三维可压缩非定常壁面分离的物面法研究

三维可压缩非定常壁面分离的物面法研究

0极限流线的包络分离流动的评估是研究分离流动的中心问题。对于二维不可压缩壁面分离,壁面上有一个分离点,早在1904年,Prandtl就首先给出了分离判则。对于三维可压缩定常情况,物面上会出现分离线,Hesieh和Wang以及Wang研究了边界层的分离,认为分离线是极限流线的包络,Tobak和Peake研究了一般的流动,认为分离线是极限流线的收拢线,他们都没有给出分离判则。张涵信采用拓扑分析方法,研究了三维定常可压缩流动分离特性,给出了三维定常可压缩流动的分离判则,并依此给出了Wang和Tobak和Peake的结论。吴介之对复杂物体绕流的判则做了更一般的数学证明。Surana采用非线性动力系统方法,也导出了三维定常流的分离判则。关于非定常流动的分离,20世纪50年代,Moore,Rott和Sears分别研究过二维不可压缩非定常流动分离,并首次指出分离点可能出现在物体外部,从而提出了以他们三人命名的MRS判则,再后关于二维以及三维非定常可压缩的分离判则,研究的不多。张涵信对一般非定常分离流做了初步研究。Surana对时均定常的非定常流做了研究。本文是张涵信关于非定常分离流动研究的继续。1u3000连续性方程由分离线起始的分离面,随时间沿物面法向向上或向下移动。这里体现非定常运动的法向速度w是重要的(图1)。分离流动的形态是运动学的问题,借助于连续性方程和无滑移边界条件就可确定;研究分离判则,应从非定常连续性方程和无滑移条件出发,并且重视研究物面法向的运动速度。关于NS方程式中动量和能量的方程,在计算分离线的具体位置和分离流场时必须用到。设x、y、z为物面正交曲线坐标系,z为物面法向,h1=h1(x,y,t)、h2=h2(x,y,t)和h3=1为拉梅系数。用下标“a”表示坐标系内的速度分量ua、va、wa,ρ是密度,则连续性方程可写成:∂ρ∂t+1h1h2[∂∂x(ρh2ua)+∂∂y(ρh1va)+∂∂z(ρh1h2wa)〗=0(1)令:{ua=uva=vwa=w+wr(2)式中wr=-1ρh1h2∫z0h1h2∂ρ∂tdz(3)将式(2)(3)代入(1)可得:∂∂x(ρh2u)+∂∂y(ρh1v)+∂∂z(ρh1h2w)=0(4)连续性方程中不再出现密度的非定常项,形式上和定常的连续性方程相同。由壁面无滑移条件ua=va=wa=0,再利用式(3),可得,z=0,u=v=w=0(5)即连续性方程(4)仍满足无滑移条件(5)。由(3)在物面上有(1ρ∂ρ∂t)0=-(∂wr∂z)0(6)或者ρ0=ρ0(0)exp(-∫t0(∂wr∂z)0dt)(7)这里标大写“0”表示在物面上的值,下标小写“0”表示在分离线上的值。设y轴为分离线,由方程(4)和壁面条件(5),再利用我们给出的定常壁面分离判则,可以得到在变换速度空间(u,v,w)的分离判则,再考虑到wr的作用,就可以得到在物理速度空间(ua,va,wa)内的壁面分离和再附准则,具体如下:(1)壁面分离判则是:{(∂u∂z)0=0(∂2u∂x∂z)0<0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1v∂y∂z)0<0(∂wr∂z)0=-(1ρ∂ρ∂t)0≥0(8)(2)壁面再附判则是:{(∂u∂z)0=0(∂2u∂x∂z)0>0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1v∂y∂z)0>0(∂wr∂z)0=-[∂∂t(lnρ)〗0≤0(9)在二维情况下,会出现壁面分离壁外再附的情况,其判则是:{(∂u∂z)0=0(∂2u∂x∂z)0>0(∂wr∂z)0=-[∂∂t(lnρ)〗0>0(10)壁面再附壁外分离的判则是:{(∂u∂z)0=0(∂2u∂x∂z)0<0(∂wr∂z)0=-[∂∂t(lnρ)〗0<0(11)2从自然地形下的全限流线先讨论表面流态。对三维问题,同定常流相同,由(8)前三式可以得到:(1)若(∂v∂z)0≠0,分离线是一条极限流线,其附近的极限流线向它收拢;(2)若分离线通过奇点((∂u∂z)0=0‚(∂v∂z)0=0),起始的奇点为鞍点,进入的为结点(或螺旋点);(3)分离的起始状态有三种:正常点起始、鞍/结点或鞍/螺旋点组合起始和鞍点起始。同样的方法,可分析再附点及再附线的性状。以下我们来描述各种判则给出的分离、附着和分离附着耦合的截面流态。2.1轴的横截面流线根据物面条件,文献已经给出,在分离或附着点附近,u,v,w可表示为:u=12(∂2u∂z2)0z2+(∂2u∂x∂z)0xz+⋯v=(∂v∂z)0z+12(∂2v∂z2)0z2+(∂2v∂x∂z)xz+(∂2v∂y∂z)0yz+⋯w=12(∂2w∂z2)0z2+⋯而对于wr,它可表示为:wr=(∂wr∂z)0⋅z+⋯以下分析,为简单,设h1=1,h2=h3=1。在垂直于分离线y轴的任一横截面上,u,w构成的流线,文献已经指出,分离点0为鞍点形态,物面(z=0)为极限流线,并且已经证明,过分离点抬起的分离流线为:x=12B´z,B´=(∂2u∂z2)012(∂2w∂z2)0-(∂2u∂x∂z)0若(∂2u∂z2)0>0时,B′>0,流线形态为图2(a);当(∂2u∂z2)0<0时,B′<0,流线形态为图2(b)。我们关心的是物理速度空间(ua,wa)截面的截面流线形态,即dxdz=uw+wr在0点附近的变化。利用以上表达式,可以证明,在略去二阶小量的情况下,流线方程可写成dxdz=Ax+Bz(12)这里,A=(∂2u∂x∂z)0/(∂wr∂z)0‚B=12(∂2u∂z2)0/(∂wr∂z)0方程(12)的解是:x=(C+BA2)eAz-BA2(1+Az)其中,C为积分常数。在表面附近,该解又可近似写成:x=CeAz+12Bz2(13)显然,C=0为过分离点的流线,在x>0时,C>0,在x<0时,C<0。又因此种情况下,A<0,当(∂2u∂z2)0>0时,B>0,式(13)给出流线形态为图3(a);当(∂2u∂z2)0<0时,B<0,式(13)给出流线形态为图3(b)。这里,C=0是过分离点的流线。与u、w的图像比较,物面不是极限流线。这是由于物面上∂ρ∂t≠0,但过分离点的分离流线仍在z轴的同一侧。2.2u、wa截面流态利用同样的分析方法,可以证明,在u、w的截面上,当(∂2u∂z2)0<0时,流态为图4(a),当(∂2u∂z2)0>0时,流态为图4(b)。在u、wa截面上,当(∂2u∂z2)0<0时,B>0,而A<0,流态为图5(a);而当(∂2u∂z2)0>0时,B<0,流态为图5(b)。2.3zq/2uz0+2s+2此时,壁外附近有一个驻点Q,可以证明,驻点Q位置是:zQ=-(∂wr∂z)0/12(∂2w∂z2)0xQ=-12(∂2u∂z2)0zQ/(∂2u∂x∂z)0并且该点Q为鞍点。因这种情况下,A>0,当(∂2u∂z2)0<0时,B<0,xQ>0,即在u、wa的截面流态图上,过0点的分离线在z轴左方,而Q点在右方,其流态图为6(a);当(∂2u∂z2)0>0时,B>0,xQ<0,u、wa的截面流态是图6(b),过0点的分离线在z轴右方,而Q点在左方。2.4z23不同截面流态用类似的方法,可以证明,在(∂2u∂z2)0>0的情况下,u,wa的截面流态是图7(a);当(∂2u∂z2)0<0时,u,wa的截面流态是图7(b)。3材料的流动形态本文采用的算例是运动壁面驱动的方腔流。方腔流动具有简单的几何形状和边界条件,能够精确地刻画壁面分离和再附流动的形态。本文分别计算了二维和三维非定常流,计算采用层流NS方程和NND计算格式。计算条件为:方腔上表面以马赫数M=0.3+0.2sin(0.2t)在运动,Re=1200。物面为无滑移物面边界,物面温度边界条件采用等温壁。二维和三维方腔流动的计算网格分别为101×101和101×101×101,并在壁面附近加密。3.1壁面再附壁外分离对于二维方腔非定常流(如图6),计算的目的是:二维情况是否满足二维非定常流的分离再附判则,是否存在文中所描述的分离、再附、壁面分离/壁外再附和壁面再附/壁外分离的这四种流态。计算分别给出了t=0.25和t=0.75两个时刻的结果。结果包含了两个时刻的流线图,截面流线的形态,以及分离再附判则中每一项的具体数值,这些数值都是无量纲的结果。图8是t=0.25时刻的结果,计算给出了如下形态:(A1、A2)壁面再附;(B1、B2)壁面再附/壁外分离。A1:壁面再附:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=0.003028>0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=-0.00133<0B1:壁面再附壁外分离:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=-0.0005087<0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=-0.001187<0A2:壁面再附:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=0.0003776>0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=-0.00134<0B2:壁面再附壁外分离:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=-0.00211254<0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=-0.00125<0图9是t=0.75时刻的结果,给出了如下形态:(C1、C2)壁面分离;(D1、D2)壁面分离/壁外再附。C1:壁面分离:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=-2.28054E-06<0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=0.0000594>0D1:壁面分离壁外再附:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=4.68E-05>0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=0.000042>0C2:壁面分离:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=-2.89E-06<0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=5.94E-05>0D2:壁面分离壁外再附:(∂u∂z)0=0,(∂2u∂x∂z)0=5.547E-05>0,(∂wr∂z)0=-[1ρ∂ρ∂t〗0=3.82E-05>0计算给出的分离判则、截面流线的形态、过分离点的流线与外驻点各在z轴两方的规律等,均和理论结果完全一致。3.2壁外分离点和再附点的线性分布对于三维方腔非定常流如图10,计算的目的是:分离时是否满足文中提出的分离判则;并且三维流动除了分离和再附流态外是否也存在壁面分离,壁外再附和壁面再附,壁外分离这两种流态。满足分离判则式中前三式的分离线的性状,是否和理论一致。计算给出了t=0.25和t=0.75两个时刻的结果。结果中包含了部分壁面的极限流线,不同截面的流线图,还有分离再附判则中每一项的具体数值。由于非定常流的初场为三维定常方腔流收敛后的结果,因此,图11首先给出了三维定常方腔流的计算结果。从图中可以看出,定常流的结果是对称的,拓扑结构图也是稳定的。图12给出了t=0.25时刻部分壁面的极限流线,还给出了壁外分离点或再附点的连线发展的空间形态。可以看出,分离线和再附线都各是一条极限流线,并且分离线是极限流线的收拢渐近线,而对于再附线,其周围的极限流线以它为渐近线而向外发散。这些和文献的理论是一致的。图13给出了一些截面的流线图。这些截面是t=0.25时刻y=0.5和z=0.1以及t=0.75时刻z=0.1的截面流线。非定常计算的结果也是对称的。截面y=0.5(t=0.25)和z=0.1(t=0.25)截面流线呈现了壁面分离/壁外再附的图像,z=0.1(t=0.75)的截面流线显示了壁面再附/壁外分离的流态。图14给出了截面z=0.5流线图中分离点和再附点的分离再附判则的数值证明。计算结果表明,本文所发展的三维可压缩非定常壁面分离的判则和理论是正确的。分析这一流线图的拓扑结构,可以看出,流场内的奇点只有中心点和鞍点两种形态,边界上有4个半鞍点,物面以外的流场内有3个中心点,由于是内部流动,它的奇点总数为1。这些与文献的奇点总数规律都是相符的。A1:壁面再附:(∂u∂z)0=0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1υ∂x∂z)0=23.5911>0(∂2u∂x∂z)0=18.6615>0(∂wγ∂z)0=-(1ρ∂ρ∂t)0=-0.034<0B1:壁面分离:(∂u∂z)0=0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1υ∂x∂z)0=-9.52946<0(∂2u∂x∂z)0=-9.23935<0(∂wγ∂z)0=-(1ρ∂ρ∂t)0=0.0186>0A2:壁面再附:(∂u∂z)0=0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1υ∂x∂z)0=39.419>0(∂2u∂x∂z)0=35.1847>0(∂wγ∂z)0=-(1ρ∂ρ∂t)0=-0.0402<0B2:壁面分离:(∂u∂z)0=0(∂2ρh2u∂x∂z)0+(∂2ρh1υ∂x∂z)0=-8.3