第13章立体几何初步13 2 4 2课时两平面垂直

数学第13章立体几何初步13．2基本图形位置关系13.2.4平面与平面的位置关系第2课时两平面垂直01预习案自主学习02探究案讲练互动03自测案当堂达标04应用案巩固提升学习指导核心素养1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．2.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理．3.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．1.直观想象、逻辑推理：两平面垂直的判定与性质．2.直观想象、数学运算：求二面角的大小．1．二面角(1)定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的____，每个半平面叫作二面角的面．(2)图形和记法图形：记作：二面角______________．两个半平面棱α­AB­β2．二面角的平面角(1)定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．(2)图形、符号及范围图形：

符号：OA⊥l，OB⊥l

⇒∠AOB是二面角α­l­β

的平面角．范围：_____≤∠AOB≤_______．平面角是______的二面角叫作直二面角．0°180°直角1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．3．平面与平面垂直(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是__________，那么就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理直二面角垂线一个平面内交线垂直a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线2．两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．3．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？提示：正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(

)(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.(

)(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.(

)(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(

)(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．(

)××××√2．在二面角α­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有的条件是(

)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β√3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(

)A．有1个 B．有2个C．有无数个 D．不存在√4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(

)A．α∥γ B．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：由题意知α与γ可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．√5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是______．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解析：因为在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直√(2)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(

)A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定√【解析】

(1)如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．(1)求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”．

(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．[提醒]

二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．【证明】

因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A­BD­C的平面角，又因为∠AEC＝90°,所以二面角A­BD­C为直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.角度二利用判定定理证明平面与平面垂直

(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.【证明】

(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.证明平面与平面垂直的两种常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥AD，故CD⊥平面AQPD，从而CD⊥PQ.从而四边形AQED是平行四边形，则QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.在△DQP中，有DQ＝QP＝，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.探究点3面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.【证明】

如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AD∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC.应用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD.证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.又因为A′N⊥BE，A′N⊥CD，所以A′N⊥平面BCDE.又因为A′N⊂平面A′BE，所以平面A′BE⊥平面BCDE.垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：1．(多选)下列命题是真命题的是(

)A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直√√√解析：A．线面平行的性质定理；B．线面垂直的判定定理；C．这两条直线可能相交或平行或异面；D．面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，

正确的是(

)A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α√解析：A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(

)A．平面ABC⊥平面ADC

B．平