量子力学中的随机行为

量子力学中的随机行为

1不同含时结构的应力能谱中不同发展权的准速率分析有很多关于时间熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊熊佐那的研究。本来人们以为周期驱动的振子KR的量子力学行为与经典力学一样会表现出能量的不确定性。但量子力学计算的结果表明在小的驱动下并非如此,这源于量子准能级的局域化。这很说是含时量子系统的量子混沌。当Hamiltonian量不含时时,波函数的行为通常是准周期的。我们可以看出对于经典力学可积性不同的量子力学系统其对应的能级和波函数行为是不同的。对周期含时性的量子力学系统,我们可以从其准能级的行为中得到某些信息。对含时的周期系统,我们可用Floquet理解来求解含时Schr..odingerSchro..dinger方程的准能级。Floquet映射是幺正的,本征值为eiθa,θa在区间0≤θa≤2π。我们对经典力学力学中比较简单的混沌系统对应的量子力学系统的行为具有很大的兴趣,这对于进一步清楚地研究经典混沌系统所对应的量子力学系统具有重要的意义。其中,弹球系统的经典力学和量子力学行为均已有不少研究。对静态的弹球系统,许多研究表明其经典力学和量子力学的混沌有很重要的对应性。本文中我们计算了不同含时弹球系统的量子力学的准能级分布,发现了经典含时混沌系统与其对应的量子力学的行为之间有对应关系。在第二部分,我们计算了静态弹球系统的量子力学能级和其对应的波函数。在第三部分,我们计算了两种时间反演不变的弹球系统的准能谱。在第四部分,我们讨论了两种时间反演可变的弹球系统的准能谱。最后我们对此做了讨论与分析。2基于轴对称且有限性的数值拟合考虑半径为1的圆形弹球稳态时的能级。其Schr..odingerSchro..dinger方程为:Δ2u(ρ,ϕ)+k2u(ρ,ϕ)=0(1)式(1)能分解为两个常微分方程Φ″+m2Φ=0(2)1ρddρ(ρdRdρ)+(k2-m2ρ2)R=01ρddρ(ρdRdρ)+(k2−m2ρ2)R=0(3)其中u(ρ,ϕ)=R(ρ)Φ(ϕ)(4)边界条件为u(l,ϕ)=0(5)由于轴对称,不同m的态不会混合。我们取m=0,本征值Φ(ϕ)=1。从式(3)可看出,R(ρ)满足零阶Bessel方程。由在ρ=0处的有限性,本征函数为:R(ρ)=J0(kρ)(6)根据式(5),J0(knl)=J0(xn)=0(7)圆形弹球的本征值为:kn=xnl(n=1,2,3⋯)kn=xnl(n=1,2,3⋯)(8)其中xn为零阶Bessel函数的零点。当|x|→∞,我们可证明J0(x)=√2πxcos(x-4π)+o(x-3/2)J0(x)=2πx−−√cos(x−4π)+o(x−3/2)(9)从式(9),我们可看出能级间距基本一样,虽然静态弹球系统的经典力学是可积的,但其对应的量子力学系统却显示出一定的特殊性。3工作方程的求解在本文所研究的有限系统中,准能级通常是离散的,我们主要集中在准能级的分布。考虑如图1所示边界振动的量子力学弹球系统,其径向波函数满足i∂R(ρ,t)∂t=-ℏ2m1ρddρρ∂R∂ρ(10)其中m为粒子质量,R(ρ,t)为径向波函数。空间坐标P在区间[0,l(t)]内,l(t)为振动半径,满足l(t)=l(-t),l(t+T)=l(t),T为振动周期。边界条件为将R(ρ,t)展开:R(ρ,t)=∑nCm(t)⋅J0(knρ)(12)代入式(10)中,(我们取h=1)icn=k2ncm+iil∑m≠ncm2J1(kml)knkmJ1(knl)k2n-k2m(13)其中kn为式(8)所求出的静态能级。利用变换an=e-i∫to(k2n-.ll)ds⋅cn(14)其中kn(s)=xn/l(s)。我们可从式(13)(14)得到一矩阵方程:ian=∑m≠nΗnmam(t)(15)其中Ηnm=i.ll2J1(kml)J1(knl)⋅knkmk2n-k2m⋅e-i∫t0(k2m-k2m)ds(16)由于1(-t)=1(t),Hnm满足Hnm(t)=Hnm(-t)(17)假设式(15)的解为a(t)=e-iϵtb(t),式(15)可变为如下本征值方程:∈δnm=Hnmbm-i∂tδnmbm(18)H由式(16)所定义,b为一N列矢量。假设:bm(t)=∑nb(t)mn⋅e-inωt(19)式(18)中的H矩阵必须用四个指标,式(18)可写为∈bmm′δnmδn′m′=Hnn′mm′bmm′-nωbmmδnmδn′m′(20)其中ω=2π/T,T为系统的振动周期。在我们的计算中,我们仅考虑相邻准能级的混合,一般相隔较远的准能级之间的混合性较小,加之我们如在计算中n过大会使矩阵的阶数过大,所以我们取n≤4,m≤100。我们选择系统周期T=1,l0=1,做周期延拓:(A)l(t)=2+cos(t/Τ)(B)l(t)=l0√l+2a|t|(|t|≤1/2)对情形(A)‚.l=-sin(t/Τ)Τ,对情形(B)‚.l=±a/l。从图2(a)(b),我们可看出情形(A)时系统的准能级分布趋于GOE分布。从图3(a)(b)(c)(d),我们可看出情形(B)时系统的准能级分布从Poisson分布转向GOE分布。4准级数分布及边界振动分析与第三部分的方法类似,对情形(A)和情形(B),我们分别取(A′)l(t)=2+sin(t/T),和(B′)l(t)=l0√1+2aΤ。结果为图4和图5。我们可以看出情形(A′)时系统的准能级分布趋于GUE分布,情形(B′)时系统的准能级分布从Poisson分布转向GUE分布。情形(A′)和(B′)时边界的振动破坏了系统的含时不变性,故其准能级分布趋于GUE分布。该结果与随机矩阵的结果一致。5goe和gue我们对半径振动的圆形弹球系统的研