2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4-1 第2课时　空间中直线、平面的垂直 课件（29张）

第2课时空间中直线、平面的垂直课程标准素养目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的定理.1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用(数学抽象、逻辑推理).2.经历建系求解过程,能够利用直线的方向向量与平面的法向量对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直问题进行判断、讨论(逻辑推理).3.进一步发展空间想象能力和几何直观能力(直观想象).课前自主学习主题

空间中直线、平面的垂直1.若两条直线的方向向量数量积为0,则这两条直线有什么位置关系?提示:垂直.2.直线的方向向量与一平面的法向量平行,则该直线与平面有什么关系?提示:垂直.3.若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直吗?提示:垂直.结论:1.直线与直线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔_______⇔________.2.直线与平面垂直设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔______⇔∃λ∈R,使得______.3.平面与平面的垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔_______⇔________.u1⊥u2u1·u2=0u∥nu=λnn1⊥n2n1·n2=0

【对点练】若平面α的一个法向量m=(1,2,-1),平面β的一个法向量n=(-2,-4,k),若α⊥β,则实数k=(

)A.2 B.-10 C.-2 D.10【解析】选B.若α⊥β,则m⊥n,即(1,2,-1)·(-2,-4,k)=-2-8-k=0,解得k=-10.课堂合作探究【类题通法】用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)坐标法:途径一:①建立空间直角坐标系;②将直线的方向向量用坐标表示;③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.途径二:①建立空间直角坐标系;②将直线的方向向量用坐标表示;③求出平面的法向量;④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)基向量法:①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量;②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示;③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论.提醒:建系时,几何体中的点尽可能多地落在坐标轴上,这样点的坐标容易表示.

探究点二

平面与平面垂直的判定【典例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为CC1的中点,求证:平面A1BD⊥平面GBD.【类题通法】用向量法证明空间几何问题的两种基本思路思路一:用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.思路二:用向量的坐标表示几何量,共分三步:①建立立体图形与空间向量的联系,把立体几何问题转化为向量问题.②通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系.③根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

2.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是_________,α,γ两个平面的位置关系是_________,γ,β两个平面的位置关系是_________.

【解析】三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β;又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ;n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ.答案:α∥β

α⊥γ

β⊥γ3.如图所示,在直三棱柱ABC-