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第四节双曲线及其性质知识点一

双曲线的定义及方程1.双曲线的定义双曲线的两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|＝2c，对双曲线上任意一点M都有||MF1|－|MF2||＝2a<2c.这个条件是必要的，否则其轨迹就不是双曲线.事实上，若2a＝2c，其轨迹是以F1、F2为端点且方向相反的

；若2a>2c，其轨迹

.两条射线不存在2.双曲线的方程求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线方程►双曲线的定义两个易错点：2a＜2c；差的绝对值.(1)[在判断点的轨迹问题中，易忽略条件2a＜2c而致错]已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，P为平面内一动点，若||PF1|－|PF2||＝6，则P点的轨迹为________.解析||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以P点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(含端点)答案以F1，F2为端点的两条射线(含端点)(2)[到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值，那么其轨迹是双曲线的一支]已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程为________.答案

24知识点二双曲线的几何性质1.双曲线的几何性质x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标原点(1，＋∞)2a2.等轴双曲线y＝±x►两个易错点：双曲线上点到焦点距离；直线与双曲线位置.解析a＝8，b＝6，c＝10.所以||PF1|－|PF2||＝16，又|PF1|＝17，所以|PF2|＝1或|PF2|＝33，又c－a＝2＞1，所以|PF2|＝33.答案

33(5)[直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点]若直线y＝kx＋1与双曲线

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