综上所述，k的值为−1或−1故答案为：−1或−【变式14】已知非空集合S⊆N，若对任意x,y∈S（x,y可以相同），x+y与x−y中至少有一个属于集合S，则称S(1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可）(2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由．【答案】(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}(2)S={0,b,c,b+c},其中b,c为相异正整数，理由见解析【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为：{0},{0,1},{0,2},{0,1,2}（2）解：设S={a,b,c,d},其中a<b<c<d,由题意:d+d∉S,故d−d=0∈S，所以，a=0,d−c=c或d−c=b,下面讨论d−c=c和d−c=b时的情况，当d−c=c，即d=2c时，由于c<c+b<2c，故有c−b=b，即c=2b，所以S={0,b,2b,4b}，但此时b+4b∉S,b−4b当d−c=b，即d=c+b时，此时S={0,b,c,b+c}，满足“好集合”的定义.所以，S={0,b,c,b+c},其中b,c为相异正整数.【变式15】设集合M=(1)判断元素7是否属于M，并说明理由；(2)已知实数x0=4k(3)对任意x1,x2∈【答案】(1)7∈M(2)证明见解析；(3)x1【详解】（1）若7∈M，则(a+所以a+b=7a−b=1解得a=4b=3或a=4b所以7∈M（2）若x0∈M，则(不妨令a+b=2a−b=2解得a=2k+12b=3−2k2或所以x0（3）x1由x1,x2∈所以x1x2显然mc+nd、md+本题中(x,y)是点集，注意点集与数集的区别,另外集合的三要素集合的表示方法集合的表示方法题型题型二【例题2】选择适当的方法表示下列集合.（1）Wele中的所有字母组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；（3）二元二次方程组{y=x（4）所有正三角形组成的集合.【答案】答案见解析.【详解】解：（1）列举法：{W,e,l,c,o,m}；（2）描述法：{x|x=2k,k∈N（3）列举法：{(0,0),(1,1)}；（4）描述法：{x|x是正三角形}.【变式21】用描述法表示下列集合：（1）{0，2，4，6，8}；（2）{3，9，27，81，…}；（3）12（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.【答案】（1）{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）{x|x＝3n，n∈N*}；（3）x|x=2n−12n,n∈N∗；（4）{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）{(x，y)|−1≤x≤32，−【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，则用描述法表示为{x|x＝3n，n∈N*}；（3）该集合的分子为奇数，可表示为2n−1，分母为偶数，可以表示为2n，且n为自然数，所以集合用描述法表示为x|x=2n−1（4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x，y)|−1≤x≤32，−12≤y≤1且【变式22】直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为．【答案】x,y【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是x,yx<0,y>0,y∈故答案为：x,y【变式23】用描述法表示被5除余2的正整数组成的集合为．【答案】{x|x=5k+2,k∈【详解】∵被5除余2的正整数可用5k+2，k∈N∴被5除余2的正整数组成的集合表示为：{x|x=5k+2,k∈N故答案为：{x|x=5k+2,k∈N【变式24】用列举法表示xx=6【答案】6,3,2,1【详解】解：xx=故答案为：6,3,2,1【变式25】下面三个集合：A=x|y=【答案】答案见解析【详解】A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A=RB是数集，是由函数的值域构成，且B=y|y≥1C为点集，是由抛物线y=x集合间的关系集合间的关系题型题型三【例题3】满足a⊆M⊊a,b,c,d的集合M共有【答案】7【详解】由题意可得，a⊆M⊊a,b,c,d,所以集合M包含a，且集合M是所以M=a或M=a,b或M=a,c或M=a,d或M=a,b,c即集合M共有7个.故答案为：7【变式31】集合M=xx=kπ2A．M=N； B．M⊂N；C．M⊃N； D．M∩N=∅．【答案】B【详解】M=x2k+1π2k+1,k∈Z表示奇数，k+2,k∈Z表示整数，所以M⊂故选：B【变式32】已知A=a,0,−1，B=c+b,1a+b,1，且【答案】1【详解】因为A=a,0,−1，B=c+b,1a+b,1，且A=B因此，a+b+c=1.故答案为：1.【变式33】已知集合A=xx2+x−2=0,B=xax+1=0【答案】−1,0,【详解】集合A=xx2当B=∅，即a=0时，显然满足条件B⊆A；当B≠∅时，即a≠0，则B=−因为B⊆A，所以B={−2}或B={1}，即−1a=−2或−1a综上，实数a的取值组成的集合是−1,0,1故答案为：−1,0,1【变式34】已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．(1)当2∈B，B⊆A时，求a、x的值；(2)当B＝C时，求a、x的值．【答案】(1)x=2a=−2(2)x=−1a=−6或【详解】（1）∵2∈B，B⊆A，∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3，∴当x＝2时，a=−23；当x＝3时，（2）∵B＝C，即{3，x2+ax+a}＝{x2+（a+1）x﹣3，1}，∴x2+ax+a=1x2+(a+1)x−3=3将x＝5+a代入x2+ax+a＝1，可得a2+8a+12＝0，解得a＝﹣2或a＝﹣6．当a＝﹣2时，x＝3；当a＝﹣6时，x＝﹣1，∴x=−1a=−6或x=3【变式35】集合A={x|(a−1)x(1)若A是∅，求实数a的取值范围(2)是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集，若存在，求出实数a及对应的子集，若不存在，说明理由．【答案】(1)4(2)当a=1时，对应的两个子集为∅和32；当a=43时，对应的两个子集为∅【详解】（1）若A=∅，方程(a−1)x2−2x+3=0没有实数根，当a=1时，方程有实数根不合题意；则a≠1，二次方程没有实数根，Δ所以实数a的取值范围为4（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，当a=1时，方程化为−2x+3=0，解得x=32，此时A=32，对应的两个子集为当a≠1，二次方程(a−1)x2−2x+3=0只有一个实根，Δ=4−12a−1=0，解得a=4集合的运算集合的运算题型题型四【例题4】已知集合A={x|1<x<3}(1)求A∪B，(2)若A⊆C，求实数a的取值范围.【答案】(1)A∪B={x|1<x<4}(2){a|a≥3}【详解】（1）已知集合A={x|1<x<3}∴A∪B={x|1<x<3}∪{x|2<x<4}={x|1<x<4}，A∩B={x|1<x<3}∩{x|2<x<4}={x|2<x<3}（2）因为A={x|1<x<3}若A⊆C，则a≥3，则实数a的取值范围是{a|a≥3}.【变式41】设集合A=xx2(1)若A∩B=2，求实数a(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.【答案】(1)a=−3(2)a∈(−【详解】（1）由集合A=xx2由A∩B=2可得2∈B故4+4(a+1)+a2−5=0，解得a=−1当a=−1时，B=−2,2，此时A∩B=当a=−3时，B=2故a=−3；（2）由A∪B=A得B⊆A，当Δ=4(a+1)2−4(a当Δ=0时，即a=−3时，B=当Δ>0时，即a>−3时，2(a+1)=0a2综上可得，a≤−3或a=−1；即实数a的取值范围为a∈(−∞【变式42】已知A=x|x2+mx−3=0,x∈R,B=【答案】m=2,n=0.【详解】因为x2+mx−3=0中Δ=m2故A=x|x2+mx−3=0,x∈R=由上知：0∈B，所以n=0，代入得B={0,1}，显然满足A∪B={−3,0,1}.所以m=2,n=0.【变式43】已知全集U={x|x是小于20的质数}，B∩CUA=2,3，A∩C【答案】A=7,11,13,17,19，B=【详解】由题意知，U=2,3,5,7,11,13,17,19∵CU(A∪B)=5∵A∩CUB=11,17，CU∵B∩CUA=2,3，∴【变式44】在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？【答案】6个【详解】设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示，只解出甲、乙、丙的学生人数分别为a,b,c，同时解出甲乙、乙丙、甲丙、甲乙丙的人数分别为d,f,e,g，如下图示由于每个同学至少选作一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①，由没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故b+f=2(c+f)②，由解出甲题的人数比余下的人数多1人，故a=d+e+g+1③，由只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a=b+c④，由②得：b=2c+f,f=b−2c⑤，将⑤代入①有a+2b−c+d+e+g=25⑥，将③代入⑥得2b−c+2(d+e+g)=24⑦，联立③④得c=d+e+g+1−b，代入⑦得3b+d+e+g=25⑧，2×⑧⑦得：4b+c=26⑨，又c≥0，则4b≤26，即b≤13联立⑤⑨得：f=9b−52≥0，则b≥529，且b∈Z所以共有6个同学只解出乙题．【变式45】已知集合A=x−3<x≤4，集合B=xk+1≤x≤【答案】−【详解】①当B=∅,即k+1>2k−1时，解得k<2，满足题意；②当B≠∅时，要使A∪B=A，只需−3<k+1,4≥2k−1,k+1≤2k−1,解得综上所述，k的取值范围是−∞解集合运算的试题时,按照运算法则进行运算;(2)注意运算的步骤:如果含有补集,先求补集,如果是三个集合之间的交并运算,按照从左到右的顺序逐次求解.集合的新定义集合的新定义题型题型五【例题5】设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（

）A．② B．①③ C．②④ D．②③【答案】D【详解】解：①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑；④中{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故④不是集合X上的一个拓扑；因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D．【变式51】用CA表非空集合A中元素的个数，定义A*B=CA−CB,CA≥CBCA．4 B．3 C．2 D．9【答案】C【详解】由已知C(A)=1，又A∗B=1，所以C(B)=0或C(B)=2，又x(x2+ax+2)=0中x=0显然是一个解，即0∈B，因此C(B)≥1所以x2Δ=a2−8=0，所以C(S)=2．故选：C．【变式52】若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x、y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合(1)分别判断集合A={−1,0,1}是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A；(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、y∈A，则必有2xy∈A.【答案】(1)A不是“好集”；理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）集合A不是“好集”，理由是−1∈A，1∈A，而−1−1=−2∉A，所以A不是“好集”；（2）因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x,y∈A，则0−y∈A，即−y∈A，所以x−(−y)∈A，即x+y∈A；（3）对任意一个“好集”A，任取x、y∈A；若x、y中有0和1时，显然xy∈A；下设x、y均不含0，1，由定义得x−1，1x−1，1所以1x−1−1由（2）得x(x−1)+x=x2∈A若x+y=0或x+y=1，显然(x+y)2若x+y≠0，且x+y≠1，则(x+y)2所以2xy=(x+y)【变式53】求已知集合M={1k|1≤k≤100，且k∈N∗}，A=a1,a2,⋯,an，其中(1)判断集合13,1(2)若集合A=a1,①求证：ai−a②求A的元素个数n的最大值．【答案】(1)该集合不具有性质P(2)6【详解】（1）由题知，集合13∵16∴该集合不具有性质P.（2）①证明：A=aa1<a故an故ai−a②要使A的元素个数n的最大，A=a不妨设a1则A中的元素满足an则由①知a2又an当k=5时，由(k+n−2)(k+n−1)≤30解得n≤2,n∈N当k=4时，由(k+n−2)(k+n−1)≤30解得n≤3,n∈N当k=3时，由(k+n−2)(k+n−1)≤30解得n≤4,n∈N当k=2时，由(k+n−2)(k+n−1)≤30解得n≤5,n∈N当k=1时，由(k+n−2)(k+n−1)≤30解得n≤6,n∈N故A的元素个数n的最大值为6，此时集合A=1,【变式54】设n是正整数，集合A=α|α=(t1,t2,⋯,t(1)当n=3时，若α=(1,1,0),β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(2)当n=4时，若M(α,α)的值为奇数，求所有满足条件的元素α；(3)给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α,β满足M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.【答案】(1)M(α,α)=2，M(α,β)=1(2)α=(1,0,0,0)或(0,1,0,0)或(0,0,1,0)或(0,0,0,1)或(0,1,1,1)或(1,0,1,1)或(1,1,0,1)或(1,1,1,0)(3)B=(0,0,⋯,0),(1,0,⋯,0),(0,1,⋯,0),⋯,(0,0,⋯,1)【详解】（1）由α=(1,1,0),β=(0,1,1)得M(α,α)=1M(α,β)=1（2）M(α,α)=1其中t1故α=(1,0,0,0)或(0,1,0,0)或(0,0,1,0)或(0,0,0,1)或(0,1,1,1)或(1,0,1,1)或(1,1,0,1)或(1,1,1,0)；（3）由M(α,β)=0得xi+yi−xi−y综合得α与β中相同位置上的数字不能同时为1，所以集合B中元素个数最多为n+1，B=(0,0,⋯,0),(1,0,⋯,0),(0,1,⋯,0),⋯,(0,0,⋯,1)命题的否定命题的否定题型题型六【例题6】“x≠0且x≠1”的否定形式为.【答案】x=0或x=1【详解】原命题的否定形式为：x=0或x=1，故答案为：x=0或x=1.【变式61】若A,B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A；②A∪B=A；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】∵A∩∵A∪∵A∩∵A∩B=U⇔∵B⊆与命题A⊆故选：C.【变式62】“所有偶数都不是素数”是命题.（填“真”或“假”）【答案】假【详解】所有偶数都不是素数，是错的，例如2既是偶数又是素数.故答案为：假.【变式63】命题“如果x>2，那么x≥2”的否命题是.【答案】如果x≤2，那么x<2【详解】命题“如果x>2，那么x≥2”的否命题是“如果x≤2，那么x<2”.故答案为：如果x≤2，那么x<2【变式64】设a∈R，若x>1，则x>a为真命题，则a的取值范围是．【答案】a≤1【详解】解：由题知x>1，则x>a为真命题，则xx>1⊆x故答案为：a≤1充分必要条件充分必要条件题型题型七【例题7】若α:x∈1,2，β:x∈0,2，则α是β的【答案】充分非必要【详解】由于1,2是0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故答案为：充分非必要【变式71】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【详解】因为p是r的的充分不必要条件，所以p⇒r，r推不出p，因为q是r的的充分条件，所以q⇒r，因为s是r的必要条件，所以r⇒s，因为q是s的必要条件，所以s⇒q，因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇒q，，所以s是q的充要条件，命题①正确，因为p⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒q，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒q，r是q的充分条件，命题③错误；因为s⇒q，q⇒r，所以s⇒r，又r⇒s，所以r是s的充要条件，命题④错误；故选：B.【变式72】若a,b,c∈R，则“ac=bc”是“a=b”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若c=0，令a=2,b=1，满足ac=bc，但a≠b；若a=b，则ac=bc一定成立，所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件.故选：B【变式73】“x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0的条件.【答案】必要不充分【详解】解:由题知,当x,y中至少有一个小于零时,不妨取x=−1,y=2,此时x+y=1,故“x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0的不充分条件,当x+y<0成立时,则x,y中必有负数,故x,y中至少有一个小于零,故“x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0的必要条件,综上:“x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0的必要不充分条件.故答案为:必要不充分【变式74】设α：1<x≤4，β：x>m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】−【详解】设A=x1<x≤4,B=xx>m，因为α是β集，所以m≤1.故答案为：−反证法题型反证法题型八【例题8】（1）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，求证：A,B,C中至少有一个角大于或等于60°（2）已知为不全相等的正数，且abc=1，求a,b,c证a+【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】证明：（1）假设结论不成立，即0<A<60°，0<B<60°，0<C<60°，则A+B+C<180°，这与A+B+C=所以A,B,C中至少有一个角大于或等于60°；（2）因为a,b,c都是正数，且abc=1，所以1a以上三个不等式相加，得21又因为a,b,c为不全相等的正数，所以取不到等号，所以a+【变式81】用反证法证明命题:“若x+y>2，则x>1或y>1”时，应假设（

）A．x≤1或y≤1 B．若x≤1或y≤1，则x+y≤2C．x≤1且y≤1 D．若x≤1且y≤1，则x+y≤2【答案】C【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即x≤1且y≤1，故选:C．【变式82】用反证法证明命题：“已知a,b∈N，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为（

）A．a,b都能被7整除 B．a,b不都能被7整除C．a,b至少有一个能被7整除 D．a,b至多有一个能被7整除【答案】C【详解】“a与b都不能被7整除”的否定为：a,b至少有一个能被7整除.故选：C.【变式83】用反证法证明命题：“设x，y∈R．若x+y>2，则x>1或y>1”时，假设的内容应该是【答案】x≤1且y≤1【详解】命题若x+y>2，则x>1或y>1”的结论是“x>1或y>1”，其否定为“x≤1且y≤1”，所以假设的内容应该是：x≤1且y≤1.故答案为：x≤1且y≤1【变式84】已知a1,a2,a3【答案】证明见解析【详解】证明：假设a1,a设bi=ai−1代入a1+a2+a3+a4=10,可得b由a17＝（b1+1）（b2+1）（b3+1）（b4+1）＝1