7.2 线性空间的基、维数_第1页
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文档简介

第7章

线性空间与线性变换主要内容：线性空间的定义与性质线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式子空间的定义、判定，子空间的运算线性变换的定义及运算线性变换的矩阵线性变换的特征值与特征向量§7.2线性空间的基、维数

本节主要内容：一、线性空间的基与维数二、基的过渡矩阵、向量的坐标定义1在线性空间中,如果存在个向量线性无关,而中任意(若存在)线性相关,个向量

则称为的一组基.

称为线性空间的维数,

记为由定义1知,（1）为线性空间的一组基的充分必要条件是线性无关且中任一向量总可由线性表示．（2）维线性空间中任意个线性无关向量都的一组基.是

例1求上线性空间的一组基与维数．

解

对任意的由矩阵运算可知，从而可由线性表示．设则得因此线性无关．

从而为的一组基且.

一般结论：在线性空间是中,

的一组基.

且.§7.2线性空间的基、维数

本节主要内容：一、线性空间的基与维数二、基的过渡矩阵、向量的坐标

定义2设是线性空间的一组基,对于任意,存在一组有序数使则称这组有序数为向量在基下的坐标,并记作，.在基下的坐标是唯一的.注：设及是维线性空间的两组基,且即其中矩阵称为基到基的过渡矩阵.1.过渡矩阵由这两组基唯一确定．注：2.过渡矩阵是可逆的．定理1设及是维线性空间的两组基,且基到基的过渡矩阵为.设中的向量在基下的坐标为，在基下的坐标为，则有坐标变换公式或.

例2在线性空间中,是的一组基,求在基下的坐标.解所以是在基下的坐标..例3

在

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