2023年辽宁省锦州市中考数学试卷 (1)含答案

第1页（共1页）2023年辽宁省锦州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选原中，1．（2分）2023的相反数是（）A． B． C．﹣2023 D．20232．（2分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a2）3＝6a64．（2分）如图，将一个含45°角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．152° B．135° C．107° D．73°5．（2分）在一次跳绳测试中，参与测试的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：成绩/次129130132135137人数/人13222这10名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为（）A．132，130 B．132，132 C．130，130 D．130，1326．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠07．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．π B．π C．π D．2π8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式．据官方数据显示，2023年上海半程马拉松报名人数达到78922人．将数据78922用科学记数法表示为．10．（3分）因式分解：2x2﹣4x＝．11．（3分）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.78，S乙2＝0.2，S丙2＝1.28，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是.（填“甲”或“乙”或“丙”）12．（3分）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为．13．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+AP的最小值是．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y＝x（x≥0）的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4A4，…若B1（2，0），B2（3，0），A1（3，1），则△O2023A2024B2024的面积为．三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）17．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝3．18．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古典诗词．D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团，学校随机对部学生选择社团的情况进行了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）19．（8分）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一，为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．20．（8分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）21．（8分）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．（结果精确到1cm．参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（8分）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．（1）求证：AB＝BD；（2）点F为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E＝45°，AB＝5，tan∠ABG＝，求⊙O的半径及AD的长．六、解答题（本题共10分）23．（10分）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）24．（12分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．【尝试探究】（1）如图1，当α＝60°时，易知AF＝BE；如图2，当α＝45°时，则AF与BE的数量关系为；（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°且点B，E，F三点共线时．若BC＝4，BD＝BC，请直接写出AF的长．25．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

2023年辽宁省锦州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选原中，1．（2分）2023的相反数是（）A． B． C．﹣2023 D．2023【分析】利用相反数的定义判断．【解答】解：2023的相反数是﹣2023，故选：C．【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．2．（2分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看，共两层，由上往下第一层是三个小正方形，第二层中间是一个小正方形．故选：B．【点评】本题考查简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．掌握简单组合体的三视图是解题的关键．3．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a2）3＝6a6【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B．a2•a3＝a5，故B符合题意；C．（a2）3＝a6，故C不符合题意；D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键．4．（2分）如图，将一个含45°角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．152° B．135° C．107° D．73°【分析】如图，首先根据题意求出∠4的度数，再根据两直线平行，同位角相等，即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝28°，∠3＝45°，∴∠4＝180﹣∠1﹣∠3＝107°，∵直尺上下两边平行，∴∠2＝∠4＝107°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质应用，根据题中条件找出平行线是解题的关键．5．（2分）在一次跳绳测试中，参与测试的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：成绩/次129130132135137人数/人13222这10名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为（）A．132，130 B．132，132 C．130，130 D．130，132【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：129、130、130、130、132、132、135、135、137、137，数据130出现了三次最多为众数，中位数为：＝132，所以本题这组数据的中位数是132，众数是130．故选：A．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．6．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤，∴k的取值范围是k≤且k≠0，故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．7．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．π B．π C．π D．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】分0≤t＜4，4＜t≤8，8≤t＜12三种情况，分别求出函数解析即可判断，【解答】解：过点D作DH⊥CB于H，∵DE＝DF＝5，EF＝8，∴EH＝FH＝EF＝4，∴DH＝＝3，当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，∴△EPQ∽△EDH，∴，即，∴PQ＝t，∴S＝＝2，当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC＝8﹣t，∵PB∥DE，∴△PBF∽△DCF，∴，又S△DCF＝，∴，∵DH⊥BC．∠AB′C′＝90°，∴AC′∥DH，∴△C′QF∽△HFD．∴，即，∴，∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，当8≤1＜12时如图，重叠部分为四边形△PFB′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，∵PB′∥DE．∴△PB′F∽△DCF，∴，即，∴，S＝S△PB′F＝，综上，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．【点评】此题结合图象平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式．据官方数据显示，2023年上海半程马拉松报名人数达到78922人．将数据78922用科学记数法表示为7.8922×104．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：78922＝7.8922×104，故答案为：7.8922×104．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．10．（3分）因式分解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．【分析】直接提取公因式2x，进而分解因式即可．【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（3分）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.78，S乙2＝0.2，S丙2＝1.28，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙.（填“甲”或“乙”或“丙”）【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动性越大，反之也成立．【解答】解：∵S乙2＜S甲2＜S丙2，∴这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键．12．（3分）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为15．【分析】先根据黑球的个数及其频率的稳定值求出球的总个数，继而可得答案．【解答】解：由题意知，袋中球的总个数为5÷0.25＝20（个），所以袋中红球的个数为20﹣5＝15（个），故答案为：15．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为35°．【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得∠B＝∠BCE，再根据三角形挨浇的性质可求解．【解答】解：∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC，∵∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°，∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∴∠B＝35°，故答案为：35°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+AP的最小值是．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝∠CAB＝30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF＝30°，∴PN＝AP，∴CP+AP＝CP+PN＝CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN＝60°，AC＝4，∴，∴CN＝sin60°×AC＝＝，∴CP+AP＝CP+PN＝CN＝，故答案为：．【点评】本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的中点就在于能否把a+kb转化成为a+c，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4．【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝18，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据点B为AC的中点得点，将点B代入反比例函数表达式得，据此即可取出k的值．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y＝x（x≥0）的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4A4，…若B1（2，0），B2（3，0），A1（3，1），则△O2023A2024B2024的面积为．【分析】先求得O1B2和B2B3的值，从而求得△O1A2B2的值，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进一步得出结果．【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1）∴O1（3，），A1B2⊥x轴，同理可得：A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，可得：△A1B1B2∽△A2B2B3，∴，∵A1B1＝B2C1，∴，∴B2B3＝，∴＝O1B2•B2B3＝，可得：△O2A3B3∽△O1A2B2，∴：＝（A3B3：A2B2）2，∴＝（）2，．＝（）2023﹣1＝，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数的求值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似找出规律．三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）17．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝3．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝，当a＝3时，原式．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．18．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古典诗词．D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团，学校随机对部学生选择社团的情况进行了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次随机调查的学生有60名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为36°；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求得C的人数，用360°乘以C人数所占比例即可得其对应圆心角度数；（2）据（1）的数据补全图形即可得；（3）总人数乘以B活动小组人数和所占比例即可．【解答】解：（1）本次调查的总人数为24÷40%＝60（名），扇形统计图中，A所对应的扇形的圆心角度数是360°×＝36°，故答案为：60，36°；（2）B活动小组人数为60﹣（6+24+18）＝12（名），补全图形如下：；（3）估计参加“D”活动小组的人数有1800×＝540（名）．答：估计参加“D”活动小组的540名学生．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）19．（8分）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一，为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．【分析】（1）根据等可能事件的概率公式直接求出即可；（2）利用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出A，B两名志愿者同时被抽中的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”只有一种可能，∴P（恰好是“B志愿者”）＝，故答案为：；（2）画出树状图如下：共有6种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被抽中有2种可能的情况，∴P（A，B两名志愿者同时被抽中）＝＝．【点评】本题考查等可能事件概率的求法，掌握概率公式和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．20．（8分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．【分析】设B品牌篮球单价为x元，由题意可得A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，根据“采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元”，列出相应的方程，解答即可．【解答】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，由题意，可得：，解得：x＝72，经检验，x＝72是所原方程的解，所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）21．（8分）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．（结果精确到1cm．参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．【解答】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，∴MH＝ND，EF＝HG＝5，BM∥DH，∴∠NBD＝∠BDQ＝60°，∴∠ABM＝∠ABD﹣∠NBD＝105°﹣60°＝45°，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∵，∴AM＝AB•sin45°＝120×＝60，在Rt△BDN中，∠BND＝90°，∵sin，∴ND＝BDsin60＝80×＝40，∴MH＝ND＝40，∴AG＝AM+MH+GH＝60+40+5≈60×1.41+40×1.73+5≈159（cm），答：展板最高点A到地面PF的距离为159cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．22．（8分）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．（1）求证：AB＝BD；（2）点F为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E＝45°，AB＝5，tan∠ABG＝，求⊙O的半径及AD的长．【分析】（1）先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，然后利用等角的余角相等证明∠BAD＝∠D，从而得到AB＝BD；（2）连接OF，过点D作DM⊥AB于M点，如图，先在Rt△ABG中利用正切的定义求出AG＝，根据圆周角定理得到∠AOF＝2∠E＝90°，则可证明∠OFG＝∠ABG，设⊙O的半径为r，在Rt△OFG中利用正切的定义得到r﹣＝r，则可求出r＝，接着利用勾股定理可得到OB＝，然后证明Rt△BDM∽Rt△OBA，利用相似比求出BM＝3，DM＝4，最后在Rt△ADM中利用勾股定理可计算出AD．【解答】（1）证明：∵AE为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵BD⊥OB，∴∠DBC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OCA＝∠BCD，∴∠OAC＝∠BCD，∵∠OAC+∠BAD＝90°，∠D+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠D，∴AB＝BD；（2）解：连接OF，过点D作DM⊥AB于M点，如图，在Rt△ABG中，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝AB＝，∵∠E＝45°，∴∠AOF＝2∠E＝90°，∴∠AOF＝∠OAB，∴OF∥AB，∴∠OFG＝∠ABG，∴tan∠OFG＝tan∠GAB＝，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OG＝r﹣，在Rt△OFG中，∵tan∠OFG＝＝，∴r﹣＝r，解得r＝，在Rt△OAB中，∵AB＝5，OA＝，∴OB＝＝，∵∠BDM+∠DBM＝90°，∠ABO+∠DBM＝90°，∴∠ABO＝∠BDM，∴Rt△BDM∽Rt△OBA，∴＝＝，∵BD＝AB＝5，∴＝＝，解得BM＝3，DM＝4，在Rt△ADM中，∵AM＝AB+BM＝5+3＝8，DM＝4，∴AD＝＝4，答：⊙O的半径为，AD的长为4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质．六、解答题（本题共10分）23．（10分）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【分析】（1）利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；（2）根据总利润＝每袋利润×销量列出有关w关于x的函数关系后求得最值即可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120别代入解析式，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣40x+680；（2）设这种粽子日销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣40x+680）＝40x2+1000x﹣5440＝40（x﹣）2+810，∵﹣40＜0，抛物线开口向下，∴x＝12.5时，w有最大值，最大值为180，答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）24．（12分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．【尝试探究】（1）如图1，当α＝60°时，易知AF＝BE；如图2，当α＝45°时，则AF与BE的数量关系为BE＝AF；（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°且点B，E，F三点共线时．若BC＝4，BD＝BC，请直接写出AF的长．【分析】（1）可证明△ACF∽△BCE，从而，进而得出结果；（2）过点A作AH⊥BC于点H，可推出＝cosα，进而证得△ACF∽△BCE，从而；（3）作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，设BM＝x，则BE＝2x，由DM∥CH得，从而BH＝5BM＝5x，EH＝BH﹣BE＝3x，进而表示出FE＝FC＝2x，FH＝x．，在Rt△BHC中，由勾股定理列出方程（5x）2+（）2＝（4）2，从而x＝2，进一步得出结果．【解答】解：（1）当α＝45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠FCE＝45°，∴∠ACF＝∠BCE，∵，∴△ACF∽△BCE，∴，故答案为：BE＝AF；（2）如图1，BE＝2AF•cosα，理由如下：过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝，∠ABC＝∠ACB＝α，∴cosα＝＝∴2cosα＝同理可得：2cosα＝，∴，∵∠FCE＝∠ACB，∴∠ACF＝∠BCE，∴△ACF∽△BCE，∴，∴BE＝2AF•cosα；（3）方法一如图2，作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，∴∠BMD＝∠H＝90°，∴DM∥CH，∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，∴DB＝DE，∴BM＝EM，∵∠FCE＝∠FEC＝30°，∴∠CFH＝∠FCE+∠FEC＝60°，∴EF＝CF＝2FH，设BM＝x，则BE＝2x，∵DM∥CH，∵，∴BH＝5B