第九章 数学形态学及其应用

数字图像处理DigitalImageProcessing河北大学数学与计算机学院马颍丽MaYingliCMCHBU第九章数学形态学及其应用9.1概述9.2二值形态学9.3灰值形态学9.4彩色形态学MaYingliCMCHBU内容提要:9.1概述9.1.1数学形态学的发展简史及基本思想9.1.2几个基本概念9.2二值形态学9.2.1二值腐蚀9.2.2二值膨胀9.2.3二值开运算9.2.4二值闭运算MaYingliCMCHBU9.3灰值形态学9.3.1~9.3.4灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算9.3.5灰值形态学梯度9.3.6高帽变换和低帽变换9.3.7开－闭运算和闭－开运算9.4彩色形态学（选学）9.4.1彩色形态学的基本方法9.4.2基于数学形态学的彩色图像滤波MaYingliCMCHBU9.1概述可回溯到19世纪Euler、20世纪Minkowski等人的研究。1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。1968年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。Matheron于1975年出版的《RandomSetsandIntegralGeometry》一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。9.1.1数学形态学的发展简史及基本思想MaYingliCMCHBU1982年Serra的专著《ImageAnalysisandMathematicalMorphology》是数学形态学发展的重要里程碑。1985年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。1990年起，SPIE每年举办一次“ImageAlgebraandMorphologicalImageProcessing”会议。1986年《计算机视觉与图形图像处理杂志》(GVGIP)出版了数学形态学专刊1989年和1994年《JournalofSignalProcessing》出版了形态学在信号处理中的应用研究专辑。MaYingliCMCHBU数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。MaYingliCMCHBU数学形态学的基于集合的观点（1）运算由集合运算来定义；（2）所有的图像必须以合理的方式转换为集合。形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。基本思想：利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。

MaYingliCMCHBU图9.1数学形态学的方法MaYingliCMCHBU结构元素的选择十分重要根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、大小、灰度、色度等信息。不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。最基本的形态学运算有：膨胀,腐蚀，开，闭。用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理，可以解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等方面的问题。MaYingliCMCHBU数学形态学进行图像处理有其独有的特性：（1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。（2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。（3）可以并行实现。（4）可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。MaYingliCMCHBU9.1.2几个基本概念1.击中与击不中设有两幅图像A和B，（1）如果A∩B≠Ф（空集），那么称B击中（hit）A，记为B↑A，；

（2）否则，如果A∩B=Ф，称B击不中（miss）A。MaYingliCMCHBU9.1.2几个基本概念2.平移和反射设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义：（1）A被b平移后的结果为

A＋b＝{a＋b|a∈A}（9.1）即整个图像沿着向量b的方向平行移动。（2）一幅数字图像A关于原点的反射定义为

AV＝{a|-a∈A}（9.2）MaYingliCMCHBU3.结构元素结构元素与被处理的目标图像中抽取何种信息密切相关。在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种“结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平形、圆形等。在多尺度形态学分析中，结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图像的尺寸。MaYingliCMCHBU9.2二值形态学二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。两个灰度值可取为0（相应的点构成背景）和1（相应的点构成景物）。二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。MaYingliCMCHBU9.2.1二值腐蚀集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:AB(9.3)

图9.2腐蚀示意图MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU腐蚀运算步骤：（1）选择一个结构元素，并设定其原点位置，（2）将结构元素移到图中，若被覆盖范围与结构元素中的1相同，则图中与原点对应的像素值为1，否则为0；9.2.2二值膨胀腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。以AC表示集合A的补集，表示B关于坐标原点的反射。集合A被集合B膨胀表示为：MaYingliCMCHBU图9.3膨胀示意图MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU膨胀运算步骤：（1）选择一个结构元素，并设定其原点位置，（2）将结构元素移到图中，若被覆盖范围与结构元素至少有一个1相重叠，则图中与原点对应的像素值1，否则为0；腐蚀和膨胀操作的直观解释

腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像的作用。MaYingliCMCHBU9.2.3二值开运算两种二次运算起着非常重要的作用开运算闭运算（开运算的对偶运算）。从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。MaYingliCMCHBU开运算的定义设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为：或可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。当结构元素B扫过整个图像集合内部，A○B就是使结构元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A像素点的集合。MaYingliCMCHBU图9.4利用圆盘作开运算

MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU开运算步骤：先腐蚀后膨胀9.2.4二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。或开、闭运算也互为对偶运算开运算具有磨光图像外边界的作用闭运算具有磨光图像内边界的作用MaYingliCMCHBU图9.5利用圆盘作闭运算MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU闭运算步骤：先膨胀后腐蚀9.3灰值形态学在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。MaYingliCMCHBU9.3.1灰值腐蚀形态学源于填充的概念灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性，结构元素也是一个信号。二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用在灰值形态学中这两种运算对应与极大和极小运算。可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。MaYingli