《线性代数》-李兴华 教案全套 第1-7章 行列式-线性空间与线性变换

1-线性代数教案第1章行列式计划学时理论学时,习题课1学时教学基本要求1.了解行列式的定义及相关概念，掌握二阶、三阶行列式的对角线法则及三角行列式的值.2.理解和掌握行列式的性质，能应用行列式的性质计算行列式的值.3.理解全排列的逆序数，了解对换的概念.4.理解和掌握行列式的展开定理，能应用行列式的展开定理计算有关行列式的值，会利用范德蒙德行列式计算.5.会利用克拉默法则解方程组及判定方程组解的情况.思政目标培养学生的科学思维，求实创新，培养团队合作精神等.教学重点二阶、三阶行列式，n阶行列式的定义.2．n阶行列式的定义,行列式的性质.3．行列式按行（列）展开.4．克拉默法则.教学难点1.行列式的概念与性质.2.行列式的计算.3.行列式按行（列）展开.4.克拉默法则.支撑课程目标课程目标1，2，3支撑毕业目标毕业目标1，2，4，12教学内容§1.1二阶、三阶行列式§1.2n阶行列式的定义§1.3行列式的性质§1.4行列式按行（列）展开§1.5克拉默法则，习题课§1.1二阶与三阶行列式，§1.2n阶行列式计划学时2学时教学目标理解二阶、三阶行列式.理解n阶行列式的定义（由特殊到一般）思政目标培养学生利用循序渐进的方法认识、分析问题的能力。树立凡事脚踏实地，从基础做起，举一反三；从点滴做起，积跬步以至千里的理念。项目内 容解决措施教学重点了解行列式的定义及相关概念，掌握二阶、三阶行列式的对角线法则及三角行列式的值1、通过实例引出二阶行列式定义进而理解二阶的概念.2、类比二阶行列式定义出三阶行列及计算问题。3、借助实例理解对角线法则教学难点n阶行列式定义及相关概念1、详细介绍全排列和逆序帮助理解n阶行列式教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景线性方程组教学内容教学实施流程课程导入：行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中都有着广泛的应用。在本课程中，行列式是研究线性方程组的求解理论与矩阵理论的重要工具。讲授新课：利用行列式可以计算面积和体积．考察平行四边形面积与坐标之间的关系．平面直角坐标系中的两点以为边构造平行四边形，求平行四边形的面积．过做垂直于轴的垂线，交轴于，过做平行于轴的直线与过平行于轴的直线交，则有图1A(a图1A(a1,b1)B(a2,b2)OxyCED为了书写方便，将记为=．对于二元一次方程组(1)利用消元法，将第一个方程的倍减去第二个方程的倍，得当时，有同理可得引入记号表示数，称它为二阶行列式，即数称为行列式的元素或元.元素的第一个下标称为行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列.位于第行第列的元素称为行列式的元.有了二阶行列式，方程组(1.1.1)的解可表示成，(2)其中，，.例1解方程组解计算二阶行列式由式(1.1.2)知，，所以，.类似地，在解三元一次线性方程组(3)中，引入记号称其为三阶行列式．其中为三阶行列式的第行第列上的元素．显然方程组(3)的解与该三阶行列式密切相关，称此行列式为线性方程组(3)的系数行列式．对于二阶行列式，把的连线称为二阶行列式的主对角线，把的连线称为副对角线，那么二阶行列式的值就可以用对角线法则来表示，即其值等于主对角线上元的乘积减去副对角线上元的乘积.三阶行列式也可用对角线法则来表示（图2），即三条实线上元素积之和减去三条虚线上元素积之和．+————++————+图2图2例2计算行列式解从二阶和三阶行列式的定义可以看出，行列式的值是一些“项”的代数和．例如在三阶行列式中，每一项都是三个数的连乘积，总项数及每一项的符号与下标的排列有关．用几何观点来看，二阶行列式的数值是平行四边形的有向面积．若这个平行四边形是由OA沿逆时针方向转到OB而得到的，面积取正值（图1）；若这个平行四边形是由OA沿顺时针方向转到OB而得到的，面积取负值．类似地，三阶行列式的值表示平行六面体的有向体积．练习1．利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)(2)(3)(4)2．求解方程.排列与逆序定义1由个不同的正整数组成的一个有序数组，称为一个元排列．例如13245，21453都是5元排列．元排列是个不同元素的全排列，因此元排列总共有个．在所有元排列中，有一个元排列中的所有数是按从小到大的顺序排列而成的，称它为自然排列或标准排列．除此之外，其余的排列中都会出现较大的数排在较小的数之前的情况．比如在5元排列15423中，5排在2之前，4排在3之前，为此给出下述定义：定义2在元排列中，如果一个大的数排在一个小的数之前，就称这两个数构成一个逆序．这个排列中所有逆序的总个数称为该排列的逆序数．记为．根据逆序数的定义，我们可以得到逆序数的计算方法有两种:后面比小的数的个数后面比小的数的个数后面比小的数的个数;(2)前面比大的数的个数前面比大的数的个数前面比大的数的个数．例1求下列排列的逆序数(1)4321576(2)．解(1)在排列4321576中，4前面没有数，因此逆序数为0；3前面有1个比它大的数，因此逆序数为1；2前面有2个比它大的数，因此逆序数为2；1前面有3个比它大的数，因此逆序数为3；5前面没有数比它大，因此逆序数为0；7前面没有数比它大，因此逆序数为0；6前面有1个比它大的数，因此逆序数为1;因此这个排列的逆序数．同样的办法，可得．逆序数是偶数的排列称为偶排列．逆序数是奇数的排列称为奇排列．比如排列4321576的逆序数是7，为奇排列；3421576的逆序数为6，为偶排列．定义3在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为对换．定理1对换一次改变排列的奇偶性．证(1)若对换的两数相邻，则设排列为其逆序数为，将相邻两数和对换，得到新排列记该排列的逆序数为，于是当时，，而当时，，故一次相邻对换改变排列的奇偶性．(2)一般情形．设排列为(1.2.1)将与对换，得新排列(1.2.2)排列(1.2.2)可看作是由排列(1.2.1)把依次与对换，即作次相邻对换得到排列(1.2.3)再将排列(1.2.3)中依次与作次相邻对换得到.这样由排列(1.2.1)经次相邻对换可得排列(1.2.2)，于是由(1)知，排列(1.2.2)与排列(1.2.1)的奇偶性不同．由于标准排列的逆序数为0，故由定理1.2.1我们有:推论1奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．由于个不同元素的全排列总数为，故由定理1.2.1我们还有:推论2在个不同元素的全排列中，奇偶排列各占一半，均为个．1.2.2阶行列式的定义仔细观察三阶行列式不难发现如下规律:(1)三阶行列式的右端是形如的6个乘积项的代数和，且每项均为来自不同行不同列的三个数的乘积.这里第一个下标(行标)排成自然顺序123，而第二个下标(列标)组成3元排列，当取遍由1，2，3构成所有3元排列时，它正好对应上式右端的6个乘积项.(2)每个乘积项前面都带有一定的符号，它是由排列的奇偶性决定的.当为奇排列时，带负号；当为偶排列时，带正号.因而，三阶行列式可表成其中表示对1，2，3的所有排列6项求和.根据上述规律，我们给出阶行列式的定义:定义4由个数组成的记号称为阶行列式，它表示所有可能取自不同行不同列的个元素乘积的代数和，共有项.把每一项这个元素的行标按自然顺序排列后，当列标所成排列是偶排列时，对应项取正号，奇排列时，对应项取负号，即其中是一个元排列，表示对的所有排列求和.行列式有时简记为或.当时，一阶行列式，注意不要与绝对值符号相混淆.当时，由此定义得到的二、三阶行列式与用对角线法则求得的结果一致．虽然二、三阶行列式满足对角线法则，有直观的解释，但四阶及其以上的行列式却没有.例2(1)在六阶行列式中，项应带什么符号?写出四阶行列式中带负号且包含因子和的项．解(1)适当调整该项元素位置，使6个元素的行下标按自然顺序排列，即，则列下标排列为431265，其逆序数，故该项前应取正号.由行列式的定义可知，包含因子和的项必为和，其列下标排列的逆序数分别为和.又所求项带负号，故取列下标为奇排列的.例3证明(1).(2).其中“”表示连乘号.证(1)我们关心的是的展开式中可能不为零的项.由于第行除外其余元素都为零，所以行列式通项中第个元只能取，而第个元不能取，这是因为展开式的每项不能存在两个同列元，故只能选取，，依此类推第一行只能选取，从而(2)类似于(1)中推理，行列式的展开式中可能不为零的项也只有一项，即.行列式主对角线以下的元素全为0，因而称它为上三角形行列式.同样地，将主对角线以上的元素全为0的行列式称为下三角形行列式.上三角形行列式与下三角形行列式统称为三角形行列式.主对角线以外全为0的行列式称为对角行列式.无论是三角形行列式还是对角行列式，它们的值都等于主对角线上元素的乘积.即第二个行列式中，未写出的元素都为0.例4计算行列式.解由行列式的定义可知，此行列式的非零项只有两项，即和，故定理2阶行列式的一般项可以记为(1.2.4)其中与均为元排列.证由定理1.2.1知，式(1.2.4)经过次互换两个因子的次序变成(1.2.5)其中是一个元排列，同时行标排列与列标排列分别经过次对换变到与，它们的奇偶性分别改变了次，总共改变了偶数次，故这说明(1.2.4)是行列式的一般项.由定理2,行列式中项的因子顺序也可按列标的自然顺序排列.即有下述推论:推论3阶行列式也可定义为其中是一个元排列，表示对的所有排列求和.习题1.用定义计算下列行列式:(1)(2)2.求下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性:(1)(2)(3)(4)(5)3.确定下列五阶行列式中的项所带的符号:(1)(2)4.写出四阶行列式中含有的项．通过导语指出：行列式在数学研究方程组求解中的重要作用，激发学生学习热情.平行四边形的面积和二元一次方程组的解写法相对复杂，水到渠成的引入新的符号行列式。注意：行列式结果为一个“数”通过具体实例掌握二阶行列式定义及二元一次方程组的求解公式利用类比法自然引出三阶行列式详细介绍对角线法则，让学生学会举一反三通过具体例子理解排列的定义重难点：逆序是学习n阶行列式定义的重难点，举例细讲通过实例加强理解奇偶排列定义为n阶行列式定义做铺垫理解奇偶排列和全排列的总数通过二三阶行列式的对角线法则，找出行列式计算规律进而引出n阶行列式与排列之间的关系课程思政：从简到繁、从易到难、从特殊到一般，循序渐进。注意：（1）由于个不同元素的全排列总数为，行列式的展开项总和为；（2）每列的系数与奇偶排列有关通过实例掌握理解n阶行列式中各项符号问题借助行列式的计算公式通过例题定义和理解特殊行列式：三角行列式为后期行列式的计算铺垫注意：三角性行列式的写法与格式，对角元以下或以上元素全为0利用行列式定义计算§1.3行列式的性质计划学时2学时教学目标熟练运用行列式的性质计算行列式的值思政目标培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神项目内 容解决措施教学重点理解行列式的性质及其应用通过行列式的定义证明行列式的各个性质2、借助于例题更好理解行列式的性质教学难点运用行列式的性质计算行列式的值通过实例应用行列式的性质化简行列式的计算教学方法案例讲解法；讲练结合教学背景行列式的计算教学内容教学实施流程课程回顾：二阶行列式计算：三阶行列式计算：阶行列式计算：课程导入：行列式的计算是行列式的重点，由行列式的定义可知，对于低阶行列式以及零元较多的行列式，用定义计算是可行的.但当较大时，应用行列式定义计算是很繁琐且困难的．因此讨论行列式的性质，以便利用行列式的性质简化行列式的计算，并且这些性质对行列式的理论研究也有重要意义。讲授新课：设将的行与列互换，得到新的行列式，记为行列式称为行列式的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等，即转置不改变行列式的值.证令，则由行列式的定义和上节推论3可得性质1说明，行列式的行和列的地位是对称的，因此凡对行成立的性质对列也成立，反之亦然．鉴于此，下面将着重以行来介绍行列式的性质.性质2任意互换行列式的两行（列），行列式变号.证互换行列式的第行与第行所得到的行列式为由于经过一次对换改变排列的奇偶性，根据行列式定义可得推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证互换相同的两行，有，故.以下几个性质容易用行列式定义加以证明，因此只列出有关结论，请读者自己证之.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式．即.推论2行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质5若行列式的第行（列）的每一个元素都可表示为两个数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即该性质表明，当某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可分解成两个行列式．若阶行列式每个元素都可表示成两个数之和，则它可分解成个行列式.性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.例如：以数乘第行的所有元素然后加到第行的对应元素上去，有在计算行列式时，为了使计算过程清晰醒目，约定如下记号:交换行列式的第行（列）与第行（列），简记为.给第行（列）同乘以数，简记为.把第行（列）的倍加到第行（列），简记为.性质2，性质3，性质6介绍了行列式关于行和列的三种运算，即，，和，，，利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算（或）可以把行列式中许多元素化为0．计算行列式常用的一种方法就是利用运算（或）把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例1计算行列式.解.上述解法中，先用了，其目的是把换成1，从而利用运算，即可把变为0.例2计算行列式解例3计算行列式解这个行列式的特点是各行元素之和都相等，分别把第列加到第一列，再提出第一列的公因子，得例4计算行列式解.例5简化行列式解由行列式的性质1.3.5，有上述诸例中都用到把几个运算写在一起的省略写法，这里要注意各个运算的次序一般不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故．例如:；，可见两次运算当次序不同时所得结果不同.忽视后一次运算是作用在前一次运算的结果上，就会出错，例如:这样的运算是错误的，出错的原因在于第二次运算找错了对象．此外还要注意运算与的区别，记号不能写作（这里不能套用加法的交换律）．上述诸例都是利用运算把行列式化为上三角形行列式，用归纳法不难证明任何阶行列式总能利用运算化为上三角形行列式或化为下三角形行列式.类似地，利用列运算，也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式．课程思政：人生没有近路可走，但我们走的每一步，都是算数的。“条条大路通罗马”，通过不同类型行列式之间的相互关系与转化过程，培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神。习题1．计算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2．求方程的根.回顾上节课学的行列式的定义简单计算，由定义计算的复杂性引出学习性质的利用例子来理解转置行列式的概念.行与列互换不影响行列式的值记忆理解行列式的各性质通过1.3.4和1.3.5帮助理解此性质，详细讲解，帮助后续行列式计算应用此性质通过实例应用性质化简为三角行列式求行列式的值§1.4行列式按行（列）展开计划学时2学时教学目标1、理解和掌握行列式的展开定理，能应用行列式的展开定理计算有关行列式的值2、会利用范德蒙德行列式计算.思政目标培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神项目内容解决措施教学重点理解、掌握和利用行列式的展开定理计算有关行列式的值；会用范德蒙德行列式计算1、借助于行列式的定义引出余子式和代数余子式.进而得出行列式的展开定理2、结合实例理解和应用行列式的展开定理3、根据行列式的性质和展开定理推导出范德蒙德行列式教学难点行列式的展开定理、范德蒙德行列式1、借助于行列式的定义引出余子式和代数余子式.进而得出行列式的展开定理2、结合实例理解和应用行列式的展开定理3、根据行列式的性质和展开定理推导出范德蒙德行列式教学方法讲授式教学，探究式教学教学背景行列式计算教学内容教学实施流程课程导入：在行列式定义里，学习了三阶行列式的计算不难发现：三阶行列式可以转化为三个二阶行列式，那么我们思考一个阶行列式是否可以转化为若干阶行列式来计算？对于高阶行列式是否都可用较低阶的行列式来表示呢？为了回答这个问题，先介绍余子式和代数余子式的概念进而引出按行展开式讲授新课：定义1在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列后，余下的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作；称为元素的代数余子式.显然，阶行列式的每一个元素的余子式实际上就是该行列式的一个阶子式．例如，在行列式中，元素的余子式和代数余子式分别为定理1阶行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其所对应的代数余子式乘积之和.即(1)或证只证式(1)，分三步完成.（1）按行列式的定义（2）设行列式中第行除外其余元素都是零.把第行依次与第行第1行交换，然后再把第列依次与第列第1列交换，由行列式的性质，有由（1）的结果，得（3）一般情形利用行列式性质5，把第行拆开，就有在计算时直接利用定理1展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的零元，因此在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）的元素尽可能地化为零，然后再利用定理1，将该行列式展开.例1计算行列式.解根据行列式的特点，可以多次使用行列式展开定理来计算.例2计算行列式解按第一行展开于是有及从上两式消去，得例3证明阶范德蒙德（Vandermonde）行列式.证用数学归纳法证明，当时结论成立，假定结论对阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶也成立.由第行开始，自下而上，依次用下一行减去上一行的倍，得然后按第一列展开，并提取各列元素的公因子，得上式右端的行列式是阶范德蒙德行列式，根据归纳假设它等于所有因子的乘积，其中，故例4计算行列式解其中最后一个等号用了三阶范德蒙德行列式的结论．例5证明证设，为中元素的余子式，为的代数余子式.对用数学归纳法.当时，上式就变成即结论成立.假定时结论成立，则为阶时，按第一列展开，有.定理2阶行列式的某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即，或.证两边行列式都按第行展开，得移项化简，得同理可证另一式.将定理1和定理2结合起来，便得下面的重要公式:(2)例6设求(1)(2).其中为行列式中元素的代数余子式.解(1)因，它们恰好是行列式的第1列的元素与第2列的对应元素的代数余子式乘积之和，所以由定理1.4.2得.(2)为的第4行元素的代数余子式，而中没有一行的元素全为1，因此我们构造一个行列式与仅第4行元素不同，因此它们第4行对应元素的代数余子式是相同的;又的第4行元素全为1，所以对按第4行展开，有我们计算出，所以.注记：范德蒙德（A.T.Vandermonde，1735-1795）法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠基人.在行列式的发展史上，他是把行列式理论与线性方程组求解相分离的第一人，给出了二阶子式和他们的余子式来展开行列式的法则.1772年，法国数学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）在一篇论文中证明了范德蒙德提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法.习题1．试用范德蒙德行列式计算:2．计算行列式，其中未写出的元素都是(提示：应用例1.4.5).3.设，求的值，其中为元素的代数余子式.4．已知5阶行列式求和，其中为的第四行第个元素的代数余子式.通过复习三阶行列式的计算化简成按行站开始的计算方法引出较一般的展开式通过具体例子理解余子式与代数余子式利用展开式定理依次降阶计算行列式注意：让学生首先知道数学归纳法内容和应用通过具体例子理解和应用范德蒙德行列式根据范德蒙德行列式的证明方法推导出拆分法培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神§1.5克拉默法则计划学时1学时教学目标掌握利用克拉默法则求线性方程组的方法思政目标培养学生刻苦专研的精神项目内容解决措施教学重点利用克拉默法则求线性方程组的解1.借助于行列式的展开定理证明出克拉默法则2.利用实例理解和应用克拉默法则；3、通过克拉默法则得出方程组解的存在条件教学难点克拉默法则1.借助于行列式的展开定理证明出克拉默法则2.利用实例理解和应用克拉默法则；教学方法讲授式教学，探究式教学教学背景线性方程组的解教学内容教学实施流程课程回顾：对于二元一次方程组引入记号在解三元一次线性方程组中，引入记号并根据行列式得出了方程组解的结构课程导入：既然二、三阶线性方程组可以用二、三阶行列式求解。在此基础上我们要研究用n阶行列式来解含n个未知量的n个方程的线性方程组讲授新课：定理1[克拉默（Cramer法则）]如果线性方程组(1)的系数行列式则方程组(1)有唯一解(2)其中是用常数项替换中第列所得的行列式，即(3)证首先证明式(2)是方程组(1)的解.将按第列展开其中是系数行列式中元素的代数余子式.将代入方程组(1)的第个方程的左端，得到因而是方程组(1)的解.再证唯一性.若方程组(1)有解则在上面个恒等式两端，分别依次乘以系数行列式的第列元素的代数余子式，然后再把这个等式的两端相加，得由上节定理1和定理2知，故于是方程组(1)的解是唯一的.例1解线性方程组解因为系数行列式所以方程组有唯一解.于是得.例2已知多项式函数在处的值分别为，试求.解将代入函数，由题设得到关于的线性方程组它的系数行列式是范德蒙德行列式的转置行列式类似计算得，由克拉默法则，得从而.当方程组(1)右端的常数项全为零时，即(4)称它为齐次线性方程组.常数项不全为零时，式(1)称为非齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(4)总有解，就是其一组解，这个解叫做齐次线性方程组(4)的零解.若一组解不全为0，则称它为(4)的非零解．齐次线性方程组(4)一定有零解，但不一定有非零解．由克拉默法则，可得下述定理:定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理3如果齐次线性方程组(4)的系数行列式，则其没有非零解.定理4如果齐次线性方程组(4)有非零解，则它的系数行列式.定理4说明，系数行列式是齐次线性方程组(4)有非零解的必要条件.在后面的章节，读者还会看到这个条件不仅是必要的，而且也是充分的.例3已知齐次线性方程组有非零解，问取何值?解由定理4知，该齐次线性方程组的系数行列式，即所以应取2或-4.注记：克拉默（G.Cramer,1704-1752）瑞士数学家.1750年，克拉默在其著作《线性代数分析引论》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整的叙述，并给出了解线性方程组的克拉默法则.稍后，法国数学家贝祖（E.Bezout，1730-1783）将确定行列式的每一项符号的方法进行了系统化，指出了如何利用系数行列式判断一个齐次线性方程组有非零解.习题1．用克拉默法则解下列方程组:(1)(2)(3)2．齐次线性方程组只有零解，则应满足什么条件.课程思政：培养学生利用循序渐进的方法认识、分析问题的能力。树立凡事脚踏实地，从基础做起，举一反三；从点滴做起，积跬步以至千里的理念。人生没有近路可走，但我们走的每一步，都是算数的。“条条大路通罗马”，通过不同类型行列式之间的相互关系与转化过程，培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神。通过回顾二三阶行列式的定义来源引出行列式和线性方程组求解的关系，进而引出克拉默法则的一般应用克拉默法则只适用于方程的个数与未知数的个数相等的线性方程组．注意：法则包含三个结论：（1）方程组有解（2）解是唯一的；（3）解可以由方程组的系数和常数项表出利用实例应用克拉默法则帮助理解注意理解克拉默法则得出线性方程组的解的存在条件课程思政：培养学生刻苦专研的精神课程思政：引导学生树立正确的人生观，认识到只有从基础做起,从点滴做起，日积月累，才能大踏步向前习题课(1学时)知识点总结行列式是研究线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具．本章主要介绍了阶行列式的定义及其性质；行列式的计算；求解一类非齐次线性方程组的克拉默（Cramer）法则，以及由此得到方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有非零解的必要条件．一、阶行列式的定义其中是一个元排列，表示其逆序，表示对的所有排列求和．定义的特点：1.由于级排列的总数为个，故展开项有个；2.每项是来自不同行不同列的个元素乘积；3.每项前的符号取决于个元素下标所组成排列的奇偶性．需要注意的是，虽然二阶、三阶行列式满足对角线法则，但四阶及其以上的行列式却没有直观的解释．行列式的计算1．几种常用的方法：(1).利用定义计算:只适用于一些特殊的行列式或者大多数元素为零的行列式的计算．(2).利用性质计算:利用行列式的基本性质将行列式化为上（下）三角形行列式来计算，这是计算行列式最常用的方法．(3).降阶法：利用按行（列）展开公式将高阶行列式化为低阶行列式来计算．(4).递推公式法:利用行列式的性质或展开公式把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据此关系式递推，求得所给阶行列式的值．(5).拆分法:将行列式适当地拆分成若干个同阶行列式之和，然后求出各行列式的值．(6).利用已知行列式进行计算:其中最重要的已知行列式是范德蒙德行列式．(7).利用数学归纳法进行计算或证明．2．几个特殊行列式的值上（下）三角行列式对角行列式反对角行列式分块行列式范德蒙德行列式克拉默（Cramer）法则如果线性方程组(1.6.1)的系数行列式，则方程组(1．6．1)有唯一解其中是用常数项替换中第列所得的行列式．注:（1）克拉默法则只适用于方程的个数与未知数的个数相等的线性方程组．(2)元非齐次线性方程组，当系数行列式时有唯一解；当系数行列式时，克拉默法则失效，方程组可能有解也可能无解．（3）元齐次线性方程组，当系数行列式时，有唯一零解，当系数行列式时，齐次线性方程组有非零解（无穷多解）．行列式在解析几何以及数学的其他分支中都扮演着很重要的角色．但如今，由于计算机和计算机软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义已经不是很大．第2章空间解析几何与向量代数计划学时理论8学时教学基本要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示2.掌握向量的加法、减法、数量积、向量积的运算.3.会运用向量坐标来判断和表达向量之间的关系及计算有关的问题.4.掌握两个向量之间的夹角的计算和两向量平行、垂直的条件及单位向量、方向余弦表达式.5.掌握平面方程和直线方程，平面、直线相互关系（平行、垂直、相交）的条件和夹角公式，会求点到平面、点到直线的距离.6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面方程及其图形，会求母线平行于坐标轴的柱面方程和以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程.7.了解空间曲线的参数方程和一般方程，以及空间曲线在坐标平面上的投影方程.思政目标培养学生的科学思维、数学之美.教学重点1.向量的线性运算及其性质.2．向量的坐标及向量的代数运算.3．数量积与向量积的代数运算.4．平面的点法式方程与空间直线的对称式方程.5.旋转曲面与柱面与曲线的参数方程.教学难点1.向量的分解及坐标表达式.2.向量与数的乘法运算及其性质.3.向量积的概念及运算.4.旋转曲面与二次曲面.支撑课程目标课程目标1，2，3支撑毕业目标毕业目标1，2，4教学内容§2.1空间直角坐标系§2.2向量及其线性运算§2.3向量的数量积和向量积§2.4平面与直线§2.5曲面与曲线§2.6二次曲面§2.1空间直角坐标系、§2.2向量及其线性运算计划学时2学时教学目标了解空间直角坐标系的相关概念，理解向量的概念，理解向量的线性运算及其性质，掌握向量的坐标及其运算，了解向量的投影.思政目标培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感与自信心。项目内 容解决措施教学重点向量的线性运算向量的坐标及其向量的代数运算通过几何图形或实例来理解向量的线性运算、向量的坐标及其代数运算.教学难点向量的分解及坐标表达式向量的投影1、通过几何图形推导向量的分解及坐标表达式.通过几何图形来理解向量的投影及相关的定理.教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景力，速度，平面的法向量，直线的方向向量等教学内容教学实施流程讲授新课：空间直角坐标系过空间一个定点,作三条互相垂直的数轴,分别叫做轴(横轴)、轴(纵轴)和轴(竖轴).这三条数轴都以为原点且有相同的单位长度,它们的正方向符合右手规则,即以右手握住轴,当右手的四个手指从轴的正向转过角度后指向轴的正向时,竖起的大拇指的指向就是轴的正向(如图2.1.1).由此组成了空间直角坐标系,称为直角坐标系,点称为该坐标系的原点.图2.1.1图2.1.2两个坐标轴三个坐标面坐标面,有坐标面,有坐标面八个卦限空间坐标设是空间的一点,过作三个平面分别垂直于轴、轴和轴并交轴、轴和轴于三点、、,点、、分别称为点在轴、轴和轴上的投影.设这三个投影在轴、轴和轴上的坐标依次为、和,于是空间点唯一地确定了一个三元有序数组.反过来,对于给定的有序数组,可以在轴上取坐标为的点,在轴上取坐标为的点,在轴上取坐标为的点,过点分别作垂直于轴、轴和轴的三个平面,这三个平面的交点就是由有序数组确定的唯一的点(如图2.1.3).这样,空间的点与三元有序数组之间就建立了一一对应的关系.这个三元有序数组称为点的坐标,分别称、、图2.1.3为点的横坐标、纵坐标和竖坐标,并记为.空间直角坐标系中两点间的距离在空间直角坐标系中点和点的距离为向量的概念与表示方法既有大小又有方向的量称为向量或矢量.常用有向线段来表示向量记为,点称为起点,点称为终点,其中箭头的指向确定了向量的方向.线段的长度确定了向量的大小,称为向量的模,记为.有时也用一个黑体字母(书写时,在字母上面加箭头)来表示向量.例如或等.单位向量零向量负向量向量与的夹角记为平行垂直向量的线性运算定义1设有两个向量,任意选定一点,作,(如图2.2.1所示),则向量称为与的和,记为,即.将定义1确定的向量加法运算法则称为三角形法则.由实际应用可知,向量的加法运算图2.2.1图2.2.2还有平行四边形法则(如图2.2.2所示).向量加法运算的一些性质(为任意向量):(1)(加法交换律);(2)(加法结合律);(3);(4).定义2向量与的负向量的和称为向量与的差,记为,即.定义3设是一个实数,是向量,如果存在一个向量,使得,并且当时,与的方向相同;当时,与的方向相反,则称向量为实数与向量的乘积,简称数乘,记为.当时,.特别地,对任意的非零向量,有的方向与相同,且的模为1.故是与同方向的单位向量,记为,即.由定义3可得数乘运算的性质:(1)对任意的实数及任意向量,有∥,且;(2)对任意的实数及任意向量,有(数乘结合律);(3)对任意的实数及任意向量,有(数乘分配律).定理1设与是任意给定的向量,如果,则向量与向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数,使得.向量的坐标表示在空间中建立直角坐标系后,选取分别与轴、轴、轴的正方向相同的单位向量,并称它们为坐标系下的基本单位向量.把空间中任意向量的起点放在坐标原点,终点对应的坐标记为.作以为对角线,并且有三边分别落在三个坐标轴上的长方体(如图2.2.3).则于是由∥,∥,∥,并利用定理2.2.1得由此得上式称为向量按基本单位向量的分解式，图2.2.3其中分别称为向量在轴、轴、轴上的分向量.称有序数组为向量的坐标,记为,也称为向量的坐标表达式.由此可知,对于任意一个向量,存在唯一一点,使得;反之,对于任意一点,可以唯一确定一个以为起点,以为终点的向量,记为,向量称为点的位置向量或向径.利用向量坐标表达式的线性运算,可以将几何问题转化为代数问题.对任意的向量,任意实数,利用向量的线性运算法则得由此可将定理2.2.1改写为如下形式.定理1对于给定的两个向量,如果,则下列条件等价:(1)向量与向量平行,即∥;(2)存在实数,使得;(3)向量与向量对应的坐标成比例,即.在上式中约定:当分母为零时,分子也是零.向量的模与方向余弦对于空间直角坐标系中的任意一个向量,其模长为.如果,则向量的方向可以用它与轴,轴和轴的正向之间的夹角(规定)来确定(如图2.2.4所示),称为向量的方向角,,称为向量的方向余弦.由向量的坐标表达式可以推得从而有,图2.2.4并且.向量在轴上的投影设轴的原点为,单位向量为,记,过点作与轴垂直的平面,该平面与轴相交于点,称点为点在轴上的投影,称向量为向量在轴上的分向量.若,则称实数为向量在轴上的投影,记为或.若向量,则.性质1,其中为向量与轴的夹角;性质2;性质3.小结图2.2.5建立空间直角坐标系，从而建立空间点的坐标，用三维有序数组（或者说三维向量）来表示空间的点，为空间几何的理论进行铺垫.借助于几何图形引导学生理解向量的加法与减法的概念及运算法则.讨论探究式方法引导学生借助于几何图形推导向量的分解式与坐标表达式通过向量的线性运算法则引导学生推导向量的坐标运算，为向量的代数运算提供保证借助于投影定理推导向量的方向角与方向余弦的计算公式.§2.3向量的数量积和向量积计划学时2学时教学目标理解向量的数量积、向量积的概念及其性质，掌握它们在坐标表达式下的代数运算，会求两向量的夹角，了解两向量平行与垂直的条件.思政目标培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感与自信心。项目内 容解决措施教学重点数量积与向量积的概念与性质数量积与向量积的代数运算1、通过案例理解数量积的概念.2、通过理解向量积的大小与方向两个要素，从而理解向量积的概念3、通过实例掌握数量积与向量积的代数运算.教学难点向量积的概念向量积的代数运算1、通过几何图形推导向量的分解及坐标表达式.通过几何图形来理解向量的投影及相关的定理.教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景物体沿直线移动所做的功，刚体绕轴旋转时某一点的线速度教学内容教学实施流程课程回顾向量的坐标运算：设，则课程导入：一质点在恒力的作用下,由点沿直线移动到点(如图2.3.1所示),此时物体的位移为.如果与的夹角为,则由物理学知识得到力所做的功为.图2.3.1由这个物理问题可知,有时候要研究向量的一种运算,运算的结果是一个数,这个数等于向量的模与它们夹角的余弦的乘积.下面根据这一表达式来给出向量的数量积的定义.讲授新课：一、向量的数量积定义1对于给定的向量与,称实数为向量与的数量积,也称为内积,记为,即注：1.零向量与任何向量的数量积为零.2..向量的数量积的性质(为任意向量,为任意实数):,且(非负性);(2)充分必要条件是;(3)(交换律);(4)(结合律);(5)(分配律).基本单位向量之间的数量积有如下结论:.因此,对任意的向量,,即向量与的数量积等于它们对应坐标乘积之和.利用数量积的坐标表示式,向量的数量积还有如下性质(任意的向量与):(1);(2)当时,有;(3).二、向量的向量积定义2向量与的向量积满足下列条件(如图2.3.2所示):(1)与向量都垂直;(2)构成右手系;(3)(为以向量和为邻边的平行四边形的面积).设向量与,有如下结论:(1);(2)∥.向量积的性质(是任意向量,是任意实数):(1)(向量积不满足交换律);(2)(数乘结合律);(3)(分配律).图2.3.2在空间直角坐标系中,由向量积的定义可知,对应的基本单位向量之间的向量积有如下结论:由此可得,对任意的向量,利用向量积的性质得为了帮助记忆,上式可以写成例1设的三个顶点坐标分别为,,,求的面积及边上的高.解由向量的坐标表示式可知,,,因为于是的面积为.边上的高为.小结通过案例导入引导学生初步了解两个向量的数量积的概念讲解两个向量的数量积的概念，引导学生理解数量积与向量投影之间的关系，从而推导数量积的运算法则借助于数量积的运算法则及向量的坐标表达式引导学生推导数量积的代数运算，并导出两向量的夹角公式探究式方法讲解两个向量的向量积的概念，引导学生理解向量积是一个向量，掌握向量的大小与方向的概念.给出两个向量平行的条件.根据向量积的定义引导学生推导向量积的运算法则，并由此推导向量积的坐标运算.通过实例理解向量积的代数运算通过向量积的概念引导学生掌握平行四边形与三角形的面积计算公式.§2.4平面与直线计划学时2学时教学目标掌握平面与直线的方程及其求法,会求两平面的夹角、两直线的夹角及直线与平面的夹角，掌握点到平面的距离公式，掌握平面束方程及其应用.思政目标培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感与自信心。项目内 容解决措施教学重点平面的点法式方程直线的对称式方程借助于图形与具体实例的训练来加深理解和掌握平面的点法式方程与直线的对称式方程.教学难点平面及直线方程的求法直线与平面的综合问题的解法借助于具体实例的重复训练来理解平面与直线的方程，掌握平面与直线综合的解法教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景空间曲线的切线，曲面的切平面等教学内容教学实施流程课程回顾向量的数量积：向量的向量积：向量与的向量积是一个向量，记为，且大小：方向：与向量都垂直，构成右手系;课程导入：在实际计算中,经常会遇到各种曲面,例如汽车大灯的反光镜的镜面,上下水管道的外表面以及建筑工人师傅用的铅垂的侧面等.平面和直线是空间中最简单的几何图形,本节利用向量和坐标的相关知识将平面、直线与方程联系起来,建立空间中平面和直线方程,再通过方程研究它们的几何性质、位置关系及相关问题.讲授新课：一、平面方程法向量：垂直于平面的非零向量称为平面的法向量,通常用向量来表示.设平面过点,且是平面的一个法向量(如图2.4.1所示).则对于平面上的任意一点有,即.由于,,所以图2.4.1.称上面方程为平面的点法式方程.在上面方程中,令,则方程可写成三元一次方程.(2.4.1)称方程(2.4.1)为平面的一般方程.例1求过点且以为法向量的平面方程.例2已知平面过点,并且,求平面的方程.解设所求平面的法向量为,则根据题意可知,,即可取,于是由点在平面上可知,对于平面上的任意一点,由平面的点法式方程(2.4.2),得所求平面方程是,即.于是所求平面的方程为.(2.4.2)称方程(2.4.2)为平面的截距式方程.一般地,如果不共线的三点,,在平面上,则对于平面上的任意一点,有.上式称为平面的三点式方程.例3设平面方程为,点不在平面上,求点到平面的距离.解过点作平面的垂线且垂足记为(如图2.4.2所示),则向量的模就是点到平面的距离.平面的法向量为,则对于平面图2.4.2上的任意一点,由∥及数量积的定义可得,于是由点在平面上及可知,,且故点到平面的距离为.(2.4.3)称(2.4.3)式为点到平面的距离公式,称点为点在平面上的投影.例2.4.4求点到平面的距离.解利用公式(2.4.3)可得.二、直线方程空间中任意一条直线可以看作不平行的两个平面的交线(如图2.4.3所示).即方程组(2.4.4)方程组(2.4.4)称为空间直线的一般方程.由图2.4.3可知,法向量,同时垂直于直线,即平行于直线.与已知直线平行的非零向量称为该图2.4.3直线的方向向量,通常记为(或).如果已知直线经过一个已知点,且与一个已知非零向量平行,则对于直线上的任意一点,有∥.于是由两个向量平行的充分必要条件可得.(2.4.4)(2.4.4)式称为空间直线的对称式方程或点向式方程.其中与空间直线平行的非零向量称为该直线的方向向量称为直线的参数式方程(参数方程).例5设空间直线的一般方程为求直线的对称式方程.解令,代入直线的一般方程得解得.所以点在直线上.由已知所给两个平面的法向量分别为,,并且直线在这两个平面上,所以直线的方向向量可以取.于是空间直线的对称式方程为.例6设通过点的直线的方程为,如果点不在直线上,求点到直线的距离.解过点作直线的垂线且交直线于点,则向量的模是点到直线的距离.设直线的方向向量为,则由点在直线上可知,,且∥,于是由向量积的定义可得.所以点到直线的距离为.上式称为点到直线的距离公式,点称为点在直线上的投影.三、平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系(1)平面与平面的位置关系.设平面与的一般方程为平面与的法向量分别为,两平面与的夹角为,则.平面与之间的位置关系有如下结论:(Ⅰ)平面与重合的充分必要条件为;(Ⅱ)平面∥的充分必要条件为;(Ⅲ)平面与相交的充分必要条件为,即中至少有两个不相等.例7求平面与平面的夹角.解由已知两平面的法向量分别为,则于是所求两平面的夹角为.例8设平面通过轴,并且与面的夹角为,求平面的方程.解设平面的法向量为,方程为,则由平面通过轴可知,点在平面上,于是将这两个点代入平面的方程可得.已知平面与面的夹角为,而平面的法向量为,所以.从而由上式可解得或.综上所述,所求平面的方程为或.直线与直线的位置关系.在空间中的任意两条直线的位置关系有异面、相交、平行和重合四种情形.设两条直线与的方向向量分别为,称分别以向量为法向量的两个平面的夹角为直线与的夹角(如图2.4.4所示),即此外,当两直线与重合或平行时,规定直线与的夹角为.特别地,当时,称直线与垂直,进而直线与垂直的充要条件是.设直线与的方程为、分别为直线、上的点,、分别为直线、的方向向量,直线与的夹角为,则.直线与之间的位置关系有如下结论:(Ⅰ)直线与异面的充分必要条件为;(Ⅱ)直线与相交的充分必要条件为,且;(Ⅲ)直线与平行的充分必要条件为,且;(Ⅳ)直线与重合的充分必要条件为,且,即三个向量,共线.例9设直线与的方程分别为证明直线与相交,并求出交点.证由已知直线、的方向向量分别为、,直线与分别过点,,则,并且,且,于是直线与相交.设直线与的交点为,则的坐标满足直线与的方程,于是将代入直线与的方程可得方程组解上述方程组得,即直线与的交点为.由解出的唯一交点也可得证.直线与平面的位置关系.在空间中的任意一条直线与任意一个平面的位置关系有直线在平面上、直线与平面平行、直线与平面相交三种情况.设直线与平面的方程分别为其中直线的方向向量为,为直线上的一点,平面的法向量为,直线与平面的夹角为,则.直线与平面之间的位置关系有如下结论:(Ⅰ)直线在平面上的充分必要条件为,且;(Ⅱ)直线与平面平行的充分必要条件为,且;(Ⅲ)直线与平面相交的充分必要条件为.下面研究两条异面直线的距离.由可知,过点以为法向量的平面的方程为,于是直线在过点以为法向量的平面上,直线平行于平面.于是点到平面的距离就是直线与的距离,即回顾向量的数量积与向量积的相关结论，为本节课的平面与直线的方程的建立进行知识准备.借助于几何图形和向量建立平面的点法式方程，引导学生通过例题的解答熟练掌握平面点法式方程的结构特点给出了点到平面的距离公式通过平面方程给出空间直线方程.由直线的对称式方程给出直线的参数式方程直线的一般式方程向对称式方程转化点到直线的距离公式通过例题理解线线关系§2.5曲面与曲线§2.6二次曲面计划学时2学时教学目标理解曲面方程的概念，了解曲线的参数方程和一般方程，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，会求空间曲线在坐标面的投影曲线，了解二次曲面的方程及其图形.思政目标培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感与自信心。项目内 容解决措施教学重点曲面方程及旋转曲面与柱面方程的建立空间曲线的参数方程及空间曲线在坐标面的投影.通过几何图形和具体实例来加深理解曲面方程和曲线方程的建立方法.教学难点旋转曲面方程的建立二次曲面借助于图形与探究式方法来建立旋转曲面的方程.借助于图形来理解和掌握二次曲面.教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景抛物面天线，旋转曲面，两立体的相贯线等教学内容教学实施流程课程回顾空间直线的一般方程空间直线的参数方程课程导入：在上一节中已经给出了曲面方程的概念,并在空间直角坐标系中讨论了平面与直线,本节将介绍曲面中的柱面和旋转曲面,以及空间曲线的方程和空间曲线在坐标面上的投影,以及二次曲面.曲面和曲线的讨论,总是围绕着两个问题进行:(1)根据曲面或曲线的几何特征来建立方程;(2)根据给定方程的特点,讨论该方程所表示的曲面或曲线的形状.讲授新课：一、曲面方程曲面的一般方程是一个三元方程.设曲面的方程为,则对于变量取值范围内任意的一组代入,都能确定出曲面上的一点,于是曲面的方程为上面的曲面方程称为曲面的参数方程.例1建立以点为球心,半径为的球面方程.例2方程表示怎样的曲面.例3已知点到轴的距离等于4,求动点的轨迹所满足的参数方程.二、空间曲线方程空间曲线可以看成是两个相交曲面的交线,该曲线的方程也可以表示成由两个相交曲面的方程组成的方程组.空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程.对于给定的一条空间曲线及方程组例4设曲线是平面上的圆,且过点.求曲线的方程.例5将空间曲线的方程化为参数方程.三、柱面、旋转曲面(1)柱面一条动直线沿着给定的空间曲线且平行于一定直线移动所形成的曲面称为柱面,动直线称为柱面的母线,定直线的方向向量称为母线方向,定曲线称为柱面的准线.设柱面的母线方向为,准线为,则对于柱面上的任意一点,将点所在的母线与准线的交点记为(如图2.5.1所示),于是由∥可知,过点的母线方程为图2.5.1点的坐标代入准线的方程得于是由上述方程组消去参数得所求柱面的一般方程.母线平行于轴的三种柱面形状如下图所示：椭圆柱面抛物柱面双曲柱面空间曲线在坐标面上的投影.对于给定的空间曲线,以为准线,母线平行于(或或)轴的柱面称为曲线沿(或或)轴的投影柱面,投影柱面与(或或)坐标面的交线称为曲线在(或或)坐标面上的投影曲线,简称投影.例6求曲线在各坐标面上的投影曲线方程,其中曲线的方程为(2)旋转曲面一条已知平面曲线绕一条定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面,定直线称为轴,平面曲线称为母线.设旋转曲面的母线为,轴为,其中的方程为对于旋转曲面上的任意一点,过点作垂直于轴的平面交母线于点(如图2.5.2图2.5.2所示),则与都在平面上,且由在轴上得于是点和的坐标满足方程组如果母线的方程由式确定,则点满足的方程,于是由方程组消去即得到所求旋转曲面的一般方程.由旋转曲面的定义可知,过轴的半平面与旋转曲面的交线可以作为母线,我们常以坐标轴作为旋转曲面的轴,以过该坐标轴的坐标面与旋转曲面的交线作为母线.例如,旋转曲面的轴为轴,其方程为母线在坐标面上(如图2.5.3所示),其方程为则点和满足方程组图2.5.3于是由上面的方程组消去得到所求旋转曲面的方程..类似地,母线绕轴旋转所得的旋转曲面方程为.平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面方程为.绕轴旋转所得的旋转曲面方程为.平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面方程为.绕轴旋转所得的旋转曲面方程为.例7平面上的抛物线绕轴旋转所得的旋转曲面方程为称为旋转抛物面.四、二次曲面椭球面2.双曲面方程表示的曲面都称为单叶双曲面,其方程称为单叶双曲面的标准方程,其中.方程所表示的曲面都称为双叶双曲面,其方程称为双叶双曲面的标准方程,其中.3.抛物面方程表示的曲面都称为椭圆抛物面,其方程称为椭圆抛物面的标准方程,其中,是任意非零常数.方程表示的曲面都为双曲抛物面,上面方程称为双曲抛物面的标准方程,其中,是任意非零常数.小结给出空间曲线在坐标面上的投影曲线的概念，引导学生通过实例来理解空间曲线在坐标面上的投影，掌握投影曲线的求法探究式方法引导学生借助于图形推导和建立旋转曲面的方程，并掌握旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.通过实例引导学生对旋转曲面方程加深理解介绍了几个常用的二次曲面，引导学生借助于图形和截痕法来分析各种曲面的图形，要求学生掌握各种曲面图形的简单绘制方法，并具有一定空间想象能力，为以后的学习进行铺垫.注意区分单叶双曲面和双叶双曲面的方程及图形的差别.第3章矩阵计划学时理论12学时,习题课2学时教学基本要求1.理解矩阵的概念及特殊矩阵.2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式、伴随矩阵及其运算律.3.理解逆矩阵的概念及性质，熟练掌握矩阵可逆的充要条件，熟练掌握伴随矩阵法求逆矩阵.4.了解矩阵的分块法及几种特殊的分块法.5.理解矩阵的初等变换和矩阵等价的概念.6.熟练将矩阵化成行阶梯形、行最简形、标准型.7.理解初等矩阵的定义及性质、理解初等变换与初等矩阵的关系.8.会利用初等变换求逆矩阵和解矩阵方程.9.理解和掌握矩阵秩的定义及性质，并会用它们解题.10.熟练利用矩阵的初等行变换求矩阵的秩.11.掌握消元法解线性方程组的方法，会判断线性方程组解的情况，会用初等变换求线性方程组的解.思政目标培养学生的科学思维，求实创新，家国情怀，数学之美等.教学重点1.矩阵的乘法及运算律，方阵行列式的运算律，伴随矩阵的定义及性质.2．逆矩阵的性质及其应用，解矩阵方程.3．会将矩阵化为行最简形.4．会求矩阵的秩.5.初等变换求解线性方程组的方法.教学难点1.矩阵的乘法及运算律.2.逆矩阵的性质及其应用，解矩阵方程.3.将矩阵化为行最简形.4.对矩阵秩的理解5.线性方程组通解的求法.支撑课程目标课程目标1，2，3支撑毕业目标毕业目标1，2，4教学内容§3.1矩阵的概念§3.2矩阵的运算§3.3逆矩阵§3.4分块矩阵§3.5矩阵的初等变换与初等矩阵§3.6矩阵的秩§3.7线性方程组的解§3.1矩阵的概念、§3.2矩阵的计算计划学时2学时教学目标1.理解矩阵的概念、认识特殊矩阵.2.理解矩阵的线性运算、掌握矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式、伴随矩阵及其运算律.思政目标培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感与自信心。项目内 容解决措施教学重点矩阵的乘法及运算律，方阵行列式的运算律，伴随矩阵的定义及性质1、通过矩阵乘法的几何意义来理解矩阵乘法的概念.2、借助于实例来理解矩阵乘法的运算律、方阵行列式的运算律、伴随矩阵.教学难点矩阵的乘法及运算律1、通过矩阵乘法的几何意义来理解矩阵乘法的概念.借助于实例来理解矩阵乘法的运算律.教学方法讲授式教学，探究式教学，同伴教学教学背景数据表格教学内容教学实施流程课程导入：矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用。在本课程中，矩阵是研究线性变换、线性方程组求解的有力且不可替代的工具,在线性代数中具有重要地位。例：某企业月份、产品、产量与数表的关系：某生产部门生产甲，乙，丙，丁四种产品，1～3月份生产数量如下表（单位：吨）我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把产量表简写成一个“矩形数表”的形式：…………这就是矩阵。课程思政：凝心聚力，众志成城。在三年的疫情抗击过程中，我们展现了坚不可摧的“中国力量”。回顾最初武汉最早发现新冠病毒时，一方有难，八方支援。据当时的卫健委及新闻报道：累计派出344支国家医疗队（含中医、含军队，下同；其中中医17支,军队3支），42322名医务人员（其中中医739人，军队3844人），医生总数11416人（其中中医217人，军队900人）、护士总数28679人（其中中医505人，军队2158人）.各省（区、市）驰援湖北医务人员数量如下：北京1215人、天津1289人、河北1090人、山西1509人、内蒙古798人、辽宁2045人、吉林1179人、黑龙江1534人、上海1608人、江苏2757人、浙江1985人、安徽1324人、福建1366人、江西1201人、山东1782人、河南1262人、湖南1458人、广东2452人、广西961人、海南843人、重庆1614人、四川1458人、贵州1401人、云南1132人、陕西919人、甘肃776人、青海239人、宁夏787人、新疆387人、兵团107人，共38478人.这段新闻，用列表的方式表达更加清晰明了：中医军队其他总数国家医疗队173324344医护人员73938443773942322医生2179001029911416护士50521582601628679上面的表格也可用矩阵的形式表示出来。由此可以看出，面对大量的数据时，列表的优势所在。讲授新课：矩阵的概念定义1：设有个数排成行列的矩形阵表，记做如下形式：行标行标列标列标元素元素称为一个矩阵。其中：——称为第行、第列元素。通常用大写字母表示矩阵。为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为：或几点说明①若，，且，则称两矩阵同型；②若，，且，则称两矩阵相等。举例：两矩阵同型两矩阵同型两矩阵相等两矩阵相等二、几种特殊矩阵零矩阵——个元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作：或注意：不同的零矩阵未必相等的！行矩阵——只有一行的矩阵，称为行矩阵，记作：列矩阵——只有一列的矩阵，称为列矩阵，记作：方阵——行数和列数都等于的矩阵，称为阶矩阵或阶方阵，记作：主对角线主对角线说明：其中元素称为阶方阵的主对角元素，过元素的直线称为阶方阵的主对角线。5、单位矩阵——主对角线上的所有元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为阶单位矩阵，即：，且：记作：,简记：全为1全为16、对称矩阵与反对称矩阵若n阶方阵满足，则称A为对称矩阵。若，则称A为反对称矩阵。7、对角矩阵主对角线上元素为任意常数，其余元素全为零的方阵。8、数量矩阵若对角矩阵中主对角线上的元素相等，则此对角矩阵称为数量矩阵。9、三角矩阵主对角线下方元素全为零的方阵称为上三角矩阵；主对角线上方元素全为零的方阵称为下三角矩阵，上下三角矩阵统称三角矩阵。三、矩阵的线性运算矩阵的加、减法定义2：设有两个矩阵，，，将它们的对应位置的元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作：，注意：只有同型矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足的运算律：⑴(交换律);⑵(结合律);⑶;⑷;⑸(减法)。2、数乘矩阵定义3：用数乘矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数与矩阵的积，记作：注意：数乘矩阵是数去乘中的每一个元素。数乘矩阵满足的运算律⑴;⑵;⑶;⑷；说明：以上矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算。四、矩阵的乘法(重点)矩阵的乘法定义4：设矩阵，矩阵，即：，，则定义与的乘积是一个的矩阵，记作：其中，（等于左的第行的所有元素与右的第列的对应元素乘积的和。）几点说明①相乘条件：左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数；②相乘方法：乘积矩阵的元素等于左Ａ的第行与右Ｂ的第列的对应元素乘积的和）；③相乘结果：乘积C矩阵的行列数，分别取自左Ａ的行数，右B的列数。例1：已知，，求：，。此例说明：①；②,，但。例2：已知，，求：，。解：因为矩阵的列数为2，矩阵的行数为3，所以不符合矩阵乘法的条件，故不存在。此例说明：两个矩阵，若存在，也不一定存在。例3：设矩阵，，，求：，。此例说明：，一般也不能导出：例4：设矩阵验证：一般地，对任意矩阵，只要有意义，一定有：矩阵乘法满足的运算律⑴结合律:;⑵分配律:;⑶对任意常数,有:⑷(矩阵起到数“0”的作用)；⑸(矩阵起到数“1”的作用)。矩阵乘法的三大特征⑴无交换律即：;⑵无消去律即：⑶若或。学生自练1：已知：，，求：，。此例看出：与矩阵的乘积为一阶方阵，即一个数；而与矩阵的乘积是一个阶方阵。五、方阵的幂定义定义5：设是阶方阵，（为自然数），则个连乘所得到的积仍是阶方阵，称为方阵的次幂，记作：。规定：说明：①只有方阵才有幂运算！②只能是正整数。方阵幂运算满足运算律⑴;⑵六、矩阵的转置转置的定义定义6：将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记作：或即设则则转置满足的运算律⑴;⑵；⑶;⑷例5：已知：，，求。七、方阵的行列式定义7设为方阵，则行列式称为矩阵的行列式，记为，或。性质n阶方阵A，B的行列式的运算规律（设A，B为n阶方阵，为数）：（1）（2）（3）例设，的行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为方阵的伴随矩阵。例：设时，求。注：八、共轭矩阵定义8当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记称为的共轭矩阵。性质共轭矩阵满足下列运算规律（设为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）（2）（3）思考与小结：小结：本节课的重点是矩阵的运算，这节课概念多、性质多，需要在理解基础上记忆并应用。思考：1.两个同阶对角矩阵的乘积是怎样的矩阵？请给出一般结论。2.证明：通过导语指出：矩阵在数学研究中的重要作用，引起学生学习兴趣.课程思政：在疫情抗击战中，全国人民所体现的凝聚力让世界刮目相看，“中国力量”如此强大，使学生充分感受到民族自豪感与自信心。不同阶数的零矩阵是不同的，提醒学生“透过现象看本质”.介绍特殊矩阵的相关概念，为矩阵的后期应用做铺垫.注意：反对称矩阵主对角线元全为“0”.此处可用对比法将“数乘矩阵”与“数乘行列式”对比着来记.矩阵的乘法是矩阵的一个非常重要的运算，要细讲.矩阵相乘其几何意义就是两个线性变换复合比如A矩阵表示旋转变换，B矩阵表示伸长变换，那么AB就是伸长加旋转的总变换.强调矩阵可乘的条件即:两个非零矩阵的乘积可能等于零矩阵！（此不同于数字乘积的规律）通过具体实例来理解矩阵乘法的概念.无法计算！不满足消去律！单位矩阵起着数“1”的作用！行矩阵乘列矩阵是“数”.和（4）可推广到多个矩阵的情况.（4）称为“穿脱原理”.性质（2）的应用是学生最容易错的！！§3.3逆矩阵、§3.4分块矩阵计划学时2学时教学目标1.理解逆矩阵的概念及性质，熟练掌握矩阵可逆的充要条件，熟练掌握伴随矩阵法求逆矩阵.2.了解矩阵的分块法及几种特殊的分块法.思政目标掌握类比归纳的数学思想，学以致用项目内 容解决措施教学重点理解逆矩阵的概念及性质，熟练掌握矩阵可逆的充要条件，熟练掌握伴随矩阵法求逆矩阵,解矩阵方程.1、通过实例帮助理解矩阵可逆的概念和性质.2、借助于例题的证明来理解矩阵可逆.教学难点矩阵可逆的充要条件，用伴随矩阵法求逆矩阵,解矩阵方程.1、通过实例帮助理解矩阵可逆的充要条件.2、借助于例题来理解怎样解矩阵方程.教学方法讲授式教学，探究式教学，对比教学法，同伴教学教学背景加密原理，图形的伸缩变换教学内容教学实施流程课程回顾：矩阵的乘法：设矩阵，矩阵，即：，，则定义与的乘积是一个的矩阵，记作：其中，伴随矩阵的定义：设，的行