高考理科数学全优二轮复习训练专题5第1讲等差数列等比数列

专题复习检测A卷1．(2018年天津南开区三模)若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2018＝()A．3 B．1C．－3 D．4【答案】B2．设数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37C．100 D．－37【答案】C3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【答案】C4．(2019年陕西西安模拟)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中与4a5的值相等的是()A．a8 B．a9C．a10 D．a11【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，则4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11.故选D．5．(2018年安徽合肥二模)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就，北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶eq\f(n[2a＋cb＋2c＋ad＋d－b],6)个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为()A．1260 B．1360C．1430 D．1530【答案】B【解析】根据题意可知a＝2，b＝1，n＝15，则c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为eq\f(15×20＋34×15＋14,6)＝1360.6．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则公比q＝________.【答案】－eq\f(1,2)【解析】由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2).7．(2019年湖南怀化一模)已知f(x)＝(x－4)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，则f(a5)的值为________．【答案】3【解析】∵f(x)＝(x－4)3＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)3＋x－4＝g(x－4)．令x－4＝t，可得g(t)＝t3＋t为奇函数且单调递增．{an}是公差不为0的等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，则f(a5)＝g(a5)＋3＝3.8．(2018年福建福州模拟)设等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d.若ak是a6与ak＋6的等比中项，则k＝________.【答案】9【解析】∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴aeq\o\al(2,k)＝a6ak＋6.又等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，∴[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，化简得(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)．9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝3，,a1q4＝81，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))因此an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(nb1＋bn,2)＝eq\f(n2－n,2).10．(2019年广西河池模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列．【解析】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1.∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－4n＋3，n≥2.))(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．B卷11．(2019年江西南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4aeq\o\al(2,4)，则下列结论中正确的是()A．数列{an}是递增数列B．数列{an}是递减数列C．数列{an}是常数列D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列【答案】C【解析】各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4aeq\o\al(2,4)成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4aeq\o\al(2,4)成立．利用等比数列的定义和性质化简可得aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝4aeq\o\al(2,4)，进一步化简得aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,5)＝2aeq\o\al(2,4).设公比为q，则得aeq\o\al(2,1)q4＋aeq\o\al(2,1)q8＝2aeq\o\al(2,1)q6，化简可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C．12．(2019年辽宁沈阳一模)已知数列{an}的首项a1＝m，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn＋1＝3n2＋2n，若对任意n∈N*，an<an＋1恒成立，则m的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(5,4)))【解析】当n＝1时，2a1＋a2a1＝m，所以a2＝5－2m.当n≥2时，Sn－1＋Sn＝3(n－1)2＋2(n－1)，和已知两式相减得an＋an＋1＝6n－1①，即an－1＋an＝6n－7②，①－②得an＋1－an－1＝6(n≥3)，所以数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列，a3＝6＋2m，a2k＝a2＋6(k－1)＝5－2m＋6k－6＝6k－2m－1，a2k＋1＝a3＋6(k－1)＝6＋2m＋6(k－1)＝6k＋2m.若对任意n∈N*，an<an＋1恒成立，即当n＝1时，a1<a2⇒m<eq\f(5,3).n＝2k＋1时，a2k＋1<a2k＋2⇒6k＋2m<6k－2m＋5⇒m<eq\f(5,4).当n＝2k时，a2k<a2k＋1，即6k－2m－1<6k＋2m，解得m>－eq\f(1,4)，所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(5,4))).13．(2018年上海)给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn－an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．(1)设{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，bn＝an＋1＋1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；(2)设数列{an}的前四项为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，求M中元素的个数m；(3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【答案】【解析】(1)数列{bn}与{an}接近，理由如下：∵{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，∴an＝eq\f(1,2n－1)，bn＝an＋1＋1＝eq\f(1,2n)＋1.∴|bn－an|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋1－\f(1,2n－1)))＝1－eq\f(1,2n)＜1，n∈N*.∴数列{bn}与{an}接近．(2)∵{bn}与{an}接近，∴an－1≤bn≤an＋1.∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]．可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b3与b4不相等，集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，M中元素的个数m＝3或4.(3)依题意，得an＝a1＋(n－1)d.①若d＞0，取bn＝an，得bn＋1－bn＝an＋1－an＝d＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；②若d＝0，取bn＝an－eq\f(1,n)，则|bn－an|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an－\f(1,n)－an))＝eq\f(1,n)≤1，n∈N*，得bn＋1－bn＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；③若－2＜d＜0，可令b2n－1＝a2n－1－1，b2n＝a2