断裂力学第二章3第十二节

12.5裂纹尖端的弹塑性应力分析1.HRR理论Ⅰ型裂纹问题的求解方法由Hutchinson,Rice和Rosergren提出，故称HRR解或HRR奇异性，先用J积分守恒性及材料的硬化规律确定应力和应变的幂次，然后选择满足平衡方程的应力函数，从而求得裂尖的应力、应变场，最后求出塑性应力强度因子。1）应力和应变的奇异性选以裂尖为圆心，r为半径的圆为积分回路，代入J积分2(a)由J积分的守恒性，当时，等式左方有奇异性（即）故等式右方也应有这种形式的奇异性，注意到：

是的齐次式，同时讨论J的守恒性时，已证明所以也是的齐次式即（a）式右边都是的齐次式，为保证有奇异性，应有1.HRR理论3时，（b）（c）p+g=1.要确定p和g需补充一方程，设材料遵从Ramberg-Osgood关系（幂强化材料），一般应力应变关系为：（d）其中：—简单拉伸时的屈服应力和应变。—分别为相当（等效）应力和应力偏量。上式右端第一、第二项为线性应变，第三项为塑性应变。Rice等人分析时忽略了线弹性部分，把材料视为刚塑性，于是:1.HRR理论4（e）因为（e）式可写成在单向拉伸时，把（c）式代入（f）（f）（g）（h）再由p+g=1.所以裂尖附近的应力、应变分布成以下形式：1.HRR理论5HRR解的强度（弹塑性裂尖应力场强度）由J积分来度量。I－查表得到，－角函数，n＝1时，为线弹性问题注：实际，，由于裂尖r趋于0，很小，在J主导区内，由J衡量。塑性应力强度因子1.HRR理论62平面应力R阻力曲线7在线弹性断裂力学中，裂尖区域应力场的渐进解：上式是I型裂纹问题应力全解略去第二项以后各项的主奇项，它只在裂尖很小的范围内适用。这个用K表征的范围称为K控制区或K主导区，用RK表示该区域的尺寸，可通过渐近解与精确解的比较，使其满足工程应用的需要而确定，对于无限大板，紧凑拉伸试样和三点弯曲试样，经计算，一般当RK＝0.02a时即可保证渐近解描述的精度在93%以上。3.K的主导条件8但是值得注意，上式在裂尖塑性区RP内不适用，因为塑性区内材料的本构关系已不是线弹性。因此，为保证K主导区存在，必须要求：此即为K主导条件，该条件说明只有在小范围屈服时，由于塑性区的塑性变形为周围弹性K场所控制，才可近似地把KI视为裂纹尖端场的唯一量度。当然，K主导条件是一个渐近条件，它随载荷的增加而逐渐被破坏。3.K的主导条件94J积分主导条件类似地，对幂硬化材料裂纹问题的非线性分析，已导出由J积分表征的HRR奇异场的渐进解为：要使J作为裂纹尖端场的唯一量度（即单一参数），必须要求裂尖的断裂过程区（材料实际发生分离的区域，已不能用连续介质力学来描述）和有限变形区（尖端钝化区）RP,都应包括在J主导区之内，即要求10σ0为材料屈服应力，dn为一个与σ0/E、n以及应力状态有关的系数。对于轻度或中等硬化的材料，n=10,或N=0.1,则dn≈0.6，于是δk=0.6根据McMeeking的研究，对小范围屈服I型平面应变问题，有限变形的影响是小范围的，仅限于裂尖附近（2～3）δt的范围。在此范围以外，按有限变形理论与按小变形理论计算的结果相差甚微。假定断